函数的上升与下降单调性市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity一、函数上升与下降（单调性）ooabab从导数几何意义考查函数单调性：从导数几何意义考查函数单调性：第1页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityTh.Th.1 1 （导数正负与函数升降关系导数正负与函数升降关系）证实：由极限保号性、中值定理可证.CorollaryCorollary（严格单调充分条件严格单调充分条件严格单调充分条件严格单调充分条件）若f(x)在a,b连续，在(a,b)可导，且 不变号，则第2页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity注1.Th.1 表明，讨论可导函数单调性，只须判别 其导数符号即可，其步骤是:确定 定义域；求 ，令 求出分界点；用分界点将定义域分成若干个开区间；判别 在每个开区间内符号，即可 确定 严格单调性（严格单调区间）.第3页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例1.讨论 上升、下降情况.解：解：该函数定义域是 R.由它们将 R 分成三个区间：xy+y第4页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例2.解：定义域是 R.由现列表讨论以下：xy+y第5页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityTh.2（不等式定理不等式定理不等式定理不等式定理）若 f(x)与 g(x)满足条件：(1)在a,b上可导;注2.利用函数升降性及其导数之间关系来证实不等式yxMoax b第6页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityTh.2 若F(x)满足证实：第7页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例3.证实证实：证实：从而得证.第8页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例4.证实：证实：第9页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity第10页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例5.证实方程证实：证实：第11页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity二、函数极值二、函数极值1.DefDef（局部极值局部极值）第12页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityo abxy注注3.函数极值局部性.定义中能够有第13页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity第14页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity结论结论oxyy=2xy=x第15页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityTh.3 （极值必要条件）（极值必要条件）由此求出可能使由此求出可能使 f(x)取极值点之后，怎样判定取极值点之后，怎样判定它是取极大值还是极小值呢？它是取极大值还是极小值呢？图示可见图示可见,由导数符号由导数符号可判定极大极小值点可判定极大极小值点.xyoyxo第16页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityTh.4 （极值判别法之一）（极值判别法之一）第17页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityx 取局部极小值取局部极小值 取局部极大值取局部极大值 不取局部极值不取局部极值 不取局部极值不取局部极值证实：由函数升降性及极值定义得到.列表以下列表以下：第18页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity注注4.第19页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityTh.5（极值判别法之二）（极值判别法之二）证实：证实：由二阶导数定义及极限保号性、Th4得证.第20页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityTh.5(1)(2)定理定理5是定理是定理5特殊情形特殊情形.第21页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity证实：证实：依据Taylor公式,有第22页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例6.解：解：现列表讨论以下：现列表讨论以下：第23页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityx0y+不存在0+y 第24页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例7.解：解：第25页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例8.解：解：第26页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity三、函数最大值和最小值三、函数最大值和最小值最大、最小、最省问题最大、最小、最省问题怎样求出函数在某区间上最大值和最小值？怎样求出函数在某区间上最大值和最小值？最大值、最小值问题最大值、最小值问题yxaOb第27页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity注注1：函数在某一区间上最大值和最小值,也叫全局极值.可导函数在可导函数在a,b上最大、最小值求解步骤：上最大、最小值求解步骤：注注2：第28页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例9.解：解：所以函数最大值是0,最小值是2.例10.某生产队要建造一个体积为某生产队要建造一个体积为 50 立方米立方米有盖圆柱形氨水池有盖圆柱形氨水池.问这个氨水池高和底半问这个氨水池高和底半径取多大时，用料最省？径取多大时，用料最省？解：解：用料最省就是要求氨水池表面积最小.设氨水池底半径是 r,高是 h,它 表面积hrO第29页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity第30页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity用V50立方米代入，得到 答：当圆柱形氨水池高和直径相等时，用料最省。答：当圆柱形氨水池高和直径相等时，用料最省。第31页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity第32页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity第33页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity四、函数凸性四、函数凸性是描述函数性状一个更深入概念是描述函数性状一个更深入概念.比如：yxo第34页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity上凸上凸下凸下凸几何角度：几何角度：几何角度：几何角度：xyoxyo第35页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity1.1.Def（函数凸性）（函数凸性）第36页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity注：注：函数凹凸性，下凸即是上凹.第37页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity2.2.函数凸性与其导数关系函数凸性与其导数关系Th.6证实证实：由Lagrange公式，得：In fact,第38页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity其中，由得 上凸，故 下凸.第39页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityDefDef:若曲线 在其上一点 一侧为上凸，另一侧为下凸，则称此点为曲线 拐点拐点.xyoy=f(x)第40页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity注：注：yxo第41页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity 求求 ；令令 ，求解，并划分，求解，并划分f(x)定义域为若干定义域为若干 个开区间个开区间.判别判别 在每个开区间符号在每个开区间符号.设设 ,列表讨论以下：列表讨论以下：3.3.讨论讨论 f(x)凸性及拐点步骤凸性及拐点步骤x（上凸）0（下凸）是拐点是拐点（下凸）0（上凸）是拐点是拐点（下凸）0（下凸）不不 是是（上凸）0（上凸）拐拐 点点注：对注：对 不存在点亦可类似讨论不存在点亦可类似讨论.第42页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例1.讨论 凸性及拐点.解：解：xyo1x00不存在y上凸上凸拐点拐点下凸下凸非拐点非拐点下凸下凸第43页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例2.解：解：其定义域是 R.由xyo11-1-1x100y极小值极小值1极大值极大值 1第44页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity又列表以下：x0000 上凸上凸拐点拐点下凸下凸拐点拐点上凸拐点拐点下凸下凸第45页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityx0100000上上凸凸拐拐点点下下凸凸极极小小下下凸凸拐拐点点上上凸凸极极大大上上凸凸拐拐点点下凸下凸统一列表以下统一列表以下:第46页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity4.4.曲线渐近线曲线渐近线 xyo双曲线渐近线怎样求之？怎样求之？第47页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity曲线渐近线有两种：曲线渐近线有两种：垂直渐近线；垂直渐近线；斜渐近线斜渐近线 （包含水平渐近线）（包含水平渐近线）yxoPKMDefDef:当曲线 C 上动点 M 沿着曲线 C 无限远移时，若动点 M 到某直线 l 距离无限趋于零，则称直线 l 是曲线 C 渐近线.第48页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity(1)(1)垂直渐近线垂直渐近线比如：第49页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity 斜渐近线斜渐近线怎样求出渐近线怎样求出渐近线 呢？呢？因 是常数，故第50页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityProp:直线直线 是曲线是曲线 斜渐近线斜渐近线 a与与b 由由与与式分别确定式分别确定.所以得从而由得尤其，当 a=0 时，就是水平渐近线水平渐近线.即：直线直线 是水平渐近线是水平渐近线 第51页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例3.解：解：因为故 x=1 为 f(x)垂直渐近线.又故第52页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity故 是渐近线.例4.求双曲线 渐近线.解：解：因函数在第53页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例5.第54页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity利用函数特征描绘函数图形利用函数特征描绘函数图形,普通步骤：普通步骤：5.函数图形函数图形(1)确定函数确定函数 定定义义域域,讨论讨论函数奇偶性、函数奇偶性、对对称性、周期性等性称性、周期性等性态态;(2)求出使求出使 不存在点不存在点,把函数定把函数定义义域划分成几个部分区域划分成几个部分区间间;(3)依据依据 符号符号,确定函数上升或下降区确定函数上升或下降区间间,图图形上凸或下凸区形上凸或下凸区间间,以及极以及极值值和拐点和拐点;可可列表列表讨论讨论;(4)确定函数确定函数图图形水平、垂直形水平、垂直渐渐近近线线、斜、斜渐渐近近线线;(5)描点作描点作图图.描出极描出极值值点、拐点点、拐点,曲曲线线与坐与坐标轴标轴交点交点.第55页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例12.解：解：(3)列表讨论以下：列表讨论以下：第56页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity表表1.函数上升、下降和极值函数上升、下降和极值.表表2.函数上凸、下凸和拐点函数上凸、下凸和拐点.x 0(0,1)1 y 不存在 0 y无定义 极小值极小值 0 x 0 y 不存在 0 y 下凸下凸无定义下凸下凸拐点拐点上凸上凸第57页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity表表3.统一列表统一列表 x 0 1 y 不存在不存在 0 不存在不存在 0 y 下凸下凸无定义无定义 下凸下凸极小值极小值0 下凸下凸拐点拐点 上凸上凸第58页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity(5)曲线与坐标轴交点为(1,0).作图以下：y x0.511.521ACB y=1 渐近线渐近线O第59页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityMatlab程序程序第60页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity例13.解：解：（3）列表讨论以下：列表讨论以下：第61页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity 2 1 0 0 不存在不存在 0 不存在不存在 极大值极大值 4极小值极小值 0上上 凸凸下下 凸凸无无定定义义又因为第62页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity(5)曲线与坐标轴交于原点,作图以下：yx-2-1O-1-2-3-4第63页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversityMatlab程序程序第64页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity注意最值与极值区分注意最值与极值区分.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值步骤实际问题求最值步骤.五、小结五、小结第65页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity 函数图形描绘综合利用函数性态研究函数图形描绘综合利用函数性态研究,是导数应用综合是导数应用综合考查考查.最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹凹凸凸单增单增单减单减第66页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity单调性判别是拉格朗日中值定理主要应用单调性判别是拉格朗日中值定理主要应用.定理中区间换成其它有限或无限区间，结论依然成立定理中区间换成其它有限或无限区间，结论依然成立.应用：利用函数单调性能够确定一些方程实根个数和证应用：利用函数单调性能够确定一些方程实根个数和证实不等式实不等式.注意最值与极值区分注意最值与极值区分.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值步骤实际问题求最值步骤.第67页3.函数的升降、凸性与极值函数的升降、凸性与极值YunnanUniversity极值是函数局部性概念极值是函数局部性概念:极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数极值必在函数极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)第68页