实验数学九确定炮弹射击的安全区省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

1确定炮弹射击安全区确定炮弹射击安全区9.1 实验目 本试验包括微积分和微分方程。经过试验复习曲线参数方程及其求导、复合函数微商法、微分方程建立及求解和一些二次曲面等知识；另外经过两个实际问题介绍平面单参数曲线族包络线概念及其应用。9.2 试验问题试验问题 炮兵在进行射击演练时，必须考虑建立安全区问题。假如炮弹发射速度为，发射角度则不加限制。试经过分析弹道曲线来取得射击演练安全区。、弹道曲线第1页2 设炮弹发射位置为原点O。显然，只要在过点O且与地面垂直平面内考查弹道情况就能够了。在此平面建立坐标系。假如不计空气阻力，轻易得到炮弹弹道曲线满足下微分方程组：第2页3初值条件：其中m为炮弹质量，g为重力加速度，为炮弹在t时刻坐标，为炮弹初速度，为发射角 对（9.1）积分两次，并将（9.2）代入，即可导出弹道曲线参数方程为第3页4消去参数t，能够得到弹道曲线直角坐标表示式：这是我们十分熟悉抛物线。、安全区和包络线当发射角改变时，取就形成一族抛物线段（见图9.2）。所以，（9.3）或（9.4）能够看作是带有参数平面曲线族。，对应弹道曲线第4页5 由图可见，全部弹道曲线与图上一条虚线 l 相切，将这虚线绕y轴旋转一定角度（炮座所能旋转角度），形成一个旋转面一部分。由这张曲面以及炮座旋转左右两个极限位置发出弹道曲线所在平面围成区域之外炮弹不可能击中，因而称之为“安全区”，l 也就称为“安全曲线”。怎样求出l呢？从图还可见，安全线本身并不是某一条弹道曲线，不过安全线上每一点，必有某一条也只有一条弹道曲线在该点与它相切。第5页6 抽象成数学概念，我们称安全线为弹道曲线族包络线。、问题1求解 设某一平面曲线族为，其中为参数。其包络线l如图9.3所表示。在l上任取一点，必有曲线族中某一条曲线c与l相切于点p。也就是说，一旦确定了参数 值，点p也被唯一地确定。第6页7所以，点p坐标是参数函数，即它们满足由式（9.5）知，l在点p切线斜率为而c在点p切线斜率为第7页8令以上二者相等，可得将（9.6）式对求导数，得到将（9.9）式代入（9.10）式，即得综合（9.6）式与（9.11）式，得到l应满足方程组：第8页9下面我们利用（9.12）来考查（9.4）式，对求导解出代入（9.4），即得安全线方程第9页10 这也是一条抛物线，其最大值和与x正半轴交点横坐标分别为 若取z轴与x、y轴成空间直角坐标系，则安全线所形成旋转面为以及代入，即得第10页11 于是射击演练安全区就由此旋转抛物面与两个过y轴平面围成。由上式或（9.15）式可知，演练时炮弹高度将不超出2 041（m），射程将不超出4 082（m）。假如曲线族参数方程形式已给出，则类似可推出其包络线l应满足判别方程组为：第11页12实际上对于包络线所以对于曲线C所以所以即有第12页13下面我们再用（9.17）来考查（9.3）式，利用（9.17）中第三式解得代回式（9.3），又得到l参数方程：第13页14消去此式中，一样可得（9.14）式。注意，（9.12）或（9.17）是包络线判别方程，即包络线应满足（9.12）或（9.17）式；但满足判别方程却不一定是曲线族包络线。反例见讲义第14页159.3 试验任务试验任务1，2第15页