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高中数学必修1教案(多篇) 第一篇：高中数学 必修1 集合教案 学习周报专业辅导学习 集合（第1课时） 一、学问目标：内容：初步理解集合的根本概念，常用数集，集合元素的特 征等集合的根底学问。 重点：集合的根本概念及集合元素的特征 难点：元素与集合的关系 留意点：留意元素与集合的关系的理解与推断；留意集合中元 素的根本属性的理解与把握。 二、力量目标：由推断一组对象是否能组成集合及其对象是否附属已知集合， 培育分析、推断的力量； 由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。 三、教学过程： ）情景设置： 军训期间，我们常常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四周八方聚拢到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。 ）探求与讨论： 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。 问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子） 为了明确地告知大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个 整体来对待，就用大括号 将这些指定的对象括起来，以示它作为一个 整体是一个集合，同时为了争论起来更便利，又常用大写的拉丁字母a、 b、c?来表示不同的集合，犹如学们刚刚所举的各例就可分别记 为?（板书） 另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字 母a、b、c?（或x1、x2、x3?）表示 同学口答课本p5练习中的第1大题 分析刚刚同学们所举出的集合例子，引出： 对某详细对象a与集合a，假如a是集合a中的元素，就说a属于集合 a，记作aa；假如a不是集合a的元素，就说a不属于集合a，记作 a?a 再次分析同学们刚刚所举出的一些集合的例子，师生共同争论得出结论： 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。 然后请同学们分别阅读课本p5和p40上相关的内容。 在数学里使用最多的集合固然是数集，请同学们阅读课本p4上与数集有 关的内容，并思索：常用的数集有哪些？各用什么专用字母来表示？你 能分别说出各数集中的几个元素吗？（板书n、z、q、r、n*（或n+） 留意：数0是自然数集中的元素。这与同学们脑子里原来的自然数就是 1、2、3、4?的概念有所不同 同学们完成课本p5练习第2大题。 http:/.cn 学习周报专业辅导学习 留意：符号“”、“?”的书写标准化 练习： （一）以下指定的对象，能构成一个集合的是 很小的数 不超过30的非负实数 直角坐标平面内横坐标与纵坐标相等的点 的近似值 高一年级优秀的学生 全部无理数 大于2的整数 正三角形全体 a、b、c、 d、 （二）给出以下说法： 较小的自然数组成一个集合 集合1，-2，与集合，-2，1是同一个集合 某同学的数学书和物理书组成一个集合 若ar，则a?q 已知集合x，y，z与集合1，2，3是同一个集合，则x=1，y=2， z=3 其中正确说法个数是（） a、1个b、2个c、3个d、4个 （三）已知集合a=a+2，(a+1)2，a2+3a+3，且1a，求实数a 的值 ）回忆与总结： 1 集合的概念 2 元素的性质 3几个常用的集合符号 ）作业：p7习题1.1第1大题 阅读课本并理解概念 课后反思：这节课由于开学典礼的影响，没有来得及全部上完。等待明天连续上 然后与老教师产生一节课的差距。总体来看，比昨天略微好一点，语气上连贯了 些，但是还没有理清自己上课的思路，到了课堂上原本的预备有些遗忘了。 http:/.cn 其次篇：高中数学余弦定理教案1 苏教版必修5 1.2余弦定理 第1课时 学问网络 三角形中的向量关系余弦定理 学习要求 1 把握余弦定理及其证明； 2 体会向量的工具性； 3 能初步运用余弦定理解斜三角形 【课堂互动】 自学评价 1余弦定理： (1)a2?b2?c2?2bc?cosa，_，_. (2) 变形：cosa? b 2 ?c 2 ?a 2 ， 2bc _，_ . 2利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题： （）_； （）_ 【精典范例】 【例1】在?abc中， （1）已知b?3，c?1，a?600，求a； （2）已知a?4，b?5，c?6，求a（准确到0.10） 【解】 点评: 利用余弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：（）已知三边，求三个 专心爱心角；（）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 【例2】a,b两地之间隔着一个水塘，听课随笔 择另一点c，测ca?182m,cb?126m,?acb?630 ， 求a,b两地之间的距离确到1m） 【解】 【例3】用余弦定理证明：在?abcc为锐角时，a2?b2?c2；当ca2?b2?c2 【证】 点评:余弦定理可以看做是勾股定理的推广 追踪训练一 在中， 求a； （）已知a， 若三条线段的长为，则用这 三条线段（）能组成直角三角形 能组成锐角三角形 能组成钝角三角形 用心 不能组成三角形 在中，已知a2?b2?ab?c2，试求的大小 两游艇自某地同时动身，一艇以的速度向正北行驶，另一艇以的速度向北偏东的方向行驶，问：经过，两艇相距多远？ 【选修延长】 【例4】在abc中，bc=a，ac=b，且a，b是方程x2 ?23x?2?0的两根， 2cos?a?b?1。 （1） 求角c的度数； （2） 求ab的长； （3）求abc的面积。 【解】 专心爱心 【例5】在abc中，角a、b、c听课随笔 分别为a，b，c，证明： a2 ?b2 ?a?b?。 c 2? sinsinc 追踪训练二 1在abc中，已知b?2， c?1，b=450则a?（） a2b 6?2 2 c 6?2 6?22 d2 2在abc中，已知ab=5，ac=6，bc=31则a=（） a?2? b3 c6d4 3在abc中，若b?10，c?15，c=? 6 则此三角形有解。 4、 abc中，若a2 ?c2 ?bc?b2 ， 则a=_. 用心 【师生互动】 专心爱心 用心3 第三篇：高中数学 余弦定理(1)教案1 苏教版必修5 第 3 课时：1.2余弦定理（1） 【三维目标】： 一、学问与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探究，把握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题。 2.能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 3.通过三角函数、余弦定理、向量数量积等多处学问间联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一. 二、过程与方法 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算把握运用余弦定理解决两类根本的解三角形问题 三、情感、态度与价值观 1.培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算力量； 2.通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等学问间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：余弦定理的发觉和证明过程及其根本应用； 难点：向量方法证明余弦定理. 【学法与教学用具】： 1. 学法： 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，提醒课题 1.正弦定理的内容？ 2.由正弦定理可解决哪几类斜三角形的问题？ 二、研探新知 1余弦定理的向量证明： 方法1：如图，在?abc中，ab、bc、ca的长分别为c、a、bac?ab?bc，? ac?ac?(ab?bc)?(ab?bc)?ab?2?2ab?bc?bc?2 b?ab?2?2|ab|?|bc|cos(1800?b)+bc222?2?c2?2accosb?a2 即b?c?a?2accosb； 同理可证：a?b?c?2bccosa，c?a?b?2abcosc 222222 方法2：建立直角坐标系，则a(0,0),b(ccosa,csina),c(b,0)所以 a2?(ccosa?b)2?(csina)2?c2cos2a?c2sin2a?2bccosa?b2?b2?c2?2bccosa，同理可证 1 b2?c2?a2?2accosb，c2?a2?b2?2abcosc 留意：此法的优点在于不必对a是锐角、直角、钝角进展分类争论 于是得到以下定理 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 b2?c2?a2 a?b?c?2bccosa?cosa? 2bc222 c2?a2?b2 b?c?a?2accosb?cosb? 2ca222 a2?b2?c2 c?a?b?2abcosc?cosc? 2ab222 思索：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？ 语言表达：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 用符号语言表示：a2?b2?c2?2bccosa，?等； 2. 理解定理 留意：（1）熟识定理的构造，留意“平方”“夹角”“余弦”等 （2）余弦定理的应用：已知三边，求三个角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 （3）当夹角为90?时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例） b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2 （4）变形：cosa?cosb?cosc? 2bc2ac2ac 思索：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若?abc中，c=900，则cosc?0，这时c2?a2?b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 三、质疑辩论，排难解惑，进展思维 例1 （教材p在?abc中，（1）已知b?3,c?1,a?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，14例1） 求a 7，8的三角形中，求最大角与最小角的和 例2 边长为5， 例3 在?abc中，最大角a为最小角c的2倍，且三边a、b、c为三个连续整数，求a、b、c的值 例4 在?abc中，a、b是方程x?23x?2?0的两根，又2cos(a?b)?1，求：（1）角c的度数；（2）求ab的长；（3）?abc的面积 四、稳固深化，反应矫正 1在?abc中，sina:sinb:sinc?3:5:7，那么这个三角形的最大角是_ 2 2. 在?abc中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，则a?_ 在?abc中，s?a2?b2?c2 3. 4，则角c的度数是_ 4. 在?abc中，已知a?7,b?8,cosc?13 14，则最大角的余弦值是_ 5.已知锐角三角形的边长分别是1、3、a，则a的取值范围是_ 6.用余弦定理证明：在?abc中，当c为锐角时，a2?b2?c2；当c为钝角时，a2?b2?c2 五、归纳整理，整体熟悉 1.余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； 2.余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 六、承上启下，留下悬念 1书面作业 七、板书设计（略） 八、课后记： 第四篇：高中数学 正弦定理(1)教案1 苏教版必修5 第 1 课时：1.1正弦定理（1） 【三维目标】： 一、学问与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探究，把握正弦定理的内容和推导过程； 2.能解决一些简洁的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类根本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题； 3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处学问间联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一. 4.在问题解决中,培育学生的自主学习和自主探究力量 二、过程与方法 让学生从已有的几何学问动身,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观看，推导，比拟，由特别到一般归纳出正弦定理，并进展定理根本应用的实践操作。 三、情感、态度与价值观 1.培育学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算力量； 2.培育学生合情推理探究数学规律的数学思想力量，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等学问间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点与难点】： 重点：正弦定理的探究和证明及其根本应用。 难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时推断解的个数。 【学法与教学用具】： 1. 学法：引导学生首先从直角三角形中提醒边角关系：abc?，接着就一般斜三角形sinasinbsinc 进展探究，发觉也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进展推导，让学生发觉向量学问的简捷，新奇。 2. 教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，提醒课题 1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？ 2.这种关系在任意三角形中也成立吗？ 3.介绍其它的证明方法 二、研探新知 1.正弦定理的推导 ab,sinb?,sinc?1， cc abcabc 即 c?，c?，c?= sinasinbsincsinasinbsinc（1）在直角三角形中：sina? 能否推广到斜三角形？ （2）斜三角形中 证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜abc中，先作出三边上的高ad、be、cf，则ad?csinb，be?asinc，cf?bsina所以s?abc?111absinc?acsinb? bcsina，每项222 1abc ?同除以abc即得： 2sinasinbsinc 证明二：（外接圆法）如下图，ad bcaa?2r，?2r ?cd?2r同理 sinasindsinbsinc ? 证明三：（向量法）过a作单位向量j垂直于ac，由ac+cb?ab，两边同乘以单位向量j得j ? ?(ac+cb)?j?ab，则j?ac+j?cb?j?ab ? ? |j|?|ac|cos90?+|j|?|cb|cos(90?c)=| j|?|ab|cos(90?a) ac asinc?csina= sinasinc?cbabc ?同理，若过c作j垂直于cb得：= sinasinbsincsincsinb 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sina 2.理解定理 ? b sinb ? c sin （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使a?ksina,b?ksinb,c?ksinc； （2） abcabbcac =等价于=，=，=，即可得正弦定理的sinasinbsincsinasinbsinbsincsinasinc 变形形式： 1）a?2rsina,b?2rsinb,c?2rsinc； abc ,sinb?,sinc?； 2r2r2r 3）sina:sinb:sinc?a:b:c 2）sina? （3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如a? bsina ； sinb a sinb。 b 2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角如sina?一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示） a?bsinabsina?a?ba?ba?b 一解两解一解一解 abc 留意：（1）正弦定理的表达：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，= sinasinbsinc 它适合于任何三角形。（2）可以证明 abc ?2r（r为abc外接圆半径） = sinasinbsinc （3）每个等式可视为一个方程：知三求一 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 三、质疑辩论，排难解惑，进展思维 例1 已知在?abc中，c?10,a?450,c?300,求a,b和b 解：?c?10,a?45,c?30b?180?(a?c)?105由 ac ?得sinasinc csina10?sin450bc ?2 a?由得 sinbsincsincsin300 csinb10?sin1050?20 b?20sin75?20?56?52 0 sinc4sin30 例2 在?abc中，b?,b?600,c?1,求a和a,c bccsinb1?sin6001解：?,?sinc?，?b?c,b?600,?c?b,c为锐角， sinbsincb23 ?c?300,b?900a?b2?c2?2 例3 ?abc中，c?6,a?450,a?2,求b和b,c accsina6?sin450300 ?,?sinc?解：? ?csina?a?c,?c?60或120 sinasinca22csinb6sin750 ?当c?60时，b?75,b?3?1， 0 sincsin60 csinb6sin150 ?当c?120时，b?15,b?1 sincsin600 ?b?1,b?750,c?600或b?3?1,b?150,c?1200 例4 试推断以下三角形解的状况： （1）已知b?11,c?12,b?600 （2）已知a?7,b?3,a?1100（3）已知b?6,c?9,b?450 四、稳固深化，反应矫正 1.在?abc中，三个内角之比a:b:c?1:2:3，那么a:b:c等于_ 2.在?abc中，b?1350,c?150,a?5,则此三角形的最大边长为_ 3.在?abc中，已知a?xcm,b?2cm,b?450，假如利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_ 4.在?abc中，已知b?2csinb，求?c的度数 五、归纳整理，整体熟悉 1用三种方法证明白正弦定理： （1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积（3）外接圆法 2理论上正弦定理可解决两类问题： （1）两角和任意一边，求其它两边和一角； （2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角 3.（1）推断三角形的外形特征，必需深入讨论边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要讨论角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进展代(转载请注明来源.hAOWORD.COM)换、转化、化简、运算，提醒出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的推断六、承上启下，留下悬念 七、板书设计（略） 八、课后记： 第五篇：高中数学 根本不等式的证明(1)教案3 苏教版必修5 第 10 课时：3.4.1根本不等式的证明（1） 【三维目标】： 一、学问与技能 1.探究并了解根本不等式的证明过程，体会证明不等式的根本思想方法； 2.会用根本不等式解决简洁的最大（小）值问题； 3.学会推导并把握根本不等式，理解这个根本不等式的几何意义，并把握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 4.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释； 二、过程与方法 1.通过实例探究抽象根本不等式； 2.本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要擅长引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明，从而进一步突破难点。变式练习的设计可加深学生对定理的理解，并为以后实际问题的讨论奠定根底。两个定理的证明要注意严密性，教师要帮忙学生分析每一步的理论依据，培育学生良好的数学品质 三、情感、态度与价值观 1.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 2.培育学生举一反三的规律推理力量，并通过不等式的几何解释，丰富学生数形结合的想象力 【教学重点与难点】： ?a?b的证明过程； 2a?b等号成立条件及 “当且仅当a?b时取等号”的数学内涵 2 【学法与教学用具】： 1.学法：先让学生观看常见的图形，通过面积的直观比拟抽象出根本不等式。从生活中实际问题复原出数学本质，可积极调动地学生的学习热忱。定理的证明要留给学生充分的思索空间，让他们自主探究，通过类比得到答案 2.教学用具：直角板、圆规、投影仪（多媒体教室） 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】： 一、创设情景，提醒课题 a? b 2 a?b2. 的几何背景： 21. 提问： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是依据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热忱好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系）。 二、研探新知 22重要不等式 ：一般地，对于任意实数 a、b，我们有a?b?2ab，当且仅当a?b时，等号成立。 证明: a?b?2ab?(a?b),当a?b时，(a?b)?0,当a?b时, (a?b)?0, 1 22222 所以a?b?2ab 22留意强调当且仅当a?b时, a?b?2ab 22 留意：（1）等号成立的条件，“当且仅当”指充要条件； （2） 公式中的字母和既可以是详细的数字，也可以是比拟简单的变量式，因此应用范围比拟广泛。 根本不等式：对任意正数a、b ，有a?b?当且仅当a?b时等号成立。 2 a?b?当且仅当a?b时等号成立。 2证法1：可以将根本不等式2看作是根本不等式1的推论。 由根本不等式1， 得2?2? ? 证法2：a? b11? ?2?2?2? 0?a?b222 时，取“?”。 a? b，只要证?a? b，只要证0?a? b，只要证0?2 a? b?a?b时，取“?”。 2 a?b?证法4：对于正数a,b 有2? 0，?a?b? ?0?a?b?2 a? b说明： 把a,b的算术平均数和几何平均数，上述不等式可表达为：两个正2证法3 ? 数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 上述结论可推广至3个正数。 （1）根本不等式成立的条件是：a?0,b?0 （2）不等式证明的三种方法：比拟法（证法1）、分析法（证法2）、综合法（证法3） a?b?ab的几何解释：（如图1）以a?b为直径作圆，在直径ab上取一点c， 过c作弦2 a?bdd?ab，则cd2?ca?cb?ab，从而cd?ab，而半径?cd?ab 2a?b?几何意义是：“半径不小于半弦” 2b （4）当且仅当a?b时，取“?”的含义：一方面是当a?b时取等号，即 a?ba?b ?；另一方面是仅当a?b时取等号，即 2（图1） a?b?a?b。 2（3） 22（5）假如a,b?r，那么a?b?2ab（当且仅当a?b时取“?”） （6）假如把a?b看作是正数a、b的等差中项，ab看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙2 述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 . 2.在数学中，我们称a?b为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙2 述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、质疑辩论，排难解惑，进展思维 例1 （教材p88例1）设a,b为正数，证明以下不等式成立：（1） 证明：（1）a,b为正数，ba1?2；（2）a?2 abababa,也为正数，由根本不等式得?2原不等式成立。 ab ab（2）a,1 a 均为正数，由根本不等式得a?1 a?2，原不等式成立。 例2 已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2?b2?c2?ab?bc?ca 证明：a,b,c为两两不相等的实数，a2?b2?2ab，b2?c2?2bc，c2?a2?2ca， 以上三式相加：2(a2?b2?c2)?2ab?2bc?2ca，所以，a2?b2?c2?ab?bc?ca 例3 已知a,b,c,d都是正数，求证(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 证明：由a,b,c,d都是正数，得： ab?cd 2? 0，ac?bd 2?0，(ab?cd)(ac?bd) 4?abcd，即(ab?cd)(ac?bd)?4abcd 例4 已知函数y?x?1 x?1,x?(1,?)，求y的范围 例5 2?2 ?0， 又x2?3?1， ?， 22 ? ?2?2 四、稳固深化，反应矫正 1.已知x,y都是正数，求证： (x?y)(x2?y2)(x3?y3)?8x3y3 2.已知a,b,c都是正数，求证：(a?b)(b?c)(c?a)?8abc； 3. 思索题：若x?0，求x?1 x的最大值 五、归纳整理，整体熟悉 1算术平均数与几何平均数的概念； 2根本不等式及其应用条件； 3不等式证明的三种常用方法。 小结：正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 六、承上启下，留下悬念 七、板书设计（略） 八、课后记：