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第四章第四章 地球椭球数学投影基本理论地球椭球数学投影基本理论1第1页4.1地球椭球基本参数及其相互关系地球椭球基本参数及其相互关系 地球椭球是选择旋转椭球地球椭球是选择旋转椭球,旋转椭球形状和大小惯用旋转椭球形状和大小惯用子午椭圆五个基本几何参数子午椭圆五个基本几何参数(或称元素或称元素):):长半轴长半轴 短半轴短半轴 椭圆椭圆扁率扁率 椭圆椭圆第一偏心率第一偏心率 椭圆椭圆第二偏心率第二偏心率 通惯用通惯用a,2第2页为简化书写，还常引入以下符号椭球基本参数及其相互关系椭球基本参数及其相互关系3第3页4.2 椭球面上惯用坐标系及其关系椭球面上惯用坐标系及其关系4.2.1 各种坐标系建立各种坐标系建立1、大地坐标系、大地坐标系大地经度大地经度B 大地纬度大地纬度L 大地高大地高H 4第4页2、空间直角坐标系空间直角坐标系 坐标原点坐标原点位于总地球椭球位于总地球椭球(或参考椭球或参考椭球)质心；质心；Z Z轴轴与地球与地球平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻平均北极点；平均自转轴相重合，亦即指向某一时刻平均北极点；X X轴轴指指向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定子午面与赤道面向平均自转轴与平均格林尼治天文台所决定子午面与赤道面交点交点G G；Y Y轴轴与此平面垂直，且指向东为正。与此平面垂直，且指向东为正。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。地心空间直角系与参心空间直角坐标系之分。惯用坐标系及其关关系惯用坐标系及其关关系5第5页3、子午面直角坐标系子午面直角坐标系 设设P点大地经度为点大地经度为L，在过在过P点子午面上，以子午点子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立圈椭圆中心为原点，建立x,y平面直角坐标系。在该坐平面直角坐标系。在该坐标系中，标系中，P点位置用点位置用L,x,y表示。表示。惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系6第6页4、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系、地心纬度坐标系及归化纬度坐标系 设椭球面上设椭球面上P点大地经度点大地经度L，在此子午面上以椭圆中在此子午面上以椭圆中心心O为原点建立为原点建立地心纬度坐标系地心纬度坐标系;以椭球长半径以椭球长半径a为半径为半径作辅助圆，延长作辅助圆，延长与辅助圆相交与辅助圆相交点，则点，则OP与与x轴轴夹角称为夹角称为P点点归化纬度归化纬度u。惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系7第7页惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系5 5、大地极坐标系、大地极坐标系 M是椭球面上一点，是椭球面上一点，MN是过是过M子午线，子午线，S为连接为连接MP大地线长，大地线长，A为大地线在为大地线在M点方位角。点方位角。以以M为极点；为极点；MN为极轴；为极轴；P点极坐标为（点极坐标为（S,A)8第8页惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系4.2.2 坐标系之间相互关系坐标系之间相互关系子午平面坐标系同大地坐标系关系 9第9页惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系 令令:pn=N10第10页惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系l空间直角坐标同子午面直角坐标系关系空间直角坐标同子午面直角坐标系关系11第11页惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系 l空间直角坐标系同大地坐标系空间直角坐标系同大地坐标系在椭球面上点：在椭球面上点：不在椭球面上点：不在椭球面上点：12第12页惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系l由空间直角坐标计算对应大地坐标由空间直角坐标计算对应大地坐标13第13页B、u、之间关系之间关系 B和u之间关系 惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系14第14页惯用坐标系及其关系惯用坐标系及其关系n U、之间关系之间关系n、之间关系之间关系n 大地纬度、地心纬度、归化纬度之间差异很小，经过大地纬度、地心纬度、归化纬度之间差异很小，经过计算，当计算，当B=45时时15第15页4.3 椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面法线，包含这条法线平面叫作 法截面法截面，法截面与椭球面交线叫法截线法截线。子午圈曲率半径16第16页椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径17第17页椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径18第18页卯酉圈曲率半径(N)卯酉圈卯酉圈:过椭球面上一点法线，可作无限个法截面，其过椭球面上一点法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直法截面同椭球面相截形成中一个与该点子午面相垂直法截面同椭球面相截形成闭合圈称为卯酉圈。闭合圈称为卯酉圈。麦尼尔定理麦尼尔定理:假设经过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，假设经过曲面上一点引两条截弧，一为法截弧，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧含有公共切线，一为斜截弧，且在该点上这两条截弧含有公共切线，这时斜截弧在该点处曲率半径等于法截弧曲率半径乘这时斜截弧在该点处曲率半径等于法截弧曲率半径乘以两截弧平面夹角余弦以两截弧平面夹角余弦。椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径19第19页椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径20第20页卯酉圈曲率半径特点卯酉圈曲率半径特点:卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径恰恰好好等等于于法法线线介介于于椭椭球球面面和和短短轴轴之间长度，亦即卯酉圈曲率中心位在椭球旋转轴上。之间长度，亦即卯酉圈曲率中心位在椭球旋转轴上。椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径21第21页主曲率半径计算主曲率半径计算 以以上上讨讨论论子子午午圈圈曲曲率率半半径径M M及及卯卯酉酉圈圈曲曲率率半半径径N N，是是两两个个相相互互垂垂直直法法截截弧弧曲曲率率半半径径，这这在在微微分分几几何何中中统统称称为为主曲率半径。主曲率半径。椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径22第22页椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径23第23页椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径24第24页25第25页任意法截弧曲率半径任意法截弧曲率半径 椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径26第26页 任意法截弧曲率半径改变规律:不但与点纬度不但与点纬度B相关，而且还与过该点法截弧相关，而且还与过该点法截弧方位角方位角A相关。相关。当当时，变为计算子午圈曲率半径，即时，变为计算子午圈曲率半径，即；当当90时，为卯酉圈曲率半径，即时，为卯酉圈曲率半径，即。主曲率半径主曲率半径M及及N分别是分别是极小值和极大值极小值和极大值。当当A由由090时，时，之值由之值由，当，当A由由90180时，时，值由值由N，可见，可见值改变是以值改变是以90为周期且与子午圈和卯酉圈对称。为周期且与子午圈和卯酉圈对称。椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径27第27页l 平均曲率半径平均曲率半径 椭球面上任意一点平均曲率半径椭球面上任意一点平均曲率半径 R R 等于该点子午圈等于该点子午圈曲率半径曲率半径M M和卯酉圈曲率半径和卯酉圈曲率半径N N几何平均值。几何平均值。椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径28第28页M，N，R关系 椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径29第29页对于克拉索夫斯基椭球椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径30第30页4.4 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算子午线弧长计算公式子午线弧长计算公式 31第31页椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算32第32页椭球面上几个曲率半径椭球面上几个曲率半径33第33页假假如如以以B B9090代代入入，则则得得子子午午椭椭圆圆在在一一个个象象限限内内弧弧长长约约为为10 10 002 002 137137m m。旋旋转转椭椭球球子子午午圈圈整整个个弧弧长长约约为为40 40 008 008 549.995549.995m m。即即一一象象限限子子午午线线弧弧长长约约为为10 10 000000kmkm，地地球周长约为球周长约为40 00040 000kmkm。为求子午线上两个纬度为求子午线上两个纬度B及间弧长，只需按及间弧长，只需按(11.42)式分别算出对应式分别算出对应X及及X，而后取差：而后取差：，该，该即为所求弧长。即为所求弧长。当弧长甚短当弧长甚短(比如比如X40kmX40km，计算精度到计算精度到0.0010.001m)m)，可视可视子午弧为圆弧，而圆半径为该圆弧上平均纬度点子午圈子午弧为圆弧，而圆半径为该圆弧上平均纬度点子午圈曲率半径曲率半径M M 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算34第34页由子午弧长求大地纬度 迭代解法迭代解法:平行圈弧长公式 椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算35第35页椭球面上弧长计算椭球面上弧长计算 子午线弧长和平行圈弧长改变比较子午线弧长和平行圈弧长改变比较36第36页4.5 大地线大地线 两点间最短距离，在平面上是两点间直线，在球面两点间最短距离，在平面上是两点间直线，在球面上是两点间大圆弧，那么在椭球面上又是怎样一条线呢上是两点间大圆弧，那么在椭球面上又是怎样一条线呢?它应是大地线。它应是大地线。相对法截线相对法截线 37第37页相对法截线相对法截线 大地线大地线38第38页相对法截线特点相对法截线特点:当当A，B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线则合二为一。正反法截线则合二为一。在通常情况下，正反法截线是不重合。所以在在通常情况下，正反法截线是不重合。所以在椭球面上椭球面上A，B，C三个点处所测得角度三个点处所测得角度(各点各点上正法截线之夹角上正法截线之夹角)将不能组成闭合三角形。将不能组成闭合三角形。为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一大为了克服这个矛盾，在两点间另选一条单一大地线代替相对法截线，从而得到由大地线组成地线代替相对法截线，从而得到由大地线组成单一三角形。单一三角形。大地线大地线39第39页大地线大地线大地线定义和性质大地线定义和性质椭球面上两点间最短程曲线叫椭球面上两点间最短程曲线叫大地线大地线。40第40页 大地线性质大地线性质:大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法大地线是两点间惟一最短线，而且位于相对法截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间截线之间，并靠近正法截线，它与正法截线间夹角夹角 在椭球面上进行测量计算时，应该以两点间大在椭球面上进行测量计算时，应该以两点间大地线为依据。在地面上测得方向、距离等，应地线为依据。在地面上测得方向、距离等，应该归算成对应大地线方向、距离。该归算成对应大地线方向、距离。长度差异可忽略长度差异可忽略,方向差异需改化。方向差异需改化。大地线大地线41第41页大地线微分方程和克莱劳方程大地线微分方程和克莱劳方程 大地线微分方程大地线微分方程42第42页大地线微分方程大地线微分方程43第43页大地线微分方程大地线微分方程大地线克莱劳方程大地线克莱劳方程 在旋转椭球面上，大地线各点平行圈半径与在旋转椭球面上，大地线各点平行圈半径与大地线在该点大地方位角正弦乘积等于常数。式大地线在该点大地方位角正弦乘积等于常数。式中常数中常数C也叫大地线常数也叫大地线常数 44第44页当大地线穿越赤道时当大地线穿越赤道时当大地线达极小平行圈时当大地线达极小平行圈时由克莱劳方程能够写出由克莱劳方程能够写出 45第45页4.6 将地面观察值归算至椭球面将地面观察值归算至椭球面 观察基准线不是各点对应椭球面法线，而是各点观察基准线不是各点对应椭球面法线，而是各点垂线，各点垂线与法线存在着垂线偏差。垂线，各点垂线与法线存在着垂线偏差。归算两条基本要求：归算两条基本要求：以椭球面法线为基准；以椭球面法线为基准；将地面观察元素化为椭球面上大地线对应元素将地面观察元素化为椭球面上大地线对应元素。将地面观察水平方向归算至椭球面将地面观察水平方向归算至椭球面 将水平方向归算至椭球面上，包含垂线偏差更正、将水平方向归算至椭球面上，包含垂线偏差更正、标高差更正及截面差更正，习惯上称此三项更正为标高差更正及截面差更正，习惯上称此三项更正为三三差更正差更正。46第46页垂线偏差更正垂线偏差更正 以测站以测站A为中心为中心作出单位半径作出单位半径辅助球辅助球,u是垂线是垂线偏差，它在子午偏差，它在子午圈和卯酉圈上圈和卯酉圈上分量分别以分量分别以,表示，表示，M是地面观察目标是地面观察目标m在球在球面上投影。垂线偏差对水平方向影响是面上投影。垂线偏差对水平方向影响是(R-R1)地面观察值归算至椭球面地面观察值归算至椭球面47第47页标高差更正 地面观察值归算至椭球面地面观察值归算至椭球面48第48页截面差更正截面差更正 地面观察值归算至椭球面地面观察值归算至椭球面49第49页 将地面观察长度归算至椭球面将地面观察长度归算至椭球面 基线尺量距归算基线尺量距归算 将基线尺量取长度加上测段倾斜更正后，能将基线尺量取长度加上测段倾斜更正后，能够认为它是基线平均高程面上长度，以够认为它是基线平均高程面上长度，以表示，表示，现要把它归算至参考椭球面上大地线长度现要把它归算至参考椭球面上大地线长度S。1.1.垂线偏差对长度归算影响垂线偏差对长度归算影响 地面观察值归算至椭球面地面观察值归算至椭球面50第50页2.高程对长度归算影响高程对长度归算影响 地面观察值归算至椭球面地面观察值归算至椭球面51第51页电磁波测距归算电磁波测距归算 地面观察值归算至椭球面地面观察值归算至椭球面52第52页地面观察值归算至椭球面地面观察值归算至椭球面53第53页 大地测量主题解大地测量主题解算算4.7.1 大地主题解算普通说明大地主题解算普通说明 主题解算分为主题解算分为:短距离短距离(400(400kmkm)中距离中距离(1000(1000km)km)长距离长距离(1000(1000kmkm以上以上)54第54页1.以大地线在大地坐标系中微分方程为基础，直接以大地线在大地坐标系中微分方程为基础，直接在地球椭球面上进行积分运算。在地球椭球面上进行积分运算。主要特点：解算精度与距离相关，距离越长，收主要特点：解算精度与距离相关，距离越长，收敛越慢，所以只适合用于较短距离敛越慢，所以只适合用于较短距离 经典解法：经典解法：高斯平均引数法高斯平均引数法 大地测量主题解算大地测量主题解算55第55页2.以白塞尔大地投影为基础以白塞尔大地投影为基础1)1)按按椭椭球面上已知球面上已知值计值计算球面算球面对应值对应值，即，即实现椭实现椭球面球面 向球面向球面过过渡；渡；2)2)在球面上解算大地在球面上解算大地问题问题；3)3)按按球球面面上上得得到到数数值值计计算算椭椭球球面面上上对对应应数数值值，即即实实现现从从圆圆球向球向椭椭球球过过渡。渡。经典解法：经典解法：白塞尔大地主题解算白塞尔大地主题解算 特点：特点：解算精度与距离长短无关，它既适合用于短距解算精度与距离长短无关，它既适合用于短距离解算，也适合用于长距离解算。可适应离解算，也适合用于长距离解算。可适应20 00020 000kmkm或更或更长距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等长距离，这对于国际联测，精密导航，远程导弹发射等都含有主要意义。都含有主要意义。大地测量主题解算大地测量主题解算56第56页4.7.2 勒让德级数式勒让德级数式 为了计算为了计算 级数展开式，关键问题是推求各级数展开式，关键问题是推求各阶导数。阶导数。大地测量主题解算大地测量主题解算57第57页一阶导数：一阶导数：二阶导数：二阶导数：大地测量主题解算大地测量主题解算58第58页三阶导数三阶导数 大地测量主题解算大地测量主题解算59第59页 大地测量主题解算大地测量主题解算60第60页 大地测量主题解算大地测量主题解算61第61页 大地测量主题解算大地测量主题解算62第62页4.7.3 高斯平均引数正算公式高斯平均引数正算公式 高高斯斯平平均均引引数数正正算算公公式式推推导导基本思想：基本思想：首首先先把把勒勒让让德德级级数数在在 P P点点展展开开改改在在大大地地线线长长度度中中点点M M展展开开，以以使使级级数数公公式式项项数数降降低低，收收敛敛快快，精精度度高高；其其次次，考考虑虑到到求求定定中中点点 M M 复复杂杂性性，将将 M M 点点用用大大地地线线两两端端点点平平均均纬纬度度及及平平均均方方位位角角相相对对应应 m m 点点来来代代替替，并并借借助助迭迭代代计计算算便便可可顺顺利地实现大地主题正解。利地实现大地主题正解。大地测量主题解算大地测量主题解算63第63页(1)建立级数展开式建立级数展开式:大地测量主题解算大地测量主题解算64第64页同理可得同理可得:(2)大地测量主题解算大地测量主题解算65第65页 大地测量主题解算大地测量主题解算66第66页 大地测量主题解算大地测量主题解算(3)由大地线微分方程依次求偏导数由大地线微分方程依次求偏导数:67第67页大地测量主题解算大地测量主题解算69第69页同理可得：同理可得：大地测量主题解算大地测量主题解算70第70页 注意：从公式可知，欲求，及，必先有及。但因为2和21未知，故准确值尚不知，为此须用逐次趋近迭代方法进行公式计算。除此之外，此方法适合与200公里以下大地问题解算，其计算经纬计算精度可到达0.0001”,方位角计算精度可到达0.001”。71第71页4.7.4 高斯平均引数反算公式高斯平均引数反算公式 高斯平均引数反算公式能够依正算公式导出:上述两式主式为:72第72页73第73页已知：求得：74第74页4.7.5 白塞尔大地主题解算方法白塞尔大地主题解算方法 白塞尔法解算大地主题基本思想白塞尔法解算大地主题基本思想:以辅助球面为基础以辅助球面为基础,将椭球面三角形转换为辅将椭球面三角形转换为辅助球面对应三角形助球面对应三角形,由三角形对应元素关系由三角形对应元素关系,将椭球将椭球面上大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅助球面上，然后在球面上进行大地主题解算，最终再面上，然后在球面上进行大地主题解算，最终再将球面上计算结果换算到椭球面上。将球面上计算结果换算到椭球面上。这种方法关键问题是找出椭球面上大地元素这种方法关键问题是找出椭球面上大地元素与球面上对应元素之间关系式与球面上对应元素之间关系式,同时也要处理在球同时也要处理在球面上进行大地主题解算方法。面上进行大地主题解算方法。75第75页在球面上进行大地主题解算在球面上进行大地主题解算 球面上大地主题正算球面上大地主题正算:已知已知 求解求解 球面上大地主题反算球面上大地主题反算:已知已知 求解求解76第76页1、球面三角元素间相互关系、球面三角元素间相互关系77第77页 球面上大地主题正解78第78页 球面上大地主题反解方法球面上大地主题反解方法 79第79页2 2 、椭球面和球面上坐标关系式、椭球面和球面上坐标关系式80第80页在椭球面上与单位球面上大地线微分方程为在椭球面上与单位球面上大地线微分方程为:81第81页白塞尔提出以下三个投影条件：白塞尔提出以下三个投影条件：1.1.椭球面大地线投影到球面上为大圆弧椭球面大地线投影到球面上为大圆弧2.2.大地线和大圆弧上对应点方位角相等；大地线和大圆弧上对应点方位角相等；3.3.球球面面上上任任意意一一点点纬纬度度等等于于椭椭球球面面上上对对应应点点归归化化纬度纬度。82第82页83第83页以上为白塞尔微分方程以上为白塞尔微分方程.84第84页 3 、白塞尔微分方程积分白塞尔微分方程积分85第85页86第86页积分得到下式：积分得到下式：87第87页反算反算:正算正算:迭代法迭代法:直接法:88第88页适合于反算:适合于正算:迭代法:直接法:89第89页90第90页将三角函数幂级数用倍角函数代替，合并同类项，积分。截去4倍角项，其值小于0.0001秒。91第91页正算：正算：反算：反算：92第92页4 白塞尔法大地主题正算步骤白塞尔法大地主题正算步骤 1.计算起点归化纬度计算起点归化纬度2.计算辅助函数值，解球面三角形可得计算辅助函数值，解球面三角形可得:3.3.按公式计算相关系数按公式计算相关系数A,B,CA,B,C以及以及,93第93页4.计算球面长度计算球面长度 迭代法:直接法:94第94页5.计算经度差更正数计算经度差更正数6.计算终点大地坐标及大地方位角计算终点大地坐标及大地方位角 95第95页96第96页5 白塞尔法大地主题反算步骤白塞尔法大地主题反算步骤 1.1.辅助计算辅助计算97第97页2.用用逐逐次次趋趋近近法法同同时时计计算算起起点点大大地地方方位位角角、球球面面长长度度及及经差经差 ，第一次趋近时，取第一次趋近时，取。98第98页计算下式计算下式,重复上述计算过程重复上述计算过程2.3.计算大地线长度计算大地线长度S 4.计算反方位角计算反方位角99第99页100第100页101第101页4.8 地图数学投影变换基本概念地图数学投影变换基本概念 1、地图数学投影变换意义和投影方程、地图数学投影变换意义和投影方程 所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素所谓地图数学投影，简略地说来就是将椭球面上元素(包含坐标，方位和距离包含坐标，方位和距离)按一定数学法则投影到平面按一定数学法则投影到平面上，研究这个问题专门学科叫地图投影学。上，研究这个问题专门学科叫地图投影学。投影变换基本概念投影变换基本概念102第102页 2、地图投影变形地图投影变形1.长度比:长度比长度比m就是投影面上一段无限小微分线段就是投影面上一段无限小微分线段ds，与与椭球面上对应微分线段椭球面上对应微分线段dS二者之比。二者之比。不不同点上长度比不同点上长度比不相同，而且同一点上不一样方向长度比也不相同相同，而且同一点上不一样方向长度比也不相同 投影变换基本概念投影变换基本概念103第103页2.主方向和变形椭圆主方向和变形椭圆 投影后一点长度比依方向不一样而改变。其中最大及最投影后一点长度比依方向不一样而改变。其中最大及最小长度比方向，称为主方向。小长度比方向，称为主方向。在椭球面任意点上，必定有一对相互垂直方向，它在平在椭球面任意点上，必定有一对相互垂直方向，它在平面上投影也必是相互垂直。这两个方向就是长度比极值方向，面上投影也必是相互垂直。这两个方向就是长度比极值方向，也就是主方向。也就是主方向。投影变换基本概念投影变换基本概念104第104页 投影变换基本概念投影变换基本概念 以定点为中心，以长度比数值为向径，组成以两个长度以定点为中心，以长度比数值为向径，组成以两个长度比极值为长、短半轴椭圆，称为变形椭圆。比极值为长、短半轴椭圆，称为变形椭圆。105第105页 3.投影变形 1 1）长度变形长度变形 投影变换基本概念投影变换基本概念106第106页2）方向变形方向变形 投影变换基本概念投影变换基本概念107第107页3）角度变形：角度变形：角度变形就是投影前角度角度变形就是投影前角度u u 与投影后对应角度与投影后对应角度uu之差之差 投影变换基本概念投影变换基本概念108第108页4）面积变形：面积变形：P-1P-14.8.3 4.8.3 地图投影分类地图投影分类1.1.按变形性质分类按变形性质分类1 1）等角投影：投影前后角度不变形，投影长度比与方等角投影：投影前后角度不变形，投影长度比与方向无关，即某点长度比是一个常数，又把等角投影向无关，即某点长度比是一个常数，又把等角投影称为正形投影。称为正形投影。2）等积投影：投影前后面积不变形等积投影：投影前后面积不变形.3）任意投影：既不等角，又不等积任意投影：既不等角，又不等积.投影变换基本概念投影变换基本概念109第109页2.按经纬网投影形状分类按经纬网投影形状分类 1）方位投影方位投影 取一平面与椭球极点相切，取一平面与椭球极点相切，将极点附近区域投影在该将极点附近区域投影在该平面上。纬线投影后为以平面上。纬线投影后为以极点为圆心同心圆，而极点为圆心同心圆，而经线则为它向径，且经经线则为它向径，且经线交角不变。线交角不变。Light Source投影变换基本概念投影变换基本概念110第110页 2）圆锥投影圆锥投影:取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬取一圆锥面与椭球某条纬线相切，将纬圈附近区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开圈附近区域投影于圆锥面上，再将圆锥面沿某条经线剪开成平面。成平面。Standard LineTrue Length Exaggerated投影变换基本概念投影变换基本概念111第111页3）圆柱圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)投影投影 取圆柱取圆柱(或椭圆柱或椭圆柱)与椭球赤道相切，将赤道附近区域投与椭球赤道相切，将赤道附近区域投影到圆柱面影到圆柱面(或椭圆柱面或椭圆柱面)上，然后将圆柱或椭圆柱展开成上，然后将圆柱或椭圆柱展开成平面。平面。Standard LineTrue Length Exaggerated投影变换基本概念投影变换基本概念112第112页3.3.按投影面和原面相对位置关系分类按投影面和原面相对位置关系分类1)1)正正轴轴投投影影：圆圆锥锥轴轴(圆圆柱柱轴轴)与与地地球球自自转转轴轴相相重重合合投投影影，称称正正轴轴圆圆锥锥投投影影或或正正轴圆轴圆柱投影。柱投影。2)2)斜斜轴轴投投影影：投投影影面面与与原原面面相相切切于于除除极极点和赤道以外某一位置所得投影。点和赤道以外某一位置所得投影。3)3)横横轴轴投投影影：投投影影面面轴轴线线与与地地球球自自转转轴轴相相垂垂直直，且且与与某某一一条条经经线线相相切切所所得得投投影。比如横影。比如横轴椭圆轴椭圆柱投影等。柱投影等。除除此此之之外外，投投影影面面还还能能够够与与地地球球椭椭球球相相割割于于两两条条标标准准线线，这这就就是是所所谓谓割割圆圆锥锥，割割圆圆柱柱投影等。投影等。投影变换基本概念投影变换基本概念113第113页4.9 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 1、高斯投影概述高斯投影概述 控制测量对地图投影要求控制测量对地图投影要求 （1）采取等角投影）采取等角投影(又称为正形投影又称为正形投影)（2）长度和面积变形不大）长度和面积变形不大 （3）能按高精度、简单、一样计算公式把各区域联成）能按高精度、简单、一样计算公式把各区域联成整体整体 高斯投影描述高斯投影描述 高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系114第114页高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，相切，椭圆柱中心轴经过椭球体中心，然后用一定投影方法，将椭圆柱中心轴经过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内地域投影到椭圆柱面上，中央子午线两侧各一定经差范围内地域投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面再将此柱面展开即成为投影面。115第115页投影带：投影带：以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域以中央子午线为轴，两边对称划出一定区域作为投影范围；作为投影范围；1）分带标准）分带标准 （1）限制长度变形使其小于测图误差；）限制长度变形使其小于测图误差；（2）带数不应过多以降低换带计算工作。）带数不应过多以降低换带计算工作。l 我国要求按经差我国要求按经差6和和3进行投影分带。进行投影分带。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系2）分带方法）分带方法116第116页高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系 6带带:自自0子午线起每隔经差子午线起每隔经差6自西向东分带，依次自西向东分带，依次编号编号1，2，3，60。我国。我国6带中央子午线经度，由带中央子午线经度，由73起起每隔每隔6而至而至135，共计，共计11带，带号用带，带号用n表示，中央子午线经表示，中央子午线经度用度用表示。表示。带号及中央子午线经度关系：带号及中央子午线经度关系：3带带:自东经自东经1.5子午线起，每隔子午线起，每隔3设置一个投影带，设置一个投影带，依次编号为依次编号为1，2，3，120带；中央子午线经度依次带；中央子午线经度依次为为3,6,9,360。带号及中央子午线经度关系：带号及中央子午线经度关系：117第117页 .5带或任意带带或任意带:工程测量控制网也可采取工程测量控制网也可采取.5带或任意带，但为了测量结果通用，需同国家带或任意带，但为了测量结果通用，需同国家6或或3带相联络。带相联络。n=L/3(四舍五入四舍五入)3高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系118第118页高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系例：某控制点例：某控制点 P 点点按按3带：带：按按6带：带：119第119页 在投影面上，中央子午线和赤道投影都是直线，在投影面上，中央子午线和赤道投影都是直线，而且以中央子午线和赤道交点而且以中央子午线和赤道交点O作为坐标原点，以中作为坐标原点，以中央子午线投影为纵坐标轴，以赤道投影为横坐标轴。央子午线投影为纵坐标轴，以赤道投影为横坐标轴。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系120第120页 6带与带与3带区分与联络区分带区分与联络区分 6带：从带：从 0子午线起划分，带宽子午线起划分，带宽6，用于中小百分，用于中小百分比尺（比尺（1：25000以下）测图；以下）测图；3带：从带：从 1.5子午线起划分，带宽子午线起划分，带宽3，用于大百分比，用于大百分比尺（如尺（如1：10000）测图。）测图。3带是在带是在6带基础上划分，带基础上划分，6带中央子午线及分带子带中央子午线及分带子午线均作为午线均作为3带中央子午线，其带中央子午线，其奇数带奇数带中央子午线与中央子午线与6带带中央子午线中央子午线重合，重合，偶数带偶数带与与分带子午线分带子午线重合。重合。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系121第121页高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系l国家统一坐标国家统一坐标在我国在我国x坐标都是正，坐标都是正，y坐标最大值坐标最大值(在赤道上在赤道上)约为约为330km。为了防止出现负横坐标，要求在横坐标上加上为了防止出现负横坐标，要求在横坐标上加上500 000m。另外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标另外还应在坐标前面再冠以带号。这种坐标称为称为国家统一坐标国家统一坐标。比如：比如：Y=19 123 456.789m该点位在该点位在19带内，横坐标真值：首先去掉带号，再减带内，横坐标真值：首先去掉带号，再减去去 500 000m，最终得最终得 y=-376 543.211(m)。122第122页高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系分带存在问题？分带存在问题？边界子午线两侧控制点与地形图位于边界子午线两侧控制点与地形图位于不一样投影带内，使得地形图不能正确拼接，采取带不一样投影带内，使得地形图不能正确拼接，采取带重合方法处理此问题。重合方法处理此问题。123第123页高斯投影特点：高斯投影特点：正形投影，确保了投影角度不变性，图形相同性正形投影，确保了投影角度不变性，图形相同性以及在某点各方向上长度比同一性。以及在某点各方向上长度比同一性。因为采取了一样法则分带投影，这既限制了长度因为采取了一样法则分带投影，这既限制了长度变形，又确保了在不一样投影带中采取相同简便公式变形，又确保了在不一样投影带中采取相同简便公式和数表进行因为变形引发各项更正计算，而且带与带和数表进行因为变形引发各项更正计算，而且带与带间相互换算也能用相同公式和方法进行。间相互换算也能用相同公式和方法进行。高斯平面直角坐标系高斯平面直角坐标系124第124页2、椭球面元素化算到高斯投影面、椭球面元素化算到高斯投影面125第125页 3)将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上由对将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上由对应直线组成三角形内角。这是经过计算应直线组成三角形内角。这是经过计算方向曲率改化方向曲率改化即方向改化来实现。即方向改化来实现。椭球面三角系归算到高斯投影面计算椭球面三角系归算到高斯投影面计算 1）将起始点）将起始点P大地坐标大地坐标(L，B)归算为高斯平面直归算为高斯平面直角坐标角坐标 x,y；为了检核还应进行反算，亦即依据为了检核还应进行反算，亦即依据 x,y反反算算B，L，这项工作统称为这项工作统称为高斯投影坐标计算高斯投影坐标计算。2）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面）将椭球面上起算边大地方位角归算到高斯平面上对应边上对应边PK坐标方位角，这是经过计算该点坐标方位角，这是经过计算该点子午线子午线收敛角收敛角及及方向改化方向改化实现。实现。126第126页 所以将椭球面三角系归算到平面上，包含坐标、曲所以将椭球面三角系归算到平面上，包含坐标、曲率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。率改化、距离改化和子午线收敛角等项计算工作。当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带当控制网跨越两个相邻投影带，以及为将各投影带联成统一整体，还需要进行平面坐标联成统一整体，还需要进行平面坐标邻带换算邻带换算。4)将椭球面上起算边将椭球面上起算边PK长度长度S归算归算到高斯平面上到高斯平面上直线长度直线长度s。这是经过计算距离改化这是经过计算距离改化实现。实现。127第127页正形投影普通条件正形投影普通条件4.9.2 正形投影普通条件正形投影普通条件1、长度比通用公式、长度比通用公式128第128页正形投影普通条件正形投影普通条件129第129页正形投影普通条件正形投影普通条件将上述两式代入（将上述两式代入（4-334）式，整理，令）式，整理，令130第130页正形投影普通条件正形投影普通条件131第131页正形投影普通条件正形投影普通条件2、柯西、柯西.黎曼条黎曼条件件132第132页正形投影普通条件正形投影普通条件正形条件正形条件m m与与A A无关，即满足：无关，即满足：133第133页正形投影普通条件正形投影普通条件则有：则有：柯西柯西-黎曼条件黎曼条件134第134页正形投影普通条件正形投影普通条件考虑到考虑到F=0，E=G，长度比公式简化为，长度比公式简化为135第135页把把 代入（代入（4-347），考虑下式），考虑下式正形投影普通条件正形投影普通条件136第136页柯西柯西-黎曼条件另一个解释方法黎曼条件另一个解释方法正形投影普通条件正形投影普通条件137第137页正形投影普通条件正形投影普通条件l假如点在子午线上：假如点在子午线上：L=常数，常数，dl=0l假如点在平行圈上：假如点在平行圈上：B=常数常数 dB=0138第138页正形投影普通条件正形投影普通条件 三角形三角形ABB与与ACC相同相同139第139页高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算4.9.3 高斯投影坐标正反算公式高斯投影坐标正反算公式1、高斯投影坐标正算公式、高斯投影坐标正算公式 高斯投影必须满足以下三个条件：高斯投影必须满足以下三个条件：(1)中央子午线投影后为直线；中央子午线投影后为直线；(2)中央子午线投影后长度不变；中央子午线投影后长度不变；(3)投影含有正形性质，即正形投影条件。投影含有正形性质，即正形投影条件。高斯投影坐标正算公式推导以下：高斯投影坐标正算公式推导以下：140第140页高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算1)由由第一个条件第一个条件可知，因为地球椭球体是一个旋转椭球可知，因为地球椭球体是一个旋转椭球体，即中央子午线东西两侧投影必定对称于中央子午线。体，即中央子午线东西两侧投影必定对称于中央子午线。x为为l偶函数，而偶函数，而y则为则为l奇函数。奇函数。2)由由第三个条件第三个条件正形投影条件正形投影条件141第141页由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数递由恒等式两边对应系数相等，建立求解待定系数递推公式推公式高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算142第142页高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算m0=?)由第二条件由第二条件可知，位于中央子午线上点，投影后可知，位于中央子午线上点，投影后纵坐标纵坐标 x 应该等于投影前从赤道量至该点子午弧长。应该等于投影前从赤道量至该点子午弧长。即当即当 l=0 时时,143第143页高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算144第144页高斯投影坐标正算高斯投影坐标正算将各系数代入，略去高次项，精度为将各系数代入，略去高次项，精度为0.001m145第145页高斯投影坐标反算高斯投影坐标反算2、高斯投影
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