1、济南大学理学院济南大学理学院 总界面总界面 结束结束 第二章第二章 极限与连续极限与连续 第七节第七节 函数连续性函数连续性初等函数连续性初等函数连续性函数间断点函数间断点函数连续性概念函数连续性概念思索题、思索题、小结小结第第1页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 一、函数连续性概念一、函数连续性概念1.函数增量函数增量第第3页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 2.2.连续定义连续定义第第4页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例1第第5页
2、页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例1证证由定义由定义2 知知,第第6页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理3.单侧连续单侧连续第第7页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例2解解:右连续但不左连续右连续但不左连续 ,第第8页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 在区间上每一点都连续函数在区间上每一点都连续函数,叫做在该区间上叫做在该区间上连连续函数续函数,或者说函数在该区间上连续或者
3、说函数在该区间上连续.连续函数图形是一条连续而不间断曲线连续函数图形是一条连续而不间断曲线.4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间结论结论1 1 基本初等函数在定义域内是连续基本初等函数在定义域内是连续.第第10页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 二、函数间断点二、函数间断点第第12页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 第第13页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例4解解:1.跳跃间断点跳跃间断点第第14页页第二章第二章 极限与连续极限与
4、连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 2.可去间断点可去间断点注：注：可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数定义数定义,则可使其变为连续点则可使其变为连续点.第第15页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例5解解:在例在例5中中,跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.第第16页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 3.第二类间断点第二类间断点例例6解解:第第17页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与
5、连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例7解解:第第18页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例8解解:主要题型！主要题型！第第19页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 三、初等函数连续性三、初等函数连续性定理定理1比如比如1.连续函数四则运算连续性连续函数四则运算连续性第第20页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理2 假如函数假如函数y=f(x)在某区间上单调增加在某区间上单调增加(或或降低降低)且连续且连续,则它反函数在对应
6、区间上单调增加则它反函数在对应区间上单调增加(或降低或降低)且连续且连续.比如比如反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.2.反函数与复合函数连续性反函数与复合函数连续性第第21页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理3注：注：定理定理3是是52页定理页定理5特殊情况特殊情况.比如比如,第第22页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 结论结论2 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续内都是连续定义区间是指包含在定义域内区间定义区间是指包含在定义域内区间.
7、（1）初等函数仅在其定义区间内连续）初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续在其定义域内不一定连续;注注:3.初等函数连续性初等函数连续性结论结论1 基本初等函数在定义域内是连续基本初等函数在定义域内是连续.（2）初等函数求极限方法初等函数求极限方法代入法代入法.第第23页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例9例例10解解:解解:第第24页页济南大学理学院济南大学理学院 总界面总界面 结束结束 第二章第二章 极限与连续极限与连续第八节第八节 闭区间上连续函数性质闭区间上连续函数性质零点定理与介值定理零点定理与介值定理最值定理与有
8、界性最值定理与有界性思索题、思索题、小结小结第第29页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 一、最值定理与有界性一、最值定理与有界性定义定义:比如比如第第31页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 定理定理1(有界性与最大值和最小值定理有界性与最大值和最小值定理)注注:1.若区间是开区间若区间是开区间,定理不一定成立定理不一定成立;2.若区间内有间断点若区间内有间断点,定理不一定成立定理不一定成立.在在闭区间闭区间上上连续连续函数函数有界且一定有最大值有界且一定有最大值和最小值和最小值.第第32页页
9、第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 第第33页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 二、零点定理与介值定理二、零点定理与介值定理定义定义:根存在性定根存在性定理理第第34页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 几何解释几何解释:第第35页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 几何解释几何解释:MBCAmab证：证：由由零点定理零点定理知知,第第36页页第二章第二章 极限与连续极限与连续极限与连续极限与连续上页上页 下页下页 返回返回 例例1证实：证实：由零点定理由零点定理,推论推论 在闭区间上连续函数必取得介于最大值在闭区间上连续函数必取得介于最大值 与最小值与最小值 之间任何值之间任何值.第第37页页
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