年数学高考题型突破立体几何省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

第九单元第九单元 立体几何立体几何知识体系知识体系第1页第一节第一节 空间几何体结构及其三视图和直观图空间几何体结构及其三视图和直观图基础梳理基础梳理1.多面体(1)有两个面相互平行,其余各面都是四边形,而且每相邻两个四边形公共边都相互平行,由这些面所围成多面体叫做棱柱.(2)有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点三角形,由这些面所围成多面体叫做棱锥.(3)用一个平行于棱锥底面平面截棱锥,底面和截面之间这部分多面体叫做棱台.第2页2.旋转(1)以矩形一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成面所围成旋转体叫做圆柱.(2)以直角三角形一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成面所围成旋转体体叫做圆锥.(3)以半圆直径所在直线为旋转轴,将半圆旋转一周形成旋转体叫做球体,简称球.3.三视图和直观图(1)三视图是从一个几何体正前方、正左方、正上方三个不一样方向看这个几何体,描绘出图形,分别称为正视图、侧视图、俯视图.(2)三视图排列次序:先画正视图,俯视图放在正视图下方,侧视图放在正视图右方.(3)三视图三大标准:长对正、高平齐、宽相等.第3页(4)水平放置平面图形直观图斜二测画法：在已知图形中,取相互垂直x轴和y轴,两轴相交于点O,画直观图时,把它们画成对应x轴和y轴,两轴相交于O,且使xOy=45(或135),用它们确定平面表示水平面.已知图形中平行于x轴或y轴线段,在直观图中,分别画成平行于x轴或y轴线段.已知图形中平行于x轴线段,在直观图中保持原长度不变；平行于y轴线段,在直观图中长度变为原来二分之一.典例分析典例分析题型一题型一 空间几何体结构特征空间几何体结构特征【例1】依据以下对几何体结构特征描述,说出几何体名称.(1)由八个面围成,其中两个面是相互平行且全等正六边形,其它各面都是矩形;(2)一个等腰梯形绕着两底边中点连线所在直线旋转180形成封闭曲面所围成图形;(3)一个直角梯形绕较长底边所在直线旋转一周形成曲面所围成几何体.第4页分析分析 要判断几何体类型,从各类几何体结构特征入手，以柱、锥、台定义为依据，把复杂几何体分割成几个简单几何体.解解 (1)如图1所表示,该几何体满足有两个面平行,其余六个面都是矩形,可使每相邻两个面公共边都相互平行,故该几何体是正六棱柱.(2)如图2所表示,等腰梯形两底边中点连线将梯形平分为两个直角梯形,每个直角梯形旋转180形成半个圆台,故该几何体为圆台.(3)如图3所表示,由梯形ABCD顶点A引AOCD于O点,将直角梯形分为一个直角三角形AOD和矩形AOCB,绕CD旋转一周形成一个组合体,该组合体由一个圆锥和一个圆柱组成.图1 图2 图3第5页学后反思学后反思 对于不规则平面图形绕轴旋转问题,要对原平面图形作适当分割,再依据圆柱、圆锥、圆台结构特征进行判断.举一反三举一反三1.如图所表示，直角梯形ABCD中，ABBC，绕着CD所在直线l旋转，试画出立体图并指出几何体结构特征.解析：解析：如图所表示，过A、B分别作 CD，CD，垂足分别为 、，则Rt 绕l旋转一周所形成面围成几何体是圆锥，直角梯形 绕l旋转一周所形成面围成几何体是圆台，Rt 绕l旋转一周所形成面围成几何体是圆锥.综上可知，旋转所得几何体下面是一个圆锥，上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面圆锥.第6页【例【例2】以下三个命题，其中正确有()用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间部分是棱台；两个底面平行且相同，其余各面都是梯形多面体是棱台；有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形六面体是棱台.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个题型二题型二 基本概念与性质基本概念与性质分析分析 利用棱台定义和特殊几何体加以说明.解解 中平面不一定平行于底面，故错；如图，四条侧棱不一定交于一点，故错，答案选A.学后反思学后反思 在开始学习立体几何时，要学会观察、分析并记住一些特殊物体或图形，方便于我们做题.反例推证是一个主要数学方法，望大家熟练掌握.第7页举一反三举一反三2.下面是关于四棱柱四个命题:若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若过两个相对侧棱截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;若四棱柱四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中,真命题编号是 .解析解析:对于,平行六面体两个相对侧面也可能与底面垂直且相互平行,故假;对于,两截面交线平行于侧棱,且垂直于底面,故真;对于,作正四棱柱两个平行菱形截面,可得满足条件斜四棱柱,如图1,故假;对于,四棱柱一个对角面两条对角线恰为四棱柱对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面一对角线,一样侧棱也垂直于底面另一对角线,故侧棱垂直于底面,故真,如图2.答案答案:第8页题型三题型三 柱、锥、台中计算问题柱、锥、台中计算问题【例【例3 3】正四棱台高是17 cm,两底面边长分别是4 cm和16 cm,求棱台侧棱长和斜高.分析分析 求棱台侧棱长和斜高关键是找到相关直角梯形,然后结构直角三角形,处理问题.解解 如图所表示,设棱台两底面中心分别是 、O,和BC中点分别是 和E,连接 、OB、OE,则四边形 和 都是直角梯形.=4 cm,AB=16 cm,=2 cm,OE=8 cm,=2 cm,OB=8 cm,=19 cm,棱台侧棱长为19 cm,斜高为 cm.第9页学后反思学后反思 （1）把空间问题转化为平面问题去解是处理立体几何问题惯用方法.（2）找出相关直角梯形，结构直角三角形是解题关键，正棱台中许多元素都能够在直角梯形中求出.举一反三举一反三3.一个底面半径和高都是R圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点圆锥,得到如图所表示几何体.假如用一个与圆柱下底面距离等于l而且平行于底面平面去截它,求所得截面面积.解析解析：轴截面如图所表示:第10页被平行于下底面平面所截得圆柱截面圆半径 ,设圆锥截面圆半径 为x.OA=AB=R,OAB是等腰直角三角形.又CDOA,则CD=BC,=AC,即x=l.截面面积题型四题型四 三视图与直观图三视图与直观图【例【例4 4】螺栓是由棱柱和圆柱组成组合体,以下列图,画出它三视图.分析分析 螺栓是棱柱、圆柱组合而成，按照画三视图三大标准“长对正，高平齐，宽相等”画出.第11页解解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成,正视图反应正六棱柱三个侧面和圆柱侧面,侧视图反应正六棱柱两个侧面和圆柱侧面,俯视图反应该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合).它三视图以下列图:学后反思学后反思（1）在绘制三视图时,若相邻两物体表面相交,表面交线是它们分界限.在三视图中,分界限和可见轮廓线都用实线画出.比如上图中,表示上面圆柱与下面棱柱分界限是正视图中线段AB、侧视图中线段CD以及俯视图中圆.（2）有些几何体正视图和侧视图会因观察角度不一样而不一样，所以，要注意几何体中所给出观察角度.第12页举一反三举一反三4.(广东)将正三棱柱截去三个角(如图1所表示,A、B、C分别是GHI三边中点)得到几何体如图2,则该几何体按图2所表示方向侧视图为()第13页解析解析 由正三棱柱性质得,侧面AED底面EFD,则侧视图必为直角梯形,且线段BE在梯形内部.答案答案 A【例【例5 5】(12分)用斜二测法画出水平放置等腰梯形直观图.分析分析 画水平放置直观图应遵照以下标准:(1)坐标系中xOy=45;(2)横线相等,即AB=AB,CD=CD;(3)竖线是原来 ,即OE=OE.第14页画法画法 (1)如图1,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,.3画对应坐标系xOy,使xOy=45.5(2)以O为中点在x轴上取AB=AB,在y轴上取OE=OE,以E为中点画CDx轴,并使CD=CD10(3)连接BC、DA,所得四边形ABCD就是水平放置等腰梯形ABCD直观图,如图2.12 图1 图2 学后反思学后反思 在原图形中要建立适当直角坐标系，普通取图形中某一横线为x轴，对称轴为y轴，或取两垂直直线为坐标轴，原点可建在图形某一顶点或对称中心、中点等.坐标系建得不一样，但画法规则不变，关键是画出平面图形中相对应顶点.第15页举一反三举一反三5.如图建立坐标系，得到正三角形ABC直观图不是全等三角形一组是()解析解析:按照斜二测画法作图规则,对四个选项逐一验证,可知只有选项C符合题意.答案答案:C第16页易错警示易错警示【例】画出如图1所表示零件三视图.错解错解 图1零件可看做是一个半圆柱、一个柱体、一个圆柱组合,其三视图如图2.图1 图2错解分析错解分析 错误原因是图中各视图都没有画出中间柱体和圆柱交线，画图时应画出其交线.正解正解第17页考点演练考点演练10.多面体上，位于同一条棱两端顶点称为相邻.如图所表示，正方体一个顶点A在平面内，其余顶点在同侧.正方体上与顶点A相邻三个顶点到距离分别为1,2和4.P是正方体其余四个顶点中一个，则P到平面距离可能是：3；4；5；6；7.以上结论正确为.（写出全部正确结论编号）解析解析:设底面四点分别为A、B、C、D，连接AC、BD，且ACBD=O,B、C、D、O在平面上射影分别为B、C、D、K,则当点P在点C位置时，有CC=2OK=3,所以正确.同理可得、也是正确.答案答案:第18页11.圆台两底面半径分别为5 cm和10 cm,高为8 cm,有一个过圆台两母线截面,且上、下底面中心到截面与两底面交线距离分别为3 cm和6 cm,求截面面积.解析解析 如图所表示截面ABCD,取AB中点F,CD中点E,连接OF,，EF,OA,则 为直角梯形,ABCD为等腰梯形,EF为梯形ABCD高,在直角梯形 中,（cm），在Rt 中，（cm）,同理,（cm）,第19页12.有一块扇形铁皮OAB，AOB=60，OA=72 cm，要剪下来一个扇环形ABCD作圆台形容器侧面，并在余下扇形OCD内剪下一块与其相切圆形，使它恰好作圆台形容器下底面（大底面，如图），试求：（1）AD应取多长？（2）容器容积.解析：解析：(1)如图，设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD=x，则OD=72-x.由题意得R=12,r=6,x=36，AD=36 cm.第20页(2)圆台高第21页第二节第二节 空间几何体表面积与体积空间几何体表面积与体积基础梳理基础梳理1.柱体、锥体、台体侧面积,就是各侧面面积之和；表面积是各个面面积之和,即侧面积与底面积之和.2.把柱体、锥体、台体面展开成一个平面图形,称为它展开图,它表面积就是展开图面积.3.圆柱、圆锥、圆台侧面积及表面积第22页4.柱、锥、台体体积这是柱体、锥体、台体统一计算公式,尤其地，圆柱、圆锥、圆台还能够分别写成:5.球体积及球表面积设球半径为R,第23页典例分析典例分析题型一题型一 几何体表面积问题几何体表面积问题【例1】已知一个正三棱台两底面边长分别为30 cm和20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台高.分析分析 要求正棱台高，首先要画出正棱台高，使其包含在某一个特征直角梯形中，转化为平面问题，由已知条件列出方程，求解所需几何元素.解解 如图所表示,正三棱台ABC-中,O、分别为两底面中心,D、分别为BC和 中点,则 为棱台斜高.设 =20,AB=30,则OD=5 ,=,由 ,得在直角梯形 中,棱台高为4 cm.第24页学后反思学后反思 (1)求解相关多面体表面积问题,关键是找到其特征几何图形,处理旋转体表面积问题,要利用好旋转体轴截面及侧面展开图.（2）借助于平面几何知识,利用已知条件求得所需几何要素.举一反三举一反三1.一个球内有相距9 cm两个平行截面，面积分别为 和 ，试求球表面积.解析解析：（1）当球心在两个截面同侧时，如图1所表示.设OD=x，由题意知同理可得BD=20 cm.设球半径为R，则依题意得：即 解得x=15 cm,R=25 cm.故第25页（2）当球心在两个截面之间时，如图2所表示，设OD=x cm，则OC=(9-x)cm.由题意得 CA=7 cm，同理可得BD=20 cm.设球半径为R,则依题意知即 此方程无正数解.故此种情况不可能.综上可知,球表面积为第26页【例【例2】直平行六面体底面为菱形,过不相邻两条侧棱截面面积分别为 ,求它侧面积.分析分析 要求此棱柱侧面积,只要求它底面边长与高即可.解解 设直平行六面体底面边长为a,侧棱长为l,如图,则 ,因过 截面都为矩形,从而 则又ACBD,即所以第27页学后反思学后反思 (1)在多面体或旋转体中，要正确识别和判断某截面图形形状和特征.（2）用已知量来表示侧面面积公式中未知量，利用平面几何知识（菱形对角线相互垂直平分），采取整体代入，设而不求，降低了运算量，简化了运算过程.举一反三举一反三2.三棱柱 底面是等腰三角形(AB=AC),BAC=2,上底面顶点 在下底面射影是下底面三角形外接圆圆心O,下底面ABC外接圆半径为R,侧棱 和AB成2角,求三棱柱侧面积.第28页AOBC,BC,BC平面 ,BC,故 BC,又BC=2Rsin 2,解析：解析：如图所表示,作ODAB于D,则AD=Rcos,AB=2Rcos,易知 AD，且 D=2,第29页题型二题型二 几何体体积问题几何体体积问题【例3】已知四棱台两底面均为正方形，边长分别为4 cm，8 cm，侧棱长为8 cm，求它侧面积和体积.分析分析 由题意知,需求侧面等腰梯形高和四棱台高,然后利用平面图形面积公式和台体体积公式求得结论.解解 如图,设四棱台侧棱延长后交于点P,则PBC为等腰三角形,取BC中点E,连接PE交 于点 ,则PEBC,E为侧面等腰梯形高,作PO底面ABCD交上底面于点 ,连接 、OE.在P 和PBC中,为PB中点,为PE中点.在RtPEB中,第30页在RtPOE中,学后反思学后反思 （1）求棱台侧面积与体积要注意利用公式以及正棱台中“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它们是架起“求积”关系式中未知量与满足题设条件中几何图形元素间关系“桥梁”.（2）平行于棱台底面截面分棱台侧面积与体积比问题，通常是“还台为锥”，而后利用平行于棱锥底面截面性质去解.“还台为锥”借助于轴截面，将空间问题转化为平面问题，求出相关数据，进行计算.“还台为锥”是处理棱台问题主要方法和伎俩.第31页举一反三举一反三3.如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1正方形,且ADE、BCF均为正三角形,EFAB,EF=2,则该多面体体积为 .解析解析 如图,分别过A、B作EF垂线,垂足分别为G、H,连接DG、CH,易求得EG=HF=,AG=GD=BH=HC=,答案答案 第32页题型三题型三 组合体体积和表面积问题组合体体积和表面积问题【例【例4 4】(12分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E为AB中点,将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱锥外接球体积.分析分析 易知折叠成几何体为棱长为1正四面体,欲求外接球体积，求其外接球半径即可.解解 由已知条件知,在平面图形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1所以折叠后得到一个正四面体.方法一:如图，作AF面DEC,垂足为F,F即为DEC中心3取EC中点G,连接DG、AG,过外接球球心O作OH面AEC,则垂足H为AEC中心.5外接球半径可利用OHAGFA求得.AG=,AH=AG=，AF=,7第33页在AFG和AHO中,依据三角形相同可知,.10外接球体积为 .12方法二:如图,把正四面体放在正方体中.显然,正四面体外接球就是正方体外接球.4正四面体棱长为1,正方体棱长为 ,.6外接球直径2R=,10R=,体积为 12第34页学后反思学后反思 (1)折叠问题是高考经常考查内容之一,处理这类问题要注意对翻折前后线线、线面位置关系，所成角及距离加以比较.普通来说，位于棱两侧同二分之一平面内元素其相对位置关系和数量关系在翻折前后不发生改变，分别位于两个半平面内元素其相对位置关系和数量关系则发生改变;不变量可结合原图形求证，改变量应在折后立体图形中求证.对一些翻折不易看清元素，可结合原图形去分析、计算，即将空间问题转化为平面问题.（2）由方法二可知，相关柱、锥、台、球组合体，经常是把正方体、长方体、球作为载体，去求一些量.处理这类问题，首先要把这些载体图形形状、特点及性质掌握熟练，把问题进行转化，使运算和推理变得更简单，表达了转化思想是立体几何中一个非常主要思想方法.第35页举一反三举一反三4.有一个倒圆锥形容器,它轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r铁球,并注入水,使水面与球恰好相切,然后将球取出,求这时容器中水深度.解析解析：如图,作出轴截面,因轴截面是正三角形,依据切线性质知当球在容器内时,水深度为3r,水面半径为 ,则容器内水体积为将球取出后，设容器内水深度为h，则水面圆半径为 ，从而容器内水体积是 由V=V得第36页易错警示易错警示【例】【例】在半径为15球内有一个底面边长为 内接正三棱锥,求此正三棱锥体积.错解错解如图,显然OV=OA=OB=OC=15,ABC是边长为 正三角形,它中心为H,H也是顶点V和球心O在底面ABC射影,HA=HB=HC=12,能够解得OH=9,三棱锥高VH=9+15=24,即此正三棱锥体积为 .错解分析错解分析 遗漏了正三棱锥顶点和球心在正三棱锥底面异侧情形.第37页正解正解 设此正三棱锥为V-ABC,球心为O,则OV=OA=OB=OC=15.设ABC中心为H,则H也是顶点V和球心O在底面ABC射影,HA=HB=HC=12,OH=9.（1）如图1,当顶点V和球心O位于平面ABC同侧时,高VH=9+15=24,（2）如图2,当顶点V和球心O位于平面ABC异侧时,高VH=15-9=6,综上,此三棱锥体积为 .第38页考点演练考点演练10.若一个正三棱柱三视图以下列图所表示,则这个正三棱柱表面积为.解析解析:侧视图中矩形长为原正三棱柱底面正三角形高,可求得底面正三角形边长为4,从而可求得表面积答案答案:24+83第39页11.正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直底面）ABCDEF-各棱长均为1，求:(1)正六棱柱表面积；（2）一动点从A沿表面移动到点 时最短旅程.解析解析：（1）可知（2）将所给正六棱柱如图2表面按图1部分展开.易得 故从A点沿正侧面和上底面到 旅程最短，为 .第40页12.三棱锥一条侧棱长是16 cm,和这条棱相正确棱长是18 cm,其余四条棱长都是17 cm,求棱锥体积.解析：解析：如图，设AD=16 cm,则BC=18 cm,取AD中点E,连接CE、BE,AC=CD=17 cm,DE=8 cm,CEAD,并易知BE=CE,取BC中点F,连接EF,EF为BC边上高,CEAD,同理BEAD,DA平面BCE,三棱锥体积可分为以BCE为底，以AE、DE为高两个三棱锥体积 之和,第41页第三节第三节 空间点、直线、平面之间位置关系空间点、直线、平面之间位置关系基础梳理基础梳理1.平面基本性质名称 图形 文字语言 符号语言公理1假如一条直线上有两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 公理2经过不在同一条直线上三个点确定一个平面 A、B、C不共线A、B、C平面且是唯一 公理3假如不重合两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点公共直线 若P,P,则=a,且Pa 第42页公理4 平行于同一条直线两条直线相互平行 若ab,bc,则ac 公理2推论 推论1 经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面 若点A直线a,则A和a确定一个平面 推论2两条相交直线确定一个平面 ab=P 有且只有一个平面,使a,b 推论3两条平行直线确定一个平面 ab 有且只有一个平面,使a,b第43页2.空间直线与直线位置关系(1)位置关系 相交 共面 共面是否 平行 异面 一个公共点:相交公共点个数 平行 无公共点 异面(2)公理4(平行公理):平行于同一直线两条直线相互平行.(3)定理:空间中假如两个角两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.第44页（4）异面直线夹角定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线aa,bb，我们把两相交直线a、b所成角叫做异面直线a、b所成角（或夹角）.范围：（0,.尤其地，假如两异面直线所成角是 ，我们就称这两条直线垂直，记作ab.3.空间中直线与平面位置关系 直线在平面内有没有数个公共点 直线与平面相交有且只有一个公共点 直线在平面外 直线与平面平行无公共点4.平面与平面位置关系平行无公共点相交有且只有一条公共直线第45页典例分析典例分析题型一题型一 点、线、面位置关系点、线、面位置关系【例1】以下命题:空间不一样三点确定一个平面;有三个公共点两个平面必重合;空间两两相交三条直线确定一个平面;三角形是平面图形;平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;垂直于同一直线两直线平行;一条直线和两平行线中一条相交,也必和另一条相交;两组对边相等四边形是平行四边形.其中正确命题是_.分析分析 依据公理及推论作判断.第46页解解 由公理2知,不共线三点才能确定一个平面,所以命题、均错,中有可能出现两平面只有一条公共线(当这三个公共点共线时);空间两两相交三条直线有三个交点或一个交点,若为三个交点,则这三线共面,若只有一个交点,则可能确定一个平面或三个平面;正确;中平行四边形及梯形由公理2推论及公理1可得必为平面图形,而四边形有可能是空间四边形;如图,在正方体ABCD-ABCD中,直线BBAB,BBBC,但AB与BC不平行,所以错;ABCD,BBAB=B,但BB与CD不相交,所以错;四边形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四边形,所以也错.学后反思学后反思 平面性质三个公理及其推论是论证线面关系依据,在判断过程中要注意反例和图形应用.第47页举一反三举一反三1.给出以下命题：假如平面与平面相交,那么它们只有有限个公共点;经过空间任意三点平面有且只有一个;假如两个平面有三个不共线公共点,那么这两个平面重合为一个平面;不平行两直线必相交.其中正确命题序号为_.解析解析 由公理3知，错;由公理2知，错;对;不平行两直线可能异面，故错.答案答案 题型二题型二 证实三点共线证实三点共线【例2】已知ABC三个顶点都不在平面内,它三边AB、BC、AC延长后分别交平面于点P、Q、R.求证:P、Q、R三点在同一条直线上.第48页分析分析 要证实P、Q、R三点共线,只需证实这三点都在ABC所在平面和平面交线上即可.证实证实 由已知条件易知,平面与平面ABC相交.设交线为,即=面ABC.PAB,P面ABC.又PAB,P,即P为平面与面ABC公共点,P.同理可证,点R和Q也在交线 上.故P、Q、R三点共线于.学后反思学后反思 证实多点共线方法是：以公理3为依据，先找出两个平面交线，再证实各个点都是这两个面公共点，即在交线上，则多点共线.或者，先证实过其中两点直线是这两个平面交线，然后证实第三个点也在交线上.同理，其它点都在交线上，即多点共线.第49页举一反三举一反三2.如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接,且连接点不在同一平面内,所组成空间图形叫空间四边形)各边AB、AD、CB、CD上点,且直线EF和GH交于点P,如图所表示.求证:点B、D、P在同一条直线上.证实证实 因为直线EF和GH交于点P,PEF,又EF平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD与平面CBD交线BD上,即B、D、P三点在同一条直线上.题型三题型三 证实点线共面证实点线共面【例3】求证:两两相交且不共点四条直线在同一平面内.分析分析 由题知，四条直线两两相交且不共点，故有两种情况：一个是三条交于一点，另一个是任何三条都不共点，故分两种情况证实.要证实四线共面，先依据公理2推论证两条直线共面，然后再证第三条直线在这个平面内，同理第四条直线也在这个平面内，故四线共面.第50页证实证实 (1)如图,设直线a,b,c相交于点O,直线d和a,b,c分别相交于A,B,C三点,直线d和点O确定平面,由O平面,A平面,O直线a,A直线a,知直线a平面.同理b平面,c平面,故直线a,b,c,d共面于.(2)如图,设直线a,b,c,d两两相交,且任何三线不共点,交点分别是M,N,P,Q,R,G,由直线ab=M,知直线a和b确定平面.由ac=N,bc=Q,知点N、Q都在平面内,故c.同理可证d,故直线a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,两两相交且不共点四条直线必在同一平面内.学后反思学后反思 证多线共面方法：（1）以公理、推论为依据先证两直线共面，然后再由公理1证第三条也在这个平面内.同理其它直线都在这个平面内.（2）先由部分直线确定平面，再由其它直线确定平面,然后证实这些平面重合.第51页举一反三举一反三3.在正方体ABCD-中,E是AB中点,F是 中点.求证:E、F、C四点共面.证实证实 如图，连接 ,EF,.E是AB中点,F是 中点,EF .,EF .故E、F、C四点共面.题型四题型四 证实三线共点证实三线共点【例【例5 5】(12分)已知四面体A-BCD中,E、F分别是AB、AD中点,G、H分别是BC、CD上点,且 .求证:直线EG、FH、AC相交于同一点P.分析分析 先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后证实这一点在AC上.第52页证实E、F分别是AB、AD中点,EFBD且EF=BD.2又 ,GHBD且GH=BD,EFGH且EFGH,4四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交,设两腰EG、FH延长线相交于一点P,.6EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.8又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10故直线EG、FH、AC相交于同一点P12学后反思学后反思 证实三线共点方法:首先证实其中两条直线交于一点，然后证实第三条直线是经过这两条直线两个平面交线；由公理3可知，两个平面公共点必在这两个平面交线上，即三条直线交于一点.第53页举一反三举一反三4.（曲靖模拟）已知：如图所表示空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD中点，G、H分别是BC、CD上点，且CG=CB，CH=CD.求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三直线FH、EG、AC共点.解析解析：（1）如图，连接EF、GH.故EF与GH共面，即E、F、G、H四点共面.（2）EFGH，但EFGH,故EFHG是梯形.如图，设FH与EG交于O点，则OFH平面DAC,OEG平面BAC,O(平面DAC平面BAC)=AC,即直线AC过O点，故三直线FH、EG、AC共点.第54页易错警示易错警示【例】过已知直线a外一点P,与直线a上四个点A、B、C、D分别画四条直线.求证:这四条直线在同一平面内.错解错解 P、A、B三点不共线,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.A、B、C、D均在直线a上,PA、PB、PC、PD四条直线在同一平面内.错解分析错解分析 错解在证实了四条直线分别在三个平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)内后,经过A、B、C、D均在a上,而认为三个平面重合在同一个平面内,这种方法是错误.错误在于没有依据地用一条直线来确保三个平面重合.正解正解 过直线a及点P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在内.直线PA、PB、PC、PD上各有两点在内,由公理1可知,直线PA、PB、PC、PD均在平面内,即四直线共面.第55页10.G、H、M、N分别是正三棱柱顶点或所在棱中点，则表示直线GH、MN是异面直线图形有.（填上全部正确答案序号）解析解析:对于（1），连接GM，显然四边形GMNH是平行四边形；对于（3），连接GM，易知GMHN，故（1）、（3）中GH与MN共面；（2）、（4）中GH与MN是异面.答案答案:（2）（4）第56页11.设ABCD各边和对角线所在直线与平面依次相交于 ,求证:六点在同一条直线上.解析解析：如图，设ABCD所在平面为,A,B,AB.又 AB,.又 ,在平面与平面交线上,设交线为l,则 l.同理可证,都在直线l上,六点在同一条直线上.第57页证明 如图，ab,a、b可以确定一个平面.又 a=A,b=B,Aa,Bb,A,B,AB;又A,B,.其次,bc,b、c可以确定一个平面.同理可证,.平面、均经过直线b、,且b和 是两条相交直线,它们确定平面是唯一,平面与是同一个平面,a、b、c、共面.12.已知直线abc,直线 a=A,b=B,c=C.求证:a、b、c、共面.第58页第四节第四节 直线、平面平行判定及其性质直线、平面平行判定及其性质1.平行直线(1)定义:同一平面内不相交两条直线叫做平行线.(2)公理4:平行于同一条直线两条直线相互平行.(3)线面平行性质定理:假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线平面和这个平面相交,那么这条直线就和两平面交线平行.(4)面面平行性质定理:假如两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们交线平行.(5)线面垂直性质定理:假如两条直线垂直于同一平面,那么这两条直线平行.2.直线与平面平行(1)定义:直线a和平面没有公共点,叫做直线与平面平行.(2)线面平行判定定理:假如不在一个平面内一条直线和平面内一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.基础梳理基础梳理第59页(3)面面平行性质:假如两平面相互平行,那么一个平面内任意一条直线平行于另一个平面.3.平面与平面平行(1)定义:假如两个平面没有公共点,那么这两个平面叫做平行平面.(2)面面平行判定定理:假如一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(3)判定定理推论:假如一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内两条直线,则这两个平面平行.(4)线面垂直性质:假如两平面垂直于同一直线,则这两个平面平行.(5)平行公理:假如两平面平行于同一平面,则这两个平面平行.典例分析典例分析题型一题型一 线线平行线线平行【例1】已知四边形ABCD是空间四边形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.第60页分析分析 若证四边形是平行四边形,只需证一组对边平行且相等或两组对边分别平行即可.证实证实 如图,连接BD.EH是ABD中位线,EHBD,EH=BD.又FG是CBD中位线,FGBD,FG=BD.FGEH,且FG=EH,四边形EFGH是平行四边形.学后反思学后反思 若证实四边形EFGH是平行四边形,可有两条路径：一是证实两组对边分别平行,二是证实一组对边平行且相等.第61页举一反三举一反三1.已知E、分别是正方体ABCD-棱AD、中点.求证:BEC=.证实证实 如图,连接 .,E分别为 ,AD中点,四边形 为平行四边形，四边形 是平行四边形，EB.同理 EC.又 与CEB方向相同，=CEB.第62页题型二题型二 线面平行线面平行【例2】如图,正方体ABCD-中,侧面对角线 上分别有两点E,F,且 .求证:EF平面ABCD.分析分析 要证EF平面ABCD,方法有两种:一是利用线面平行判定定理,即在平面ABCD内确定EF平行线;二是利用面面平行性质定理,即过EF作与平面ABCD平行平面.证实证实 方法一:过E作EMAB于M,过F作FNBC于N,连接MN(如图)，则EM ,FN ,EMFN.AE=BF,第63页EM=FN,四边形EMNF是平行四边形,EFMN.又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.方法二:连接 ,并延长交BC延长线于点P,连接AP(如图).PFB,第64页又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.方法三:过点E作EH 于点H,连接FH(如图)，则EHAB,EHFH=H,平面EFH平面ABCD.EF平面EFH,EF平面ABCD.第65页学后反思学后反思 判断或证实线面平行惯用方法有:(1)利用线面平行定义(无公共点);(2)利用线面平行判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行性质定理(,aa);(4)利用面面平行性质(,a,a,aa).举一反三举一反三2.（无锡调研）如图所表示，在正三棱柱 中，点D是BC中点.求证：.解析解析：如图，连接 ，设 与 交于E，连接DE.点D是BC中点，点E是 中点，DE .平面 ，DE 平面 ,平面 .第66页题型三题型三 面面平行面面平行【例3】如图,正方体ABCD-棱长为1.求证:平面 平面分析分析 要证实平面 平面 ,依据面面平行判定定理或推论，只要证实AC平面 ，平面 ,且AC =A即可.第67页证实证实 方法一:四边形 为平行四边形第68页方法二:易知 和确定一个 平面 ,于是,学后反思学后反思 证实平面与平面相互平行,普通利用面面平行判定定理或其推论,将面面平行转化为线面平行或线线平行来证实.详细方法有:(1)面面平行定义;(2)面面平行判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;(3)利用垂直于同一条直线两个平面平行;(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行;(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”相互转化.第69页3.如图，设AB、CD为夹在两个平行平面、之间线段且直线AB、CD为异面直线，M、P分别为AB、CD中点.求证：MP.解析解析：过A作AECD交于E，连接ED.,ACED.取AE中点N，连接NP、MN，则NPED,MNBE.MNNP=N,且BE、ED，平面MNP.又MP平面MNP,MP.第70页题型四题型四 平行问题探究平行问题探究【例【例4】长方体 ，点PBB（不与B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求证：MN平面AC.分析分析 要证实MN平面AC,只要证实MN平行于平面AC内一条直线即可，而这条直线应与MN共面，因为AC与MN共面，只要证实ACMN即可.证实证实如图，连接 ,AC,为长方体，AC .AC 平面 B,平面 B,AC平面 B.又平面PAC过AC且与平面B 交于MN，MNAC.MN平面AC，AC平面AC，MN平面AC.学后反思学后反思 定理、定义是做题依据，具备了条件，便可得到结论；条件不足，要经过题设和图形结构特征、性质去寻求，增添辅助线是处理问题关键.第71页举一反三举一反三4.（泰安模拟）如图所表示，已知正三棱柱 每条棱长均为a，M为棱 上动点.当M在何处时，并给予证实.解析：解析：当M是 中点时，.证实证实:M为 中点，延长AM、，设AM与 延长线交于点N，则 .连接 并延长与CB延长线交于点G，如图,则BG=CB，在CGN中，为中位线，GN.又GN平面 ,第72页题型五题型五 平行关系综合应用平行关系综合应用【例5】(12分)求证:若一条直线分别和两个相交平面平行,则这条直线必与它们交线平行.分析分析 此题可先过直线作平面分别与已知两平面相交,由线面平行性质定理及公理4,可证得两交线平行,从而深入证得一条交线与另一平面平行,进而可证得结论.证实证实 ,=a.过 作平面交于b,过 作平面交于c,.3,=b,b.(线面平行性质定理)同理 c.5bc.6又c,b,b.(线面平行判定定理).8又b,=a,ba.(线面平行性质定理)10 a.(公理4).12第73页举一反三举一反三学后反思学后反思 把文字语言转化成符号语言和图形语言，过 作平面和与、得到两条交线，利用线面平行性质定理及公理4可证得交线平行，从而深入证实一条交线与另一个平面平行，进而可证得结论.5.已知平面,线段BC,DBC,A，直线AB、AD、AC分别交于E、F、G，且BC=a,AD=b,DF=c,求EG长度.解析：解析：利用点A与线段BC之间不一样位置关系，以及点A、线段BC与平面之间不一样位置关系，进行逻辑划分.分情况讨论：AB、AD、AC延长线分别交于E、F、G；AB、AD、AC反向延长线分别交于E、F、G；A与直线BC位于两侧.第74页（1）如图1，BC，BC平面ABC，平面ABC=EG,BCEG,即又（2）如图2，同理BCEG,AF=DF-DA=c-b,（3）如图3，同理BCEG,AF=AD-DF=b-c,第75页易错警示易错警示【例】【例】在正方体 中，E、F分别是棱BC、中点，求证：EF