四川大学微积分函数市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

微积分四川大学数学学院四川大学数学学院唐世福唐世福Email:微微 积积 分分第1页微积分微微微微 积积积积 分分分分 在中学里接触到大多是初等数学，即只讨论在中学里接触到大多是初等数学，即只讨论简单量关系简单量关系，尤其只讨论，尤其只讨论常量和固定图形常量和固定图形，这，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国数学家数学家笛卡尔笛卡尔(R.Descartes 1596-1650)(R.Descartes 1596-1650)把变量引把变量引进了数学，并创建了坐标概念，于是在数学中进了数学，并创建了坐标概念，于是在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考虑变量和图形。高等数学就应运而生。这主要虑变量和图形。高等数学就应运而生。这主要归功于英国数学家归功于英国数学家牛顿牛顿(I.Newton 1643-1727)(I.Newton 1643-1727)和法国数学家和法国数学家莱布尼兹莱布尼兹(G.W.Leibniz 1646-(G.W.Leibniz 1646-1716)1716)。这就是今后要学习课程。这就是今后要学习课程。第2页微积分参考书参考书1赵树嫄赵树嫄.微积分微积分.中国人民出版社中国人民出版社2同济大学同济大学.高等数学高等数学.高等教育出版高等教育出版社社第3页微积分第一章第一章 函数函数集合集合函数概念函数概念函数几个特征函数几个特征反函数反函数复合函数复合函数初等函数初等函数 第4页微积分函数函数-集合集集合合是是指指含含有有特特定定性性质质一一些些事事物物总总体体.组组成成这个集合事物称为该集合元素这个集合事物称为该集合元素.通惯用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素.a是集合M元素,记作aM(读作a属于M)；a不是集合M元素,记作aM(读作a不属于M).集集合合定定义义第5页微积分函数函数-集合例子例子1.19901.1990年年1010月月1 1日在南宁市出生人。日在南宁市出生人。2.2.彩电、电冰箱、彩电、电冰箱、VCDVCD。3.x3.x2 2-5x+6=0-5x+6=0根。根。集集合合含含有有确确定定性性，即即对对某某一一个个元元素素是是否否属属于于某某个个集合是确定，是或不是二者必居其一。集合是确定，是或不是二者必居其一。由有限个元素组成集合由有限个元素组成集合，称为有限集合。，称为有限集合。由无限多个元素组成集合由无限多个元素组成集合，称为无限集合；，称为无限集合；4.4.全体偶数。全体偶数。第6页微积分函数函数-集合集合表示法集合表示法1.列列举举法法：按任意次序列出集合全部元素,并用括起来。例例：由x2-5x+6=0根所组成集合A，可表示为：A=2,3注注：必须列出集合全部元素，不得遗漏和重复。第7页微积分函数函数-集合2.描描述述法法：设P(a)为某个与a相关条件或法则，A为满足P(a)一切a组成集合，记为：A=a|P(a)例例：由x2-5x+6=0根所组成集合A，表示为：A=x|x2-5x+6=0例例：全体实数组成集合通常记作R，即：R=x|x为实数第8页微积分函数函数-集合子集假如集合A元素都是集合B元素，即若 xA则必xB，就说A是B子集，记作AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)假如A B且或AB，则称A与B相等。1.AA即集合A是其自己子集。2.传递性 AB、B C 则A C。3.A，即空集是任何集合A子集。第9页微积分函数函数-集合全集与空集全集与空集所研究全部事物组成集合称为全集所研究全部事物组成集合称为全集,记为记为:U U。不含任何元素集合称为空集，记为：不含任何元素集合称为空集，记为：。例例1 1：x x2 2+1=0+1=0实数根集合为空集。实数根集合为空集。例例2 2：平面上两条平行线交点集合为空集。：平面上两条平行线交点集合为空集。注注：0 0 及及 都都不不是是空空集集，前前者者有有元元素素0 0，后后者者有元素有元素。第10页微积分函数函数-集合集合运算集合运算集合并：集合并：A A B=x|x B=x|x A A 或或x x B B 集合交：集合交：A A B=x|x B=x|x A A 且且x x B B 集合差：集合差：A A-B=x|x B=x|x A A 且且x x BB 第11页微积分函数函数-集合区区间间 在在一一条条直直线线上上指指定定了了一一点点作作为为原原点点OO，再再指指定定了了正正向向，另另外外又又要要求求了了单单位位长长度度，这这条条直直线就称为数轴。线就称为数轴。数数轴轴上上点点与与实实数数之之间间能能够够建建立立一一一一对对应应关关系系。有有时时为为了了形形象象化化起起见见，把把数数x x称称为为点点x x，就就是是指数轴上与数指数轴上与数x x对应那个点。对应那个点。1 1-1-10 0OOx x第12页微积分函数函数-集合闭区间：a,b=x|axba,b=x|axb开区间：(a,b)=x|axb(a,b)=x|axb左闭右开区间：a,b)=x|axba,b)=x|axb左开右闭区间：(a,b=x|axb(a,b=x|axb有有限限区区间间OOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab bOOx xa ab b第13页微积分函数函数-集合a,+a,+)=x|ax)=x|ax(-(-,b=x|xb,b=x|xb(-(-,b)=x|xb,b)=x|xb无无限限区区间间实数集实数集(-(-,+,+)=x|-)=x|-x+x+OOx xa aOOx xb b(a,+(a,+)=x|ax)=x|axOOx xb bOOx xa a第14页微积分函数函数-集合邻邻域域(a,)=x|x-a|=x|a-xa+=(a-,a+)称为点a邻邻域域。a称为邻域中心，称为邻域半径。xaa-a+例例：(2,1)=x|x-2|1=x|1x3=(1,3)x213=1=1第15页微积分函数函数-集合空空心心邻邻域域(a,)=x|0|x-a|=x|a-xa 或或 axa+=(a-,a)U(a,a+)称为点a空心邻域空心邻域。xaa-a+例例：U(2,1)=x|0|x-2|1=x|1x2或或2x03x-2 1x2/3x 1D=(2/3,1)(1,+)例例2：确定函数y=arcsin 定义域。25-x21x-15+解：解：解：解：x-15 125-x2 025-x2 0-4x 6|x-1|525-x2 0-5x0tgx 0tgx1x (k ,k +)解：解：xk +2 2x(k +,k +)42x (k +,k +),k=0,1,2,3,为所求定义域4 2第27页微积分函数函数-函数性质1函数有界性函数有界性:M-Myxoy=f(x)X有界有界M-MyxoX无界无界第28页微积分函数函数-函数性质例例1:f(x)=sinx在(-,+)内是有界。因为|sinx|1。例例2:f(x)=1/x在(0,1)内是无界。在1,+)内有界。例例3:第29页微积分函数函数-函数性质2函数单调性函数单调性:xyo第30页微积分函数函数-函数性质xyo第31页微积分函数函数-函数性质例例1:1:判断函数y=y=x x3 3单调性。解：解：对于任意xl、x2，设xlx2x23-x130,所以x23 x13，故 y=x3在(-,+)是单调增加。当 x1 x2 0 时 x12+x1 x2+x22 0 所以f(x2)-f(x1)0f(x2)-f(x1)=x23-x1 3=(x2-x1)(x12+x1 x2+x22)当 x1 x2 0所以f(x2)-f(x1)0第32页微积分函数函数-函数性质例例2:2:判断函数y=2y=2x x2 2+1单调性。解：解：xl、x2 R，设xlx2(x1+x2)0f(x1)f(x2)f(x)单调降低单调降低(x1+x2)0当当 xl、x2 0,+)f(x1)-f(x2)0f(x1)0,a1)对数函数对数函数 y=logax(a是常数,a0,a1)三角函数三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;反三角函数反三角函数 y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.0,过(0,0),(1,1),在(0,+)递增 1递增,0a1递增,0a1递减由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所组成并能够用一个式子表示函数，叫次复合所组成并能够用一个式子表示函数，叫初等初等函数函数。第58页微积分函数函数-初等函数三角函数三角函数 y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx,y=secx,y=cscx;函数定义域值域周期奇偶单调y=sinx(-,+)-1,12奇(-/2+2k,/2+2k)递增(/2+2k,3/2+2k)递减y=cosx(-,+)-1,12偶(+2k,2+2k)递增(2k,+2k)递减y=tgxx/2+k(-,+)奇(-/2+k,/2+k)递增y=ctgxxk(-,+)奇(k,+k)递减y=secxx/2+k(-,-1U1,+)2偶(2k,/2+2k),(/2+2k,+2k)递增(-/2+2k,2k),(+2k,3/2+2k)递减y=cscxxk(-,-1U1,+)2奇(-/2+2k,2k),(2k,/2+2k)递增(/2+2k,+2k),(+2k,3/2+2k)递减第59页微积分函数函数-初等函数y=cscxy=secxy=ctgxy=tgxy=cosxy=sinx第60页微积分函数函数-初等函数y=arcsinxy=arccosxy=arcctgxy=arctgx第61页