1、高考总复习高考总复习数学数学5.8 5.8 三角函数图像及其变换三角函数图像及其变换第1页高考总复习高考总复习数学数学一一.三角函数三角函数图图象作法象作法1.几何法（利用三角函数线）2.描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正切曲线）.（2）正切函数图像：作正切曲线惯用三点二线作图法来作。正弦函数、余弦函数、正切函数图像以下列图：函数图象作图方法：（用五点法）先取横坐标分别五点，再用光滑曲线把这五点连接起来，就为0，得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内图像。再将一个周期内图像向左右平移2k个单位即得函数整个图像。（1）正弦函数和余弦函数图象：正弦函数 和余弦第2页高考总复习高考总
2、复习数学数学第3页高考总复习高考总复习数学数学第4页高考总复习高考总复习数学数学图像与x轴交点：正弦函数为（k,0）kZ；余弦函数为(k0),kZ；正切函数为(k,0)，kZ。3.三角函数图像对称轴与对称中心：三角函数图像对称轴与对称中心：正弦曲线 对称轴为 ；对称中心为余弦曲线 对称轴为 ；对称中心为(,0)kZ。正切曲线 对称中心为其中，正弦函数与余弦函数在对称轴与曲线交点处函数有最大（小）值。第5页高考总复习高考总复习数学数学二二.函数函数 图象画法：图象画法：1.五点法作y=Asin（x+）(A0,0)简图：五点取法是:设X=x+，由X取0、2来求对应x值及对应y值，再描点作图。2.正
3、弦型函数正弦型函数一些结论：最大值是 ，最小值是 ，周期是频率是，第6页高考总复习高考总复习数学数学相位是 ，初相是（即当x0时相位）；其图像对称轴是直线 ，凡是该图像与直线交点都是该图像对称中心。对于 和来说，对称中心与零点相联络，对称轴与最值点相联络。3.利用图象变换作三角函数图象利用图象变换作三角函数图象（1）振幅变换 （2）周期变换（3）相位变换（4）上下平移 第7页高考总复习高考总复习数学数学5.5.求三角函数周期惯用方法求三角函数周期惯用方法 4.4.由由y yA Asin(sin(xx)图图像求其解析式像求其解析式第8页高考总复习高考总复习数学数学第9页高考总复习高考总复习数学数
4、学 正弦型函数图像作法正弦型函数图像作法 已知函数 （1）求它振幅、周期和初相；（2）用五点法作出它图像；（3）说明 图像可由图像经过怎样变换而得到？第10页高考总复习高考总复习数学数学解：（1）振幅为2，周期为 ，初相为（2）列表（令X=2x+）xX00200第11页高考总复习高考总复习数学数学描点、连线。得到函数在一个周期内图像（图1），再将其向左、右平移k(k )各单位即得函数整个图像（如图2）。图1第12页高考总复习高考总复习数学数学（3）把 图像上全部点左移 个单位，得到 图像，再把 图像上点横坐标缩短到原来 （纵坐标不变），得到 图像，最终把图像上点纵坐标伸长到原来2倍（横坐标不变
5、），即可得到 图像。第13页高考总复习高考总复习数学数学将正弦型（余弦型）函数图像平移若干个单位将正弦型（余弦型）函数图像平移若干个单位后，成为偶函数（或奇函数），求最小平移量。后，成为偶函数（或奇函数），求最小平移量。把函数y=cos（x+）图像向左平移 个单位，所得函数为偶函数，则 最小值是（）A B C D 解：先写出向左平移 个单位后解析式，再利用偶函数性质求解向左平移 个单位后解析式为y=cos（x+），则cos（x+）=cos（x+），第14页高考总复习高考总复习数学数学cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）sinxsin（+）sinxsin（+）=0，x
6、R，+=k，=k 0k ，k=2。=【答案】B第15页高考总复习高考总复习数学数学由函数部分图像所给信息，求函数解析式由函数部分图像所给信息，求函数解析式 如图为 图象一段，求其解析式。解：由图像易得A=又 所以函数解析式是 Oxy第16页高考总复习高考总复习数学数学【点评与感悟】函数表示式确实定：A由最值确定；由周期确定；由图象上特殊点确定;（2）给出图像（或部分图像）确定解析式y=Asin（x+）题型，经常从寻找“五点”中第一零点（，0）作为突破口，要从图像升降情况找准第一个零点位置。第17页高考总复习高考总复习数学数学将已知函数图像作若干次变换后，求所得将已知函数图像作若干次变换后，求所
7、得图像函数解析式图像函数解析式 为了得到函数 图像，只需把函数 图像上全部点()（A）向左平移 个单位长度，再把所得各点横坐标缩短到原来 倍（纵坐标不变）（B）向右平移 个单位长度，再把所得各点横坐标缩短到原来 倍（纵坐标不变）（C）向左平移 个单位长度，再把所得各点横坐标伸长到 原来3倍（纵坐标不变）（D）向右平移 个单位长度，再把所得各点横坐标伸长到 原来3倍（纵坐标不变）第18页高考总复习高考总复习数学数学【思绪分析思绪分析】本题主要考三角函数图象变换，这是一道平时训练得比较多一个类型。解：先将 图象向左平移 个单位长度，得到函数 图像，再把所得图像上各点横坐标伸长到原来3倍（纵坐标不变
8、）得到函数 图像，故选C。【答案】C第19页高考总复习高考总复习数学数学判断（或求）三角函数对称轴（对称中判断（或求）三角函数对称轴（对称中心）心）已知函数f(x)sin()()最小正周期为 ，则该函数图像()A 关于点（，0）对称 B 关于直线x 对称C 关于点（，0）对称 D 关于直线 x 对称【解析】由函数f(x)sin()()最小正周期为 得 ，由 得x=2x+=k对称点为（,0 ）（），当初 为（,0），选Ak=1 A第20页高考总复习高考总复习数学数学正、余弦型函数图像、解析式等知识综合应正、余弦型函数图像、解析式等知识综合应用用 受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐，在通
9、常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。某港口水深度y（米）是时间t（单位：时）函数，记作 ，下面是该港口在某季节天天水深数据：t（时）03691215182124y（米）10.0 13.0 9.97.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 经长久观察，曲线能够近似地看做函数 图象。第21页高考总复习高考总复习数学数学(1).依据以上数据，求出函数 近似表示式；(2)普通情况下，船舶航行时，船底离海底距离为5米或5米以上时认为是安全(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)，某船吃水深度(船底离水面距离)为6.5米。假如该船想在同一天内安全进出港，问它至多能在港内停
10、留多长时间(忽略进出港所需时间)？【思绪分析思绪分析】（1）由散点图或其它数据处理方法判定函数类型，求解析式；（2）建模（方程或不等式）求解。第22页高考总复习高考总复习数学数学解：由数据能够得出 所以，这个港口水深与时间关系可用 近似描述，（2）货船需要安全水深为5+6.511.5米，所以当 时就能够进港。令：因为 ，所以在区间0,12内，有两个交点，由计算可得第23页高考总复习高考总复习数学数学得：所以该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口至多停留16小时。【点评与感悟】【点评与感悟】（1）数学模型思想方法：审题，画散点图，建模（确定函数及解析式、方程、不等式），解模等；此处要求
11、熟练利用函数图像求值；（2）考虑到事件实际意义，为了安全，货船最好提前停顿卸货，将船驶向较深水域。第24页高考总复习高考总复习数学数学将函数恒等变形为正弦型函数（余弦型函将函数恒等变形为正弦型函数（余弦型函数）到达处理问题目标数）到达处理问题目标（1）求函数f(x)最小正周期和单调增区间；（2）函数f(x)图象能够由函数y=sin2x(xR)图象经过怎样变换得到？已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR.【思绪分析思绪分析】本小题主要考查三角函数基本公式、三角恒等变换、三角函数图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。解：（1）第25页高考总复习高考总复习数学数学最小正周期 由题意得 即单调增区间为（2）解法一：先把图象上全部点向左平移 个单位长度，得到 图像。再把所得图像上所第26页高考总复习高考总复习数学数学得图象上全部点向上平移个单位长度，就得到图象。解法二：把图象上全部点按向量平移，就得到图象。第27页高考总复习高考总复习数学数学第28页
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