弯曲应力1127.pptx

12回顾与比较内力内力应力应力FAyFSM8-1 概述概述 82 与应力分析相关的截面图形几何性质与应力分析相关的截面图形几何性质83 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力84 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例85 梁的强度计算梁的强度计算86 斜弯曲（放在斜弯曲（放在9章后再讲）章后再讲）87 弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力（放在弯矩与轴力同时作用时横截面上的正应力（放在9章章 后再讲）后再讲）88 结论与讨论结论与讨论 第第8章章 弯曲强度问题弯曲强度问题 4均涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量拉伸和压缩：扭转：纯弯曲：5882 2 平面图形的几何性质平面图形的几何性质 杆件在载荷作用下，其横截面上应力分布及大小将受到截面几何形状和尺寸的影响，杆件的变形大小也与横截面几何性质有关。在相同强度或刚度要求下，合理的截面尺寸与形状，可以节约材料；或者在使用相同数量的材料下可提高杆件的承载能力。6882 2 平面图形的几何性质平面图形的几何性质7一、面积（对轴）矩：一、面积（对轴）矩：(与力矩类似)dAxyyx设任意平面图形，在任意点（设任意平面图形，在任意点（x,yx,y）取微面积）取微面积dA,dA,则有则有 称为微面积对x轴的静矩称为微面积对y轴的静矩Sx定义为图形对x轴的静矩；Sy定义为图形对y轴的静矩82 平面图形的几何性质平面图形的几何性质8二、形心：二、形心：(图形几何形状的中心)dAxyyx 若将dA视为垂直于平面图形的力,则形心即为合力的作用点。1、静矩与坐标轴有关，同一平面图形对不同的坐标轴有不同的静矩。2、已知静矩可以求形心，已知形心可以求静矩。3、若图形对某坐标轴的静矩为零，则该坐标轴一定通过形心。4、若某坐标轴通过形心，则图形对该坐标轴的静矩一定为零。9对于组合图形先将其分解为若干个简单图形（可以直接确定形心位置的图形）10例例1 试确定下图的形心。解：组合图形，用正负面积法解之。1.用正面积法求解，图形分割及坐标如图(a)801201010 xyC2图(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)112.用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积C1xy12 例例2 求图示半径为求图示半径为r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x的静矩及其形的静矩及其形心坐标心坐标yC。解：过圆心解：过圆心O作与作与x轴垂直的轴垂直的y轴，在距轴，在距x任意高度任意高度y处取一个与处取一个与x轴平行的窄条，轴平行的窄条，所以所以 OCrxydAyCydy13三、轴惯性矩：三、轴惯性矩：dAxyyxr称为微面积对y轴的惯性矩称为微面积对x轴的惯性矩定义为图形对x轴的惯性矩；定义为图形对y轴的惯性矩设任意平面图形，在任意点（设任意平面图形，在任意点（x,yx,y）取微面积）取微面积dA,dA,定义定义 定义为图形对y轴和x轴的惯性半径惯性半径14dAxyyxr四、极惯性矩：四、极惯性矩：任意平面图形，微面积任意平面图形，微面积dAdA到坐标原点到坐标原点o o的距离为的距离为,则有则有 定义为面积A对坐标原点的极惯性矩极惯性矩五、惯性积：五、惯性积：定义为面积A对过原点的一对坐标轴的惯性积惯性积设任意平面图形，在任意点（设任意平面图形，在任意点（x,yx,y）取微面积）取微面积dA,dA,则有则有 15例例3 求图示矩形对通过其形心且与边平行的求图示矩形对通过其形心且与边平行的x、y轴的惯轴的惯性矩性矩Ix、Iy。解：平行解：平行x轴取一窄长条，其面积为轴取一窄长条，其面积为dA=bdy，则，则dyb/2b/2xyyh/2h/2CdA同理可得同理可得 思考：若为回字框时怎么计算？思考：若为回字框时怎么计算？bBhH16 由于圆形对任意直径轴都是对称的，故由于圆形对任意直径轴都是对称的，故Ix=Iy注意到注意到I=Ix+Iy，得到，得到例例4 求图示直径为求图示直径为d的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩的圆对过圆心的任意直径轴的惯性矩Ix、Iy及对圆心的极惯性矩及对圆心的极惯性矩I。dCxydr rr 解：解：首先求对圆心的极惯性矩。首先求对圆心的极惯性矩。在离圆心在离圆心O为为r r处作宽度为处作宽度为dr r的薄圆环，其面积的薄圆环，其面积dA=2prprdr r，则，则 思考：若为圆环又如何计算？思考：若为圆环又如何计算？DdDd=171、问题的引入、问题的引入h1h2b1b2yz工程中梁的截面常常是由若干简单图形工程中梁的截面常常是由若干简单图形组合而成，如图组合而成，如图T形梁由两个矩形组形梁由两个矩形组成，要求对水平轴成，要求对水平轴z的惯性矩。的惯性矩。任务：找出图形对于自身形心轴的惯性矩和对于与该轴平行的任务：找出图形对于自身形心轴的惯性矩和对于与该轴平行的轴的惯性矩之间的关系，即求惯性矩的平行移轴公式。轴的惯性矩之间的关系，即求惯性矩的平行移轴公式。六、惯性矩与惯性积的移轴定理六、惯性矩与惯性积的移轴定理182、平行移轴定理、平行移轴定理：以形心C为原点，建立与原坐标轴平行的坐标轴如图dAxyyxrabCxCyC19注意注意:C点必须为形心点必须为形心因为面积及包含a2、b2的项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后的惯性积有可能增加也可能减少。极惯性矩可以不变或者是增加的。20例例 用平行移轴公式求图示圆对其切线AB的惯性矩。解：B建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。AdxyO圆211、惯性矩和惯性积的转轴定理惯性矩和惯性积的转轴定理dAxyyxx1y1x1y1 七、惯性矩与惯性积的转轴定理七、惯性矩与惯性积的转轴定理（自学内容）（自学内容）22232、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩1.主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到=0 时；恰好有 与 0 对应的旋转轴x0 y0 称为主惯性轴（主轴）；平面图形对主轴之惯性矩称为主惯性矩。2.形心主轴和形心主惯性矩形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩243.求截面形心主惯性矩的方法建立坐标系计算面积和面积矩求形心位置建立形心坐标系；求：IyC，IxC，IxCyC求形心主轴方向 0 求形心主惯性矩25例例3 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的形心主轴。(b=1.5d)解：建立坐标系如图。求形心位置。建立形心坐标系；求：IyC，IxC，I xCyc db2dxyOxCyCx126db2dxyOxCyCx127梁段梁段CDCD上，只有弯矩，没有剪力上，只有弯矩，没有剪力纯弯曲纯弯曲梁段梁段ACAC和和BDBD上，既有弯矩，又有剪力上，既有弯矩，又有剪力横力弯曲横力弯曲281、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Fs 剪应力t t弯矩M 正应力s s2、纯弯曲、纯弯曲平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Fs的情况)平面弯曲时横截面,横力弯曲(横截面上既有Fs又有M的情况)29883 3 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲：平面弯曲：当作用于杆件上所有载荷和支反力都位于纵向对称面内，且垂直于杆件的轴线时，杆发生弯曲变形后，轴线仍然和外力在同一平面内或者说轴线在这个纵向对称面内。纵向对称面纵向对称面MP1P2q本章主要研究直杆在平面弯曲时横截面上的内力，强度和刚度本章主要研究直杆在平面弯曲时横截面上的内力，强度和刚度问题问题30883 3 平面平面弯曲时梁横截面上的正应力弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、纯弯曲时梁横截面纯弯曲时梁横截面上的正应力上的正应力纵向对称面纵向对称面bdacabcdMM31横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴3.平面假设32A1B1O1O4.几何方程：dq qr rxy)OO1)（二）物理关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意一点均处于单向拉伸或压缩。当应力小于材料的比例极限时 s ss s001ABdxy33 dAyz(中性轴中性轴)xzyOs sdAM（三）静力学关系：（三）静力学关系：称为横截面对中性轴z的静矩（面积矩）中性轴通过截面形心中性轴通过截面形心34 dAyz(中性轴中性轴)xzyOs sdAM（三）静力学关系：（三）静力学关系：称为横截面对中性轴z的惯性矩 EIz 杆的抗弯刚度。杆的抗弯刚度。35 dAyz(中性轴中性轴)xzyOs sdAM（三）静力学关系：（三）静力学关系：M横截面上的弯矩；y-求应力的点离中性轴的距离；Iz-横截面对于中性轴的惯性矩 36（四）最大正应力：（四）最大正应力：称为抗弯曲系数称为抗弯曲系数37纯弯曲的正应力公式纯弯曲的正应力公式变形几何关系：变形几何关系：物理关系：物理关系：静力学条件：静力学条件：正应力的分布正应力的分布38常见截面的常见截面的 IZ 和和 WZ圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面空心矩形截面39纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广横力弯曲横力弯曲 弹性力学精确分析表明，当跨度弹性力学精确分析表明，当跨度l与横截面高度之比与横截面高度之比l/h5(细长梁细长梁)时，时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立似成立 但横力弯曲时，各截面上弯矩但横力弯曲时，各截面上弯矩不等，故不等，故横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力例例 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求11截面的曲率半径。q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：求剪力与截面弯矩30求支反力：写出剪力与弯矩方程：F FAYAYF FBYBYq=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力18030F FAYAYF FBYBY求曲率半径q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力44 例例矩形截面外伸梁如图，求（1）横截面11上点1处的应力；（2）横截面22上点2，3，4处的应力；（3）以单元体分别示出各该点处的应力状态l/2l/2l/2l/41234hzbh/4F3F/2F/2解解（1 1）1-11-1截面截面FsFs1 1=-F/2,M=-F/2,M1 1=-F/2l/2=-Fl/2=-F/2l/2=-Fl/2；点；点1 1位于中性位于中性轴处，故正应力为轴处，故正应力为0 0，剪应力为最大值，剪应力为最大值，112245 例例矩形截面外伸梁如图，求（1）横截面11上点1处的应力；（2）横截面22上点2，3，4处的应力；（3）以单元体分别示出各该点处的应力状态l/2l/2l/2l/41234hzbh/4F3F/2F/2（2 2）2-22-2截面截面FsFs2 2=F,M=F,M2 2=-Fl/4=-Fl/4=-Fl/4=-Fl/4；点；点2 2位于截面的上边缘，位于截面的上边缘，故剪应力为故剪应力为0 0，正应力为最大值，正应力为最大值，1122拉应力拉应力46 例例矩形截面外伸梁如图，求（1）横截面11上点1处的应力；（2）横截面22上点2，3，4处的应力；（3）以单元体分别示出各该点处的应力状态l/2l/2l/2l/41234hzbh/4F3F/2F/2解解（2 2）2-22-2截面截面FsFs2 2=F,M=F,M2 2=-Fl/4=-Fl/4=-Fl/4=-Fl/4；1122点点3 3位于中性轴处，故正应力为位于中性轴处，故正应力为0 0，只有剪应力，只有剪应力，47 例例矩形截面外伸梁如图，求（1）横截面11上点1处的应力；（2）横截面22上点2，3，4处的应力；（3）以单元体分别示出各该点处的应力状态l/2l/2l/2l/41234hzbh/4F3F/2F/2解解（2 2）2-22-2截面截面FsFs2 2=F,M=F,M2 2=-Fl/4=-Fl/4=-Fl/4=-Fl/4；1122压应力压应力点点4 4既不在中性轴处也不在边缘，故既有正应力也有剪应力，既不在中性轴处也不在边缘，故既有正应力也有剪应力，8-5 梁的强度计算梁的强度计算1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。Fst ts ss ss sMt t一、梁的正应力和剪应力强度条件一、梁的正应力和剪应力强度条件2 2、正应力和剪应力强度条件：、正应力和剪应力强度条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Fs和M均很大的截面的腹、翼相交处。3 3、强度条件应用：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：依此强度准则可进行三种强度计算：s sMFst tt ts s4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度较短，M 较小，而Fs较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷：解：画内力图求危面内力例例1 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。q=3.6kN/mxM+ABL=3mFs+x求最大应力并校核强度应力之比q=3.6kN/mxM+Fs+xy1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力例例2 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？4画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM校核强度T字头在上面合理。y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A3A455例例3 3简支梁AB如图，L2m,a=0.2m,梁上载荷为q=10kN/m,p=200kN,材料的许用弯曲应力为=160MN/m2,许用剪应力为 =100MN/m2,试选择工字钢型号。qpaalABp解：计算梁的支座反力，然后做解：计算梁的支座反力，然后做剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图RARBxM45kNm查型钢表选查型钢表选22a22a工字钢，工字钢，Wz=309cm3Wz=309cm3弯曲剪应力强度校核：查表知弯曲剪应力强度校核：查表知Fsx210kN56例例3 3简支梁AB如图，L2m,a=0.2m,梁上载荷为q=10kN/m,p=200kN,材料的许用弯曲应力为=160MN/m2,许用剪应力为=100MN/m2,试选择工字钢型号。qpaalABpRARBFsxxM45kNm210kN代入剪应力强度条件公式代入剪应力强度条件公式超过超过 很多，故需重选较大的很多，故需重选较大的工字钢截面，现选工字钢截面，现选25b25b进行校核进行校核57例例4 如图如图T形截面梁形截面梁(1)求最大剪应力所在横截面上腹板内剪应力的最大值求最大剪应力所在横截面上腹板内剪应力的最大值 ，（，（2）绘出该横截面上腹板内剪应力的变化图）绘出该横截面上腹板内剪应力的变化图（自学内容）（自学内容）CAB8080202035D3kN2.5kN8.5kN解：解：求出支座反力画出剪力图Fsx2.55.53所求最大剪应力在梁CB段横截面中性轴处这里部分横截面面积为中性轴以下或以上部分的面积，它对中性轴z的静矩为58例例4如图如图T形截面梁形截面梁(1)求最大剪应力所在横截面上腹板内剪应力的最大值求最大剪应力所在横截面上腹板内剪应力的最大值 ，（，（2）绘出该横截面上腹板内剪应力的变化图）绘出该横截面上腹板内剪应力的变化图8080202035CABD3kN2.5kN8.5kNFsx2.55.5359例例 4 如图如图T形截面梁形截面梁(1)求最大剪应力所在横截面上腹板内剪应力的最大值求最大剪应力所在横截面上腹板内剪应力的最大值 ，（，（2）绘出该横截面上腹板内剪应力的变化图）绘出该横截面上腹板内剪应力的变化图8080202035要求腹板上剪应力的变化图，需求出腹板与翼缘交界处的剪应力此时的部分横截面面积为整个腹板面积或整个翼缘面积CABD3kN2.5kN8.5kN3.79kNzy4MPa601.1.降低降低 M Mmaxmax 合理安排支座合理安排支座合理布置载荷合理布置载荷6-78-8 结论与讨论结论与讨论提高梁强度的措施提高梁强度的措施 61合理布置支座合理布置支座FFF8-8 结论与讨论结论与讨论62合理布置支座合理布置支座8-8 结论与讨论结论与讨论63合理布置载荷合理布置载荷8-8 结论与讨论结论与讨论F642.2.增大增大 W WZ Z 合理设计截面合理设计截面合理放置截面合理放置截面6-78-8 结论与讨论结论与讨论65合理设计截面合理设计截面8-8 结论与讨论结论与讨论66合理放置截面合理放置截面8-8 结论与讨论结论与讨论673、等强度梁、等强度梁 8-8 结论与讨论结论与讨论688-8 结论与讨论结论与讨论698-8 结论与讨论结论与讨论1 1、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推、了解纯弯曲梁弯曲正应力的推导方法导方法2 2、熟练掌握弯曲正应力的计算、熟练掌握弯曲正应力的计算、弯曲正应力强度条件及其应用弯曲正应力强度条件及其应用3 3、了解提高梁强度的主要措施、了解提高梁强度的主要措施小结：小结：