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级数敛散性判别方法的归纳

（西北师大）

摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。

关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散

一. 级数收敛的概念和基本性质
给定一个数列｛｝，形如
①
称为无穷级数(常简称级数),用表示。无穷级数①的前n项之和，记为
= ②
称它为无穷级数的第n个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛｝收敛于s.则称无穷级数收敛，若级数的部分和发散则称级数发散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：
定理1 若级数和都收敛，则对任意的常数c和d，级数亦收敛，且=c+d
定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性
定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给＞0，总存在自然数N，使得当m＞N和任意的自然数，都有＜
以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二 正项级数的收敛判别
各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{}有界，即存在某正整数M，对一切正整数 n有＜M。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法
1 比较判别法
设和是两个正项级数,如果存在某正数N，对一切n＞N都有，则
（i）级数收敛，则级数也收敛；
（ii）若级数发散，则级数也发散。
例 1 . 设收敛，证明：收敛（>0）.
证明：因为 0<<
易知：收敛（积分判别法），又收敛，所以收敛。
由比较判别法知收敛（>0）.
例 2 . 证明：级数都是条件收敛的。
证： 不妨设x>0,则>0，当n>时，0<<,此时,且{}为单调递减数列，且=0。
由莱布尼茨判别法知收敛。
而当n>时， =>0，=1
又发散，由比较判别法知也发散。
所以，级数都是条件收敛的。
例 3. 证明级数收敛
证： 0< = < = .
= = =0
由比值判别法知收敛，再由比较判别法知收敛，即有：
级数收敛。

根据比较原则，我们得到了两个更为实用的判别法，即柯西判别法和达朗贝尔判别法。

2 柯西判别法（根式判别法）
设为正项级数，且存在某正整数及正常数，（i）若对一切n＞，成立不等式＜1，则级数收敛。（ii）若对一切n＞，成立不等式则级数发散。
例 1 . 判别级数的敛散性。
解：因为 =
所以由根式判别法知级数收敛。

3 达朗贝尔判别法（比值判别法）
设为正项级数，且存在某正整数及常数q（0＜q＜1）. （i）若对一切n＞，成立不等式q，则级数收敛。（ii）若对一切n＞，成立不等式则级数发散。
例 1 .判别级数的敛散性。
解：因为 = = >1
所以由比式判别法知级数发散。

4积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。
设f为[1，+ )上非负减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散。
例 1 .判别级数的敛散性。
解：设f(x)= ,则f(x)在[3，+ 上非负递减。
若，这时有= =
当小q＞1时级数收敛；当小q 1时级数发散；
若,这时有= 对任意的q，当时，取t>1,有
=0 即该积分收敛。当时，有 =即该积分发散。

5拉贝判别法
设为正项级数，且存在某正整数及常数r，（i）若对一切n＞，成立不等式＞1，则级数收敛。（ii）若对一切n＞，成立不等式则级数发散。
例 1 .判别级数（x>0）的敛散性。
解：因为 = [1- ]
=
所以由拉贝判别法知，当小x＞1时级数收敛；当小x 1时级数发散；
6对数判别法
对于正项级数，如果存在，则当q>1时，级数收敛；当q<1时，级数发散。
例 1判别级数=的敛散性。
证明： = =ln 5>1
因此有对数判别法可知级数=收敛。
7双比值判别法
对于正项级数，如果存在= = ，则当< 时，级数收敛；当>时，级数发散。
例 1判别级数的敛散性。
证明：因为=
由此知级数收敛。
例 2 判别级数的敛散性。
证明：这里，即>
有 = = = >
所以级数发散。

8高斯判别法
设是严格正项级数，并设=+++，则关于级数的敛散性，有以下结论：
（i）如果>1，那么级数收敛；如果<1，那么级数发散。
（ii）如果=1，>1，那么级数收敛；如果=1，<1，那么级数发散。
（iii）如果==1，>1，那么级数收敛；如果==1，<1，那么级数发散。
例1 Gauss 超几何级数1+的敛散性，其中均为非负常数。
解：因为=
又因为=1-+，=1-+，
所以=（1++）。
根据高斯判别法可以判别：
如果x<1;或者x=1, ,那么级数收敛。
如果x>1;或者x=1, ,那么级数发散。

参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.下册[M].北京：高等教育出版社，2001.
[2]李春江.级数收敛的判别方法[J].
[3]邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程 下册.北京：高等教育出版社，1999.6
[4]杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较[J].四川师范大学学报，2004，（1）：57-60.
[5]刘芜健.一类特殊正项级数的敛散性判定技巧.南京邮电大学学报.