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三、收敛数列性质三、收敛数列性质1.2 1.2 数列极限数列极限二、数列极限定义二、数列极限定义一一、概念引入、概念引入四、数列运算法则四、数列运算法则第1页割圆术：割圆术：刘徽刘徽一、概念引入一、概念引入设有一圆，首先作内接正六边形，将其面积记为A1；再作内接正十二边形，将其面积记为A2；作内接二十四边形，将其记为A3；依这类推，内接正6 2n-1边形面积记为An 第2页正十二边形面积正十二边形面积正正 形面积形面积当n越大时，An面积与圆面积差异也就越小；当n时，内接正多边形面积就无线靠近于圆，这就是极限概念.正六边形面积正六边形面积第3页二、数列极限定义二、数列极限定义数列是整标函数数列是整标函数:在几何上：在几何上：比如：比如：1 1、数列定义、数列定义 数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取x1，x2，x3，xn，第4页两个数靠近程度可用这两个数之差绝对值来度量！两个数靠近程度可用这两个数之差绝对值来度量！问题：问题：当当n n无限增大时，对应无限增大时，对应f(n)f(n)能否无限靠近于某个确定数值？能否无限靠近于某个确定数值？“无限靠近无限靠近”意味着什么？怎样用数学语言刻划它？意味着什么？怎样用数学语言刻划它？第5页第6页2 2、数列极限定义、数列极限定义推论推论第7页收敛数列几何意义：收敛数列几何意义：第8页详细详细方法：方法：思索：思索：怎样依据极限定义验证数列极限？用定义验证用定义验证数列数列极限极限,关键关键是怎样由任意给定是怎样由任意给定 00，寻找寻找N N！注：注：该定义并未提供怎样求数列极限，但能够去验证数列极限！第9页例例1 1证证第10页例例2 2证证第11页注注:放大标准：放大标准：第12页例例3 3证证第13页例例4 4证证第14页三、三、收敛数列性质收敛数列性质定理定理1 1（唯一性唯一性）证证第15页定理定理2 2（有界性有界性）证证推论推论2 2推论推论1 1证实之前函数有证实之前函数有界性概念界性概念第16页证证推论推论3 3第17页定理定理3 3 （保号性保号性）证证推论推论 第18页 子数列概念子数列概念定义定义 第19页定理定理4 4证证推论推论 此推论惯用于证实某个数列是发散！比如数列此推论惯用于证实某个数列是发散！比如数列第20页四、数列极限运算法则四、数列极限运算法则 注：注：前两项可推广到前两项可推广到有限有限个个收敛收敛数列情形！数列情形！第21页无穷多个收敛无穷多个收敛数列数列 这是错误这是错误.例例5 5第22页练习练习第23页P26P26第第1 1题（题（5 5）（6 6）（8 8）第第3 3题题 第第5 5题（题（3 3）（4 4）P27P27第第6 6题题P45P45第第1 1题题（1111）（）（1313）第第4 4题题作业作业第24页
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