刚体运动.pptx

6.1 力矩力矩 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程一一.力对轴的矩力对轴的矩 力力 F 对对z 轴的力矩轴的力矩hA 二二.刚体对定轴的转动定律刚体对定轴的转动定律三三.转动惯量转动惯量定义式定义式质量离散分布质量离散分布连续分布连续分布6.2 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理一一.转动动能转动动能z O设系统包括有设系统包括有 N 个质量元个质量元,其动能为其动能为各质量元速度不同，各质量元速度不同，但角速度相同但角速度相同刚体的总动能刚体的总动能P绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半与其角速度平方乘积的一半与其角速度平方乘积的一半与其角速度平方乘积的一半结论结论取取二二.力矩的功力矩的功力的累积过程力的累积过程力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应A 功的定义功的定义对一有限过程对一有限过程若若 M=C(积分形式积分形式 ）(3)(3)力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。力矩的功就是力的功。(1)(1)内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。内力矩作功之和为零。讨论讨论(2)(2)合力矩的功合力矩的功合力矩的功合力矩的功三三.转动动能定理转动动能定理 力矩功的效果力矩功的效果对于一有限过程对于一有限过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动刚体的动能定理动能定理刚体重力势能刚体重力势能质心的势能质心的势能四四.刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理 刚体的机械能刚体的机械能 Mechanical Energy of rigid body 刚体定轴转动的功能原理刚体定轴转动的功能原理重力矩的功重力矩的功除重力以外的其除重力以外的其它外力的合力矩它外力的合力矩 Conservation of Mechanical energy 重力场中刚体定轴转动的动能定理重力场中刚体定轴转动的动能定理中美撞机事件十二周年中美撞机事件十二周年2001年4月3日，海南陵水机场，受损迫降的美军EP-3E侦察机。1088顶顶日期：2013-4-1例例2 2 一刚体系统，如图所示。一刚体系统，如图所示。已知，两轮半径为已知，两轮半径为 R R、r r，对轴的，对轴的转动惯量为转动惯量为，绳子与滑轮间无相对滑动，绳子与滑轮间无相对滑动，速度、绳子的张力速度、绳子的张力?求：两物的加求：两物的加1 12 2R R r r O O 解：解：确定确定讨论讨论 充分利用角量与线量的关系充分利用角量与线量的关系 转动定律与牛顿第二定律联用转动定律与牛顿第二定律联用例例3 3 一个系统，如图示，一个系统，如图示，已知已知现有一水平力作用于棒，距轴为现有一水平力作用于棒，距轴为 l处，求轴处，求轴对棒的作用力（也称轴反力）？对棒的作用力（也称轴反力）？解解 设轴对棒的作用力为设轴对棒的作用力为 N N,质心运动定理质心运动定理质点系质点系打击打击中心中心 质心运动定理与转动定律联用。质心运动定理与转动定律联用。分析分析例例4 一根长为一根长为 l，质量为质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动。面内转动。初始时它在水平位置，求它由此下摆初始时它在水平位置，求它由此下摆 角时的角时的 ，以及棒受轴的力。以及棒受轴的力。Olm Cx解：解：下摆过程中，下摆过程中，？取质元取质元 重力对整棒的合力矩等于重力重力对整棒的合力矩等于重力 全部集中于质心所产生的力矩。全部集中于质心所产生的力矩。dm 由转动定律：由转动定律：法向加速度法向加速度（natural acceleration)：切向加速度切向加速度 (tangential acceleration)：Olm Cxdm例例 一根长为一根长为 l，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 此题也可用机械能守恒定律方便求解此题也可用机械能守恒定律方便求解OlmCx（系统的机械能守恒定律）（系统的机械能守恒定律）（系统的机械能守恒定律）（系统的机械能守恒定律）对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则功，而外力和非保守内力都不作功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械能守恒。该系统的机械能守恒。该系统的机械能守恒。该系统的机械能守恒。当当当当 A A外外外外 +A+A非保内非保内非保内非保内 =0 0 时，有时，有时，有时，有力学系统的机械能应包括力学系统的机械能应包括力学系统的机械能应包括力学系统的机械能应包括l l 质点的动能、重力势能，弹性势能；质点的动能、重力势能，弹性势能；质点的动能、重力势能，弹性势能；质点的动能、重力势能，弹性势能；l l 平动刚体的平动动能、重力势能；平动刚体的平动动能、重力势能；平动刚体的平动动能、重力势能；平动刚体的平动动能、重力势能；l l 定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒AO例例关于关于 O 点？点？关于关于 A 点？点？关于关于 Z 轴轴？6.3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律一一.刚体绕定轴转动的动量矩定理刚体绕定轴转动的动量矩定理任意质元对定点动量矩任意质元对定点动量矩对定轴动量矩对定轴动量矩对定轴转动的刚体对定轴转动的刚体动量矩质元动量矩之和动量矩质元动量矩之和1.刚体定轴转动的动量矩刚体定轴转动的动量矩 O2.刚体定轴转动的动量矩定理刚体定轴转动的动量矩定理由转动定律由转动定律微分形式微分形式积分形式积分形式定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其动量矩的增量(1)(1)(1)(1)变形体绕某轴转动时，若其上各点变形体绕某轴转动时，若其上各点变形体绕某轴转动时，若其上各点变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元质元质元质元)转动的角速转动的角速转动的角速转动的角速度相同，则变形体对该轴的动量矩度相同，则变形体对该轴的动量矩度相同，则变形体对该轴的动量矩度相同，则变形体对该轴的动量矩说明说明3.刚体定轴转动的动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩守恒定律对对定轴转动刚体定轴转动刚体当当当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等（2 2）猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期）猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从高度的增加而减少，据报导有只猫从3232层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗层楼掉下来也仅仅只有胸腔和一颗牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？牙齿有轻微的损伤。为什么会这样呢？例例 用冲击摆测定子弹的速度。用冲击摆测定子弹的速度。已知摆的质量为已知摆的质量为 M，摆对固定轴，摆对固定轴 的转动惯量为的转动惯量为 J，子弹的质量为，子弹的质量为 m，子弹射入后，摆的最大子弹射入后，摆的最大角度为角度为 ，求求子弹的速度？子弹的速度？解：解：dLCvm 系统的机械能守恒：系统的机械能守恒：系统的动量矩守恒：系统的动量矩守恒：重力势重力势能零点能零点 系统总动系统总动量不守恒量不守恒 Caution:O例例 质量为质量为 M，半径为，半径为 R 的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。直轴自由转动。在盘边缘上站有一质量为在盘边缘上站有一质量为 m 的人，的人，都相对地面静止。都相对地面静止。当人沿盘边走了一周时，盘对地面转过角度？当人沿盘边走了一周时，盘对地面转过角度？MROmx 解解 盘与人构成系统，盘与人构成系统，人走动时，人走动时，系统对竖直轴的外力矩为零系统对竖直轴的外力矩为零系统动量矩守恒系统动量矩守恒人行走一周人行走一周二者最初二者最初二二.进动进动高速自转的陀螺在陀螺重力对高速自转的陀螺在陀螺重力对支点支点O 的力矩作用下发生进动的力矩作用下发生进动陀螺的动量矩近似为陀螺的动量矩近似为动量矩定理动量矩定理当当时时则则只改变方向，不改变大小只改变方向，不改变大小(进动进动)进动角速度进动角速度以上只是近似讨论，以上只是近似讨论，只适用高速自转，即只适用高速自转，即(1)(1)质点系的动量矩质点系的动量矩(角动量角动量)可分为两项可分为两项第一项：第一项：只包含系统的总质量只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度质心的位矢和质心的速度 轨道角动量轨道角动量第二项：第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和自旋角动量自旋角动量说明说明OmiC 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 质点绕定点转动质点绕定点转动 动量矩守恒定律动量矩守恒定律例例 一质量为一质量为 m 的小球，以速度的小球，以速度 u 竖直落到直棒的端点，与棒作完全弹性竖直落到直棒的端点，与棒作完全弹性碰撞，碰撞，求求小球小球回跳速度回跳速度和棒绕轴转动的和棒绕轴转动的角速度角速度？muM2lO解：解：碰前、碰后角动量守恒：碰前、碰后角动量守恒：碰前碰后的动能守恒碰前碰后的动能守恒系统动量不守恒系统动量不守恒 明明确确回跳速度回跳速度细棒的旋转角速度：细棒的旋转角速度：（刚体定轴转动的动量矩定理）（刚体定轴转动的动量矩定理）（刚体定轴转动的动量矩定理）（刚体定轴转动的动量矩定理）复习复习复习复习.刚体绕定轴转动的动量矩定理刚体绕定轴转动的动量矩定理刚体绕定轴转动的动量矩定理刚体绕定轴转动的动量矩定理将刚体的动量矩对时间求导将刚体的动量矩对时间求导将刚体的动量矩对时间求导将刚体的动量矩对时间求导刚体对确定轴的转动惯量不变，则刚体对确定轴的转动惯量不变，则刚体对确定轴的转动惯量不变，则刚体对确定轴的转动惯量不变，则（定轴转动动量矩定理的积分形式）（定轴转动动量矩定理的积分形式）（定轴转动动量矩定理的积分形式）（定轴转动动量矩定理的积分形式）（动量矩守恒定律）（动量矩守恒定律）（动量矩守恒定律）（动量矩守恒定律）3.刚体定轴转动的动量矩守恒定律刚体定轴转动的动量矩守恒定律对对定轴转动刚体定轴转动刚体当当变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒变形体所受合外力矩为零时，变形体的动量矩也守恒如：花样滑冰如：花样滑冰 跳水跳水 芭蕾舞等芭蕾舞等绕定轴转动的物体系绕定轴转动的物体系当当如：人站在转台上，用手拨动轮子，则转台会向相反的如：人站在转台上，用手拨动轮子，则转台会向相反的 方向转动方向转动因为：内力矩只能改变物体系内各物体的动量矩，但不能因为：内力矩只能改变物体系内各物体的动量矩，但不能 改变物体的总动量矩改变物体的总动量矩l l分析人和转盘组成的系统当双臂由分析人和转盘组成的系统当双臂由分析人和转盘组成的系统当双臂由分析人和转盘组成的系统当双臂由r r1 1变为变为变为变为r r2 2后，系统转动惯后，系统转动惯后，系统转动惯后，系统转动惯量、转动角速度和机械能的变化情况。量、转动角速度和机械能的变化情况。量、转动角速度和机械能的变化情况。量、转动角速度和机械能的变化情况。由角动量守恒，有由角动量守恒，有由角动量守恒，有由角动量守恒，有非保守内力作正功，机械能增加。非保守内力作正功，机械能增加。非保守内力作正功，机械能增加。非保守内力作正功，机械能增加。得得得得系统机械能的变化系统机械能的变化系统机械能的变化系统机械能的变化zRv0R/2v=?GMz角角动量守恒动量守恒mv0 Rmv R/2v=2v0例例有一转台，有一转台，MR初始的角速度为初始的角速度为0有一个人站在转台的中心，有一个人站在转台的中心，mu以相对于转台的恒定速度以相对于转台的恒定速度u沿半径向边缘走去，沿半径向边缘走去，人走了人走了t 时间后，转台转过的角度时间后，转台转过的角度例例解解求求人和转台组成的系统对人和转台组成的系统对竖直轴竖直轴不受外力矩不受外力矩选选(人和转台人和转台)为系统为系统因此，系统对因此，系统对竖直轴竖直轴的角动量守恒的角动量守恒在时间在时间 t 内，内，人走到距转台中心的距离为人走到距转台中心的距离为如图，两个质量均为如图，两个质量均为m的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的两端。的小孩，各抓住跨过滑轮绳子的两端。一个用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若一个用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量滑轮的质量和和轴上的摩擦力轴上的摩擦力都可忽略，开始时两小孩都不动都可忽略，开始时两小孩都不动 哪一个小孩先到达滑轮哪一个小孩先到达滑轮例例解解求求RO 以小孩、滑轮作为系统以小孩、滑轮作为系统则系统对则系统对O点的总角动量为点的总角动量为+而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩，而系统所受的外力矩只有两个小孩的重力矩，且合力矩为零且合力矩为零所以系统对所以系统对O点的总角动量守恒点的总角动量守恒开始时两小孩都不动开始时两小孩都不动所以所以随后随后但但思考思考：若两个小孩质量不等时情况如何？若两个小孩质量不等时情况如何？例例 一均质棒，长度为一均质棒，长度为 L，质量为，质量为M，现有，现有一子弹在距轴为一子弹在距轴为 y 处水平射入细棒，子处水平射入细棒，子弹的质量为弹的质量为 m,速度为速度为 v0。求求 子弹细棒共同的角速度子弹细棒共同的角速度 。解解其中其中m讨论讨论 水平方向水平方向动量守恒动量守恒子弹、细棒系统的动量矩守恒子弹、细棒系统的动量矩守恒0 质点与刚体的碰撞过程满足角动量守恒定律，而不是动量守恒定律质点与刚体的碰撞过程满足角动量守恒定律，而不是动量守恒定律角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用角动量守恒定律在工程技术上的应用uu 陀螺仪与导航陀螺仪与导航陀螺仪与导航陀螺仪与导航支架支架支架支架S S外环外环外环外环陀螺陀螺陀螺陀螺GG内环内环内环内环l陀螺仪：陀螺仪：能够绕其对称轴高速能够绕其对称轴高速 旋转的厚重的对称刚体。旋转的厚重的对称刚体。l陀螺仪的特点：陀螺仪的特点：具有轴对称性和具有轴对称性和绕对称轴有较大的转动惯量。绕对称轴有较大的转动惯量。l陀螺仪的定向特性：陀螺仪的定向特性：由于不受外由于不受外力矩作用，陀螺角动量的大小和力矩作用，陀螺角动量的大小和方向都保持不变；无论怎样改变方向都保持不变；无论怎样改变框架的方向，都不能使陀螺仪转框架的方向，都不能使陀螺仪转轴在空间的取向发生变化。轴在空间的取向发生变化。uu 直升机螺旋桨的设置直升机螺旋桨的设置直升机螺旋桨的设置直升机螺旋桨的设置l尾桨的设置：尾桨的设置：直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋直升机发动后机身要在旋翼旋转相反方向旋转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向转，产生一个向下的角动量。为了不让机身作这样的反向旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内旋转，在机身尾部安装一个尾桨，尾桨的旋转在水平面内产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。产生了一个推力，以平衡单旋翼所产生的机身扭转作用。l对转螺旋桨的设置：对转螺旋桨的设置：双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立双旋翼直升机则无需尾桨，它在直立轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安轴上安装了一对对转螺旋桨，即在同轴心的内外两轴上安装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持装了一对转向相反的螺旋桨。工作时它们转向相反，保持系统的总角动量仍然为零。系统的总角动量仍然为零。动力学规律：动力学规律：质心运动定理：质心运动定理：刚体绕质心的转动规律：刚体绕质心的转动规律：刚体的动能：刚体的动能：平面运动的平面运动的基本方程组基本方程组 思考题：思考题：如图示，将一质量为如图示，将一质量为 m m 的长杆用细绳从两端水平地挂起，其的长杆用细绳从两端水平地挂起，其中一根绳子突然断了，中一根绳子突然断了，另一根绳子内的张力是多少？另一根绳子内的张力是多少？m ml l质心运动定律质心运动定律转动定律转动定律mgmg五五.进动进动高速自转的陀螺在高速自转的陀螺在陀螺重力对支点陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动的力矩作用下发生进动l现象：现象：陀螺仪在外力矩的作用下，在绕陀螺仪在外力矩的作用下，在绕其对称轴高速转动的同时，横杆也会在其对称轴高速转动的同时，横杆也会在水平面内绕竖直轴缓慢地转动。水平面内绕竖直轴缓慢地转动。l进动：进动：高速转动物体的自转轴绕另一高速转动物体的自转轴绕另一轴线的旋转运动形式。轴线的旋转运动形式。自转角速度越大，进动角速度越小，反之依然；自转角速度越大，进动角速度越小，反之依然；进动角速度与倾角无关。进动角速度与倾角无关。章动章动（Nutation）当刚体自转角速度较小时，它的自当刚体自转角速度较小时，它的自转轴与竖直轴的夹角大小还会有周期性变化。转轴与竖直轴的夹角大小还会有周期性变化。自转刚体的进动轴过定点且与外力平行；自转刚体的进动轴过定点且与外力平行；