复旦大学计算机科学与工程系吴永辉离散数学集合论经典习题省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

集合论习题解析集合论习题解析经典习题与考研习题经典习题与考研习题经典习题经典习题一、集合基础一、集合基础二、二元关系二、二元关系三、函数三、函数四、概念综合练习四、概念综合练习考研习题考研习题 北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中北京大学、中科院计算所、中科院软件所、中科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算科院自动化所、北京师范大学、中科院成都计算所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大所、上海交通大学、西安交通大学、西南交通大学、北京航空航天大学、复旦大学等学、北京航空航天大学、复旦大学等第1页一、集合基础一、集合基础1.1 与1.2 集合运算1.3 幂集第2页1.1 与与 1 设A,B,C是任意3个集合，假如AB,B C,则AC可能吗？AC常真吗？举例说明。第3页AC可能A=1,B=1,C=1,1AC不常真A=1,B=1,C=1第4页2 设A,B是任意2个集合，A B与 AB同时成立，这可能吗？第5页可能A=1,B=1,1.第6页3 设A,B,C是集合，判断以下命题真假，假如为真，给出证实；假如为假，给出反例：1)AB,BC AC;2)AB,BC AC;3)AB,BC AC;4)AB,BC AC;5)aA,AB aB.第7页1）假A=1,B=2,C=2 2）假A=1,B=2,C=13）假A=1,B=1,C=1,1第8页4）假A=1,B=1,1，C=1,25）真子集定义第9页4 4 设设A,B,CA,B,C是是U U子集，判断以下命题真假，假如子集，判断以下命题真假，假如为真，给出证实；假如为假，给出反例：为真，给出证实；假如为假，给出反例：1)1)A A B BA AB=BB=B;2)2)A A B BA AB=AB=A;3)3)A A B BA AB=AB=A;4)4)A A B BA AB=B;B=B;5)5)A A B BA A(B-A)=B(B-A)=B;6)6)B B A A(A-B)(A-B)B=AB=A;第10页1）假，A=B时不成立/*与与不一样不一样*/分析：I)ABAB=B：因为BAB；对于任意xAB，假如xA,因为AB,所以xB,则对任意xAB，xB成立。所以AB=B。II)A=B AB=B，但AB不成立。第11页2）假，A=1，B=1，2，不成立；3）假，A=B时不成立；4）假，A=1，B=1，2，不成立；5）假，A=B时不成立6）假，A=1，2，B=1，不成立；第12页1.2 集合运算集合运算5 设A,B,C是任意3个集合，（1）AB=AC，则B=C吗？（2）AB=AC，则B=C吗？（3）AB=AC且AB=AC，则B=C吗？第13页（1 1）假）假A=1,2,B=1,C=2A=1,2,B=1,C=2（2 2）假）假A=1,B=1,2,C=1,3A=1,B=1,2,C=1,3（3 3）真）真/*/*基本法、反证法证实基本法、反证法证实基本法、反证法证实基本法、反证法证实*/*/设设x x B B，假设，假设x x C C。因为。因为x x B B，所以，所以x x A AB B；因为；因为A AB=AB=AC C，所以，所以x x A AC C；因为；因为x x C C，所以所以x x A A；又因为；又因为x x B B，所以，所以x x A AB B；因为；因为A AB=AB=AC C ，所以，所以x x A AC C；则；则x x C C，这与，这与x x C C矛盾。所以矛盾。所以B=CB=C。第14页6 设A,B是任意2个集合，（1）若A-B=B，则A与B有何关系？（2）若A-B=B-A，则A与B有何关系？（3）若AB=AB，则A与B有何关系？（4）若AB=A，则A与B有何关系？/*用文氏图辅助*/第15页证实：(1)由A-B=B，可得出A=B=。第16页(2)由A-B=B-A，可导出A=B。第17页(3)A=B第18页(4)B=第19页7 给出以下命题成立充分必要条件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推导*/第20页解：(1)1)：设(A-B)(A-C)=A，对任意x，xA，则xA-B 或 xA-C；则有第21页2）：设ABC=，对任意x，xA，则xB或xC，则有第22页 对任意x，x(A-B)(A-C)，则xA-B或 xA-C，则有第23页（2）(A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)=AB而且ACABC所以，充要条件为ABC。第24页（3）1)设(A-B)(A-C)=，对任意x，xA，x(A-B)而且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；则有xB或xC；得xBC。所以ABC。2)ABC AB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。从而，(A-B)(A-C)=ABC。第25页（4）(A-B)(A-C)=(A-B)-(A-C)(A-C)-(A-B)=(A-B)(A-C)而且(A-C)(A-B)(A-B)=(A-C)第26页1.3 幂集幂集7 设A,B是任意2个集合，证实：（1）ABP(A)P(B)（2）P(A)P(B)A B（3）P(A)=P(B)A=B第27页/*利用基本法证实集合包含关系*/证实：(1)对任意xP(A),有xA,又因为AB，所以xB,即xP(B)；所以P(A)P(B)。(2)/*证实方法同(1)；*/对任意xA,则xP(A)，又因为P(A)P(B)，所以x P(B)，即xB；所以A B。(3)由(1)和(2)证实导出。第28页二、二元关系二、二元关系1 设R是集合A上关系（1）R是自反，则RR是自反；（2）R是对称，则RR是对称；（3）R是反自反和传递，则R是反对称；第29页/*证实思想：依据定义给出性质证实*/证实：（1）证实思想与（2）和（3）相同（2）设(a,b)RR,则存在c,(a,c)R,(c,b)R;因为R是对称，所以(b,c)R,(c,a)R;所以(b,a)RR。则RR是对称。（3）假设(a,b)R,(b,a)R。因为R是传递，所以(a,a)R，(b,b)R；因为R是反自反，所以造成矛盾。第30页2 设R是A上关系，若R是自反和传递，则RR=R。其逆命题也成立吗？证实思想：证实RR=R，1）证实RRR；2）证实RRR：第31页证实：证实：1 1）证实）证实R R R R R R：设设(a,b)(a,b)R R R R，存在，存在c c A,A,使得使得(a,c)(a,c)R,(c,R,(c,b)b)R R，因为，因为R R是传递，所以是传递，所以(a,b)(a,b)R R；则；则R R R R R R；2 2）证实证实R R R R R R：设设(a,b)(a,b)R R，R R是自反，是自反，(b,b)(b,b)R R，所以，所以(a,(a,b)b)R R R R；则；则R R R R R R。所以所以R R R=RR=R。第32页自反不成立传递成立第33页特殊关系特殊关系3 设S=1,2,3,4，并设A=SS，在A上定义关系R为：（a,b）R（c,d）当且仅当a+b=c+d。（1）证实R是等价关系；（2）计算出A/R。第34页（1）证实：/*依据等价关系定义证实依据等价关系定义证实*/1）/*证实证实R是自反；是自反；*/对于任意(a,b)SS，因为a+b=a+b，所以(a,b)R(a,b)，即R是自反。2）/*证实证实R是对称；是对称；*/假如(a,b)R(c,d)，则a+b=c+d，那么有c+d=a+b；所以(c,d)R(a,b)，即R是对称。3）/*证实证实R是传递；是传递；*/假如(a,b)R(c,d)，(c,d)R(e,f)，则a+b=c+d，c+d=e+f；所以a+b=e+f，得(a,b)R(e,f)，即R是传递。第35页（2）假如(a,b)R(c,d)，则a+b=c+d，所以依据和数来划分。第36页4 设R,S是A上等价关系，证实：RS是A上等价关系RS=SR。第37页证实思想：1）RS是A上等价关系RS=SR；证实(i)RSSR；(ii)SR RS；2）RS=SR RS是A上等价关系；证实RS是(i)自反；(ii)对称；(iii)传递；第38页证实：1）RS是A上等价关系RS=SR：假如(a,b)RS,因为RS是对称，所以(b,a)RS,所以存在cA,使得(b,c)R,(c,a)S；因为R和S是对称，所以(c,b)R,(a,c)S；则(a,b)SR；同理，SR RS；第39页2）RS=SR RS是A上等价关系：/*证实RS是自反、对称比较轻易*/第40页传递性证实：传递性证实：对任意对任意a,b,ca,b,c A A，假如，假如(a,b)(a,b)R R S,(b,c)S,(b,c)R R S S，因为因为R R S=SS=S R R，则有，则有(b,c)(b,c)S S R R，即存在，即存在e,fe,f A A，使，使(a,e)(a,e)R R，(e,b)(e,b)S S，(b,f)(b,f)S S，(f,c)(f,c)R R。因为因为S S是传递，是传递，(e,b)(e,b)S S，(b,f)(b,f)S S，所以，所以(e,f)(e,f)S S；因为；因为(a,e)(a,e)R R，所以，所以(a,f)(a,f)R R S S；R R S S是对称，是对称，则则(f,a)(f,a)R R S S；因为；因为R R是对称，是对称，(f,c)(f,c)R R，则，则(c,(c,f)f)R R。因为因为(f,a)(f,a)R R S S，则存在，则存在g g A A，使得，使得(f,g)(f,g)R R，(g,a)(g,a)S S；因为；因为R R是传递，由是传递，由(c,f)(c,f)R R，(f,g)(f,g)R R，则则(c,g)(c,g)R R；因为；因为(c,g)(c,g)R R，(g,a)(g,a)S S，所以，所以(c,(c,a)a)R R S S。因为已经证实，。因为已经证实，R R S S是对称，所以是对称，所以(a,(a,c)c)R R S S。第41页函数函数12 设f:XY是函数，A,B是X子集，证实：（1）f(AB)f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A)-f(B)f(A-B)第42页/*基本法证实*/证实：（1）对任意yf(AB)，存在x，x AB，使得y=f(x)。因为xA，所以yf(A)；因为x B，所以yf(B)。所以yf(A)f(B)。则f(AB)f(A)f(B)。第43页13 设R是A上一个二元关系，S=(a,b)|a,bA而且对于某个cA，有(a,c)R且(c,b)R。证实：若R是A上等价关系，则S是A上等价关系。/*证实是S自反、对称和传递*/第44页四、概念综合练习四、概念综合练习一、选择题（北京理工大学考研）1 以下集合运算中（）对满足分配律。A)B)C)D)第45页2 A、B是集合，P(A)、P(B)为其幂集，且AB=，则P(A)P(B)=（）A)B)C)D),第46页3 A、B是集合，以下各式除（）之外，均与AB等价。A)ABBB)AB=BC)AB=AD)ABB2第47页4 R是集合A上自反关系，则（）A)R RB)RR RC)RR-1=IAD)R R-1=IA第48页5 集合A中有n个元素，则A上共有（）个既对称又反对称关系。A)0B)2nC)n2D)2n第49页6 R是可传递二元关系，则在RR-1,RR-1,R-R-1,R-1-R中，有（）个一定是可传递。A)1B)2C)3D)4第50页7 函数f:RR，其中R为实数集合，以下四个命题中（）为真。A)f(x)=5是内射B)f(x)=5是满射C)f(x)=5是双射D)A),B),C)都不真第51页8 集合A到B共有64个不一样函数，则B中元素不可能是（）个。A)4B)8C)16D)64第52页二、选择题（北京理工大学1999）1 已知AB=1,2,3，AC=2,3,4，若2B，则 。A)1CB)2CC)3CD)4C第53页2 对任何二元关系R，在RR-1,RR-1,RR-1,RR-1中有 个一定是对称关系。A)1B)2C)3D)4第54页3 R=(1,4),(2,3),(3,1),(4,3),则 t(R)。A)(1,1)B)(1,2)C)(1,3)D)(1,4)第55页集合论集合论考研习题考研习题考研习题一、集合基础二、二元关系三、函数第56页一、集合基础一、集合基础1.1 集合运算容斥原理1.2 集合运算证实1.3 幂集1.4 相类似练习题目第57页1.1 集合运算集合运算容斥原理容斥原理中国科学院自动化所中国科学院自动化所1997120个学生参加考试，考试有A、B和C3道题，考试结果以下：12个学生3道题都做对了，20个学生做对A和B，16个学生做对A和C，28个学生做对B和C，做对A有48个学生，做对B 有56个学生，有16个学生一道也没有做对。试求做对了C学生有多少个？直接使用容斥原理第58页解：设做对A题学生集合为PA，做对B题学生集合为PB，做对C题学生集合为PC。/*依据容斥原理，列出计算式*/|PAPBPC|=12,|PAPB|=20,|PAPC|=16,|PBPC|=28,|PA|=48,|PB|=56,第59页/*依据容斥原理，进行计算*/|PAPBPC|=120-16,|PAPBPC|=|PA|+|PB|+|PC|-|PAPB|-|PAPC|-|PBPC|+|PAPBPC|,所以|PC|=20+16+28+104-12-48-56=52，做对C题学生为52人。第60页容斥原了解题总结容斥原了解题总结使用容斥原理时，首先搞清论域，划定全集；其次对全集进行分类，列出计算式；最终依据容斥原理公式进行计算。第61页北京师范大学北京师范大学证实证实容斥原理：设容斥原理：设A A1 1,A,A2 2,A,An n都是有限集，都是有限集，则则|A|A1 1A A2 2A An n|=|=其中：其中：i i1 1,i,i2 2,i,in n 是遍历是遍历1,2,n1,2,n全部全部k k元子集。元子集。/*/*证实思想：数学归纳法证实思想：数学归纳法*/*/第62页证实：1）归纳基础归纳基础：当k=2时，集合A1和A2公共元素个数为|A1A2|，这些元素中每一个在|A1|+|A2|里计算了两次，但在|A1A2|中是作为一个元素计算。所以有|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。所以，当n=2时，命题成立。第63页2 2）归纳步骤：）归纳步骤：第64页 当k=n时，|A1A2An|=|(A1A2An-1)An|=|(A1A2An-1)|+|An|-|(A1A2An-1)An|因为|(A1A2An-1)An|=|(A1An)(A2 An)(An-1An)|/*n-1个集合并，依据归纳假设展开*/第65页北京师范大学北京师范大学设S为任一集合，证实在S与其幂集P(S)之间不存在1-1对应。第66页1.2 集合运算集合运算证实证实基本法、公式法第67页中国科学院软件所中国科学院软件所19981 对于任意集合A和B，证实:(1)P(A)P(B)P(AB),(2)P(A)P(B)=P(AB)；并举例说明P(A)P(B)P(AB)。/*幂集定义：P(A)=x|xA*/第68页（1）/*基本法*/对任意xP(A)P(B)，有xP(A)或xP(B)。若xP(A)，则xA，所以xAB，即xP(AB)；同理，若xP(B)，则xB，所以xAB，即xP(AB)。总而言之，P(A)P(B)P(AB)。第69页（2）/*基本法*/对任意xP(A)P(B)，有xP(A)且xP(B)。即xA而且xB，则xAB。所以xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。对任意xP(AB)，有xAB，即xA而且xB，所以xP(A)且xP(B)。所以P(AB)P(A)P(B)。总而言之，P(A)P(B)=P(AB)。第70页举例说明P(A)P(B)P(AB)。A=1,B=2,AB=1,2;P(A)=,1,P(B)=,2,P(A)P(B)=,1,2,P(AB)=,1,2,1,2;所以P(A)P(B)P(AB)。第71页中国科学院计算所中国科学院计算所19982 证实：若(A-B)(B-A)=C，则A(B-C)(C-B)充分必要条件是ABC=。证实思想：（1）充分性，即证实：若ABC=，则A(B-C)(C-B)；基本法证实；（2）必要性，即证实：若A(B-C)(C-B)，则ABC=；反证法证实。第72页证实：（1）对于任意aA，因为ABC=，所以aBC，则a有3种情况：I)aB，但aC，则aC-B，所以a(B-C)(C-B)；II)aB，但aC，则aB-C，所以a(B-C)(C-B)；III)aB且aC，因为aA，所以aA-B，所以a(A-B)(B-A)，即aC，造成矛盾，所以aB且aC不可能出现。总而言之，对于任意aA，a(A-B)(B-A)，所以A(B-C)(C-B)。第73页证实：（2）假设ABC，则存在a，a ABC，即aA，aB，且aC。所以a B-C，aC-B。则a(B-C)(C-B)。因为A(B-C)(C-B)，aA，所以造成矛盾。所以ABC=。第74页北京大学北京大学19983 给出集合表示式(A-C)B=AB成立充要条件.第75页 第76页北京大学北京大学1994判断题，为真给出证实，为假给出反例：1）x-x2）若AB=AC，则B=C。3）R是A上关系，则R=R2充要条件是R=IA。第77页1.3 幂集幂集幂集运算：代数法第78页北京大学北京大学19971 设A为集合，B=P(A)-A，且B。求偏序集(B,)极大元，极小元，最小元。第79页因为B，所以|A|1。对任意xA,A-x是极大元，x是极小元，无最小元。第80页北京大学北京大学19992 设A=,，计算P(A)-,P(A)A。第81页/*代数法求P(A)*/设x=,y=，A=x,y,P(A)=,x,y,x,y;P(A)=,;P(A)-=,;P(A)A=,;第82页上海大学上海大学19983 设A是集合，A元素也是集合，P(A)是A幂集。定义A=x|yA,xy（1）计算a,b,c,a,d,e,a,f；（2）证实P(A)=A；（3）请问P(A)=A？解题要素：A（广义并）和幂集定义；基本法第83页（1）计算a,b,c,a,d,e,a,f解：a,b,c,a,d,e,a,f=a,b,c a,d,e a,f=a,b,c,d,e,f第84页（2）证实P(A)=A证实：对任意xP(A)，则存在yP(A)，xy；因为yP(A)，所以yA；所以xy，则有P(A)A；对任意xA，设y=x，则yA。所以yP(A)。所以xP(A)。所以P(A)=A。第85页（3）请问P(A)=A？不成立。反例：（1）A=a,b,c,a,d,e,a,fA=a,b,c,d,e,fP(A)A第86页上海交通大学上海交通大学19984 4 C C是非空集合族，证实：是非空集合族，证实：P(P(C)=C)=P(X)|XP(X)|X CC证实方法：基本法，集合族概念证实方法：基本法，集合族概念第87页证实：证实：任取任取x x P(P(C)C)，则，则x xC C，所以对于，所以对于任意任意a a x x，有，有a aC C；对于任意；对于任意X X C C，有，有a a X X；那么那么x x X X，即，即x x P(XP(X)。由。由X X任意性，也即任意性，也即x xP(X)|XP(X)|X CC。所以。所以P(P(C)C)P(X)|XP(X)|X CC。任取任取x xP(X)|XP(X)|X CC，则，则对于任意对于任意X X C C，有，有x xP(X)P(X)，即，即x x X X。因为。因为X X C C，对于，对于任意任意a a x x，有，有a a X X；所以；所以a aC C。所以。所以x xC C，即即x x P(P(C)C)。所以。所以P(X)|XP(X)|X C C P(P(C)C)。所以所以P(P(C)=C)=P(X)|XP(X)|X CC。第88页中科院成都计算所中科院成都计算所5 设A是一有限集，A基数为|A|。证实：A幂集P(A)基数|P(A)|=2|A|。第89页1.4 相类似题目相类似题目1 A,B是两个集合，给出AB=B充分必要条件是什么，并证实你结论。/*南京理工大学*/第90页2 判断以下各式是否成立，假如成立，则证实之，不然举出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB),（2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大学第91页3 证实P(A)P(B)P(AB)，并说明等号成立条件。上海交通大学1999第92页4 设A,B,C,D为4个非空集合，则AB CD充分必要条件是 。/*重庆大学1998*/第93页二、二元关系二、二元关系关系及其性质与运算等价关系与划分序关系第94页关系及其性质与运算关系及其性质与运算第95页北京大学北京大学19971 设R=(x,y)|x,yN而且x+3y=12，求R2。解题思绪：将R全部元素列出，求R与它本身复合所得关系第96页解：R=(0,4),(3,3),(6,2),(9,1),(12,0)R2=(3,3),(12,4)第97页北京大学北京大学19902 设R是复数C上二元关系，且满足xRyx-y=a+bi，a和b为非负整数，试确定R性质（自反、反自反、对称、反对称和传递），并证实之。第98页北京大学北京大学19943 判断题，为真给出证实，为假给出反例：R是A上二元关系，则R=R2R=IA。第99页武汉大学武汉大学19994 设A=a,b,c，给出A上一个二元关系R，使其同时不满足自反、反自反、对称、反对称和传递性。第100页武汉大学武汉大学19985 设A=1,2,3，R是P(A)上二元关系，且R=(a,b)|ab。则R不满足以下哪些性质？为何？1)自反2)反自反3)对称4)反对称5)传递性第101页等价关系与划分等价关系与划分第102页中科院成都计算所中科院成都计算所1 设R是集合A上一个传递和自反关系，T是A上一个关系，使得(a,b)属于T当且仅当(a,b)和(b,a)都属于R。证实：T是一个等价关系。第103页西南交通大学西南交通大学19972 2 设设X X和和Y Y都是正整数集，都是正整数集，x xi i X,yX,yi i Y,i=1,2.Y,i=1,2.11以下关系是否是等价关系？证实你结论。以下关系是否是等价关系？证实你结论。1)R=(x1)R=(x1 1,x,x2 2),(y),(y1 1,y,y2 2)|x)|x1 1+y+y2 2=x=x2 2+y+y1 1 2)R=(x2)R=(x1 1,x,x2 2),(y),(y1 1,y,y2 2)|x)|x1 1+y+y1 1=x=x2 2+y+y2 2 22若若R R是等价关系，定义集合是等价关系，定义集合M,M=(0,2),(1,2),M,M=(0,2),(1,2),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),。试给出它等价类。试给出它等价类。第104页西南交通大学西南交通大学19983 设S=1,2,3，定义SS上关系R为：对任意(a,b),(c,d)SS，有(a,b),(c,d)a+d=b+c，证实：R为SS上等价关系并给出SS/R。第105页上海交通大学上海交通大学4 设P是X上等价关系，Q是Y上等价关系，关系R满足(x1,y1),(x2,y2)R 当且仅当(x1,x2)P，(y1,y2)Q，证实：R是XY上等价关系。第106页南京理工大学南京理工大学5 R是集合A上等价二元关系，证实R2也是A上等价关系。第107页序关系序关系第108页西南交通大学西南交通大学19981 集合A上二元关系R假如是传递和反自反，则称R是A上拟序关系，证实：（1）假如R是A上拟序关系，则r(R)=RIA是偏序关系；（2）假如R是A上偏序关系，则R-IA是拟序关系。第109页西南交通大学西南交通大学19992 设R是集合A上偏序关系，且BA，试证实R=R(BB)是B上偏序关系。第110页复旦大学复旦大学19993 判断是否正确，并说明理由。设A是一个集合，R是A幂集P(A)上二元关系，对全部S、TP(A)，(S,T)P(A)。当且仅当|S|T|，R是偏序关系。第111页华中科技大学华中科技大学4 设P是集合A上二元关系，P是传递和反自反，证实：r(P)是A上偏序关系。第112页北京师范大学北京师范大学19995 证实整除关系是正整数集合上偏序关系。第113页三、函数三、函数第114页西南交通大学西南交通大学19991 假设函数f:AB并定义G:BP(A)，对于bB，G(b)=x|xA,f(x)=b。证实假如f是A到B满射，则G是内射；其逆命题成立吗？第115页北京大学北京大学19982 设f:NNN,f(x,y)=xy。求f(N1),f-1(0)，并说明是否为满射、内射和双射。第116页3 设f:XY是函数，A,B是X子集。证实：（1）f(AB)f(A)f(B);（2）f(AB)=f(A)f(B)；（3）f(A)-f(B)f(A-B)。第117页复旦大学复旦大学19994 判断是否正确，并说明理由。设A和B为集合，若存在A到B满射函数，则|B|A|。第118页武汉大学武汉大学19995 设A,B,C,D是任意集合，f是A到B双射，g是C到D双射。令h:ACBD且(a,c)AC，h(a,c)=(f(a),g(c)。那么h是双射吗？请证实你判断。第119页中国科学院软件所中国科学院软件所19966 设f:AB,g:BC,h:BC,证实：假如h o o g o o f=IA，f o o h o o g=IB，g o o f o o h=IC，则f、g和h均为双射，并求出f-1，g-1，h-1。第120页中国科学院计算所中国科学院计算所19987 设R1和R2为X上两个关系，且R1 o o R2=IX。1）若X为有限集合，证实：存在X上双射f1和f2，使得f1 o o f2=IX且aR1bb=f1(a),cR2dd=f2(c)。2）若X为无限集合，举例说明1）结论不成立。第121页第122页第123页第124页第125页第126页