定积分的换元法省公共课一等奖全国赛课获奖课件.pptx

定积分换元法定积分换元法 上一节我们建立了积分学两类基本问题上一节我们建立了积分学两类基本问题之间联络之间联络微积分基本公式，利用这个微积分基本公式，利用这个公式计算定积分关键是求出不定积分，而公式计算定积分关键是求出不定积分，而换元法和分部积分法是求不定积分两种基换元法和分部积分法是求不定积分两种基本方法，假如能把这两种方法直接应用到本方法，假如能把这两种方法直接应用到定积分计算，相信定能使得定积分计算简定积分计算，相信定能使得定积分计算简化，下面我们就来建立定积分换元积分公化，下面我们就来建立定积分换元积分公式和分部积分公式。式和分部积分公式。第1页先来看一个例子先来看一个例子例例1换元求不定积分换元求不定积分 令令则则故故第2页为去掉根号为去掉根号令令则则 当当 x 从从0连续地增加到连续地增加到4时，时，t 对对应地从应地从1连续地增加到连续地增加到3于是于是尝试一下直接换元求定积分尝试一下直接换元求定积分第3页将上例普通化就得到定积分换元积分公式将上例普通化就得到定积分换元积分公式 由此可见，定积分也能够象不定积分一样由此可见，定积分也能够象不定积分一样进行换元，所不一样是不定积分换元时要回进行换元，所不一样是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量上、下限即可计算出定积分，下限换成新变量上、下限即可计算出定积分，而无须回代原积分变量而无须回代原积分变量第4页一、换元公式一、换元公式第5页证证第6页第7页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）第8页计算计算解解1 由定积分几何意义由定积分几何意义等于圆周第一象限部分面积等于圆周第一象限部分面积解解2 故故o例例2第9页令令解解4令令仍可得到上述结果仍可得到上述结果解解3第10页解解 令令 例例3 3 计算计算第11页定积分换元积分公式也能够反过来使用定积分换元积分公式也能够反过来使用为方便计为方便计将换元公式左、右两边对调将换元公式左、右两边对调同时把同时把 x 换成换成 t ，t 换成换成 x这说明可用这说明可用 引入新变量引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则无须换限整体视为新变量，则无须换限注注第12页例例4 4 计算计算解解第13页例例5 5 计算计算解解原式原式第14页例例6 6 计算计算解一解一 令令原式原式第15页解二解二接解一接解一对对令令则则第16页证证第17页即：即：奇函数在对称区间上积分等于奇函数在对称区间上积分等于0 偶函数在对称区间上积分等于对称偶函数在对称区间上积分等于对称 部分区间上积分两倍部分区间上积分两倍 由定积分几何意义，这个结论也是比较显著由定积分几何意义，这个结论也是比较显著第18页例例8 8 计算计算解解原式原式偶函数偶函数奇函数奇函数四分之一单位圆面积四分之一单位圆面积第19页第20页（1）设）设（2）设）设证证第21页第22页另证另证 将上式改写为将上式改写为奇函数奇函数第23页例例10 设设 f(x)是以是以L为周期连续函数，证实为周期连续函数，证实证实证实与与 a 值无关值无关第24页例例11 设设 f(x)连续，常数连续，常数 a 0 证实证实证实证实比较等式两边被积函数知，比较等式两边被积函数知，第25页第26页例例12 设设 f(x)连续连续解解第27页第28页第29页定积分换元法定积分换元法几个特殊积分、定积分几个等式几个特殊积分、定积分几个等式 二、小结二、小结第30页思索题思索题解解 令令第31页 思索题解答思索题解答计算中第二步是错误计算中第二步是错误.正确解法是正确解法是第32页练练 习习 题题第33页第34页第35页第36页练习题答案练习题答案第37页