具有时变时滞的四元数值神经网络的全局耗散性.pdf

2024 年 3 月伊犁师范大学学报（自然科学版）Mar.2024第 18 卷 第 1 期Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）Vol.18 No.1具有时变时滞的四元数值神经网络的全局耗散性高苗苗1,陈展衡1,2*（1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁835000）摘要：利用线性矩阵不等式技术及向量李雅普诺夫泛函的方法，对一类具有时变时滞的四元数值神经网络的全局耗散性问题进行分析，得出了四元数神经网络耗散性的准则.最后，通过数值仿真实验验证了该结论的有效性和正确性.关键词：四元数；线性矩阵不等式；全局耗散性；全局吸引集中图分类号：O175.13文献标识码：A文章编号：2097-0552（2024）01-0022-050引言引言耗散性与整个系统的稳定性都是密切相关的，它不仅在控制定理中起着很重要的作用，而且在实际系统中也起着重要的作用，如在机器人系统中、电力系统中、发动机系统中等.耗散理论为控制系统的设计和分析都提供了一个有用的框架，在文献 1 中CAO等人将四元数模型作为一个整体，利用代数学的方法，来研究具有时变时滞的四元数神经网络的动力学行为，在不对四元数模型进行分解的情况下，得出了系统耗散性的条件.LIU等在文献 2 中把四元数BAM神经网络模型分解成两个复值系统，避免了四元数乘法的非交换性，并对一类具有四元数BAM神经网络模型的耗散问题进行了非常深入的探讨.LI与GAO等在文献 3 中通过将四元数引入记忆神经网络模型中，共同提出了一种新型的忆阻器全局耗散和状态估计的问题，并且对模型的估计也能够很好地跟踪真实的系统，这个研究是对记忆系统的一个十分有趣的挑战.四元数最早由爱尔兰的数学家Hamilton（1853）提出4，由于四元数的非交换性，包括四元数值状态、四元数值连接权重和四元数值激活函数，因此四元数神经网络的研究要比实值神经网络以及复值神经网络更为繁琐复杂.四元数在近几年来越来越受到姿态控制、量子力学和数学等各个领域的关注.然而，到目前为止，关于四元数域神经网络耗散性的研究成果仍然较少，这也是本文的主要研究动机之一.基于以上研究，本文与文献 1 相比，创新之处主要在于利用了线性矩阵不等式技术并且构造了适当的李雅普诺夫泛函，得到了四元数神经网络全局耗散性的准则并且对全局吸引集进行了估计和验证.1预备知识预备知识首先我们先给出一些符号定义，R表示实数域，C表示复数域，Q表示四元数域.收稿日期：2023-05-12基金项目：国家自然科学基金资助项目（61663045）.作者简介：高苗苗（1997），女，山西寿阳人，硕士，研究方向：神经网络理论及应用.*通信作者：陈展衡（1975），男，新疆伊宁人，副教授，研究方向：神经网络理论及应用.高苗苗,陈展衡：具有时变时滞的四元数值神经网络的全局耗散性第1期1.1四元数代数四元数可以写成如下的形式：h=hR+hIi+hJj+hKk，h Q，其中系数hR，hI，hJ，hK R,并且虚数单位i,j,k满足Hamilton规则：i2=j2=k2=ijk=-1,ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j.显然四元数是不满足乘法交换律的，四元数h=h0+h1i+h2j+h3k的共轭用h*来表示，h*=h0-h1i-h2j-h3k，四元数h的模用|h来表示，|h=hh*=h20+h21+h22+h23.考虑如下具有时变时滞的四元数神经网络模型：x(t)=-Dx(t)+Af(x(t)+Bf(x(t-(t)+u，t t0.（1）其中，x=(x1,x2,.,xn)Qn是状态向量,D=diag(d1,d2,.,dn)Rn n且dp 0是自反馈连接权矩阵，p=1,2,.,n.A=()apqn n Qn n，B=(bpq)n n Qn n表示连接权矩阵，p,q=1,2,.,n.f(x(t)=f1(x1(t),f2(x2(t),.,fn(xn(t)Qn 1和f(x(t-(t)=f1(x1(t-(t),f2(x2(t-(t),.,fn(xn(t-(t)T Qn 1表示激活函数，0 (t)(0)表示时变时滞，u=()u1,u2,.,un Qn 1表示外部输入.系统（1）的初始条件为：x(s)=(s)Qn,s t0-,t0.为了保证本文的正确性和连贯性，现在做如下假设：假设1时滞(t)是非负且连续可微的，并且满足条件(t)0，则有以下的不等式成立：f(u)-f(v)q(u-v)，这里我们定义：L=diag(21,22,.,2n)，2q=q q，其中q=1,2,.,n.引理6对任意X,Y Q，正常数 0，若H是正定的Hermite矩阵，则满足以下不等式：X*HY+YHX X*HX+1YHY.2主要结论主要结论定理若假设1和假设2都成立，如果存在正定的Hermite矩阵P，Q，R，Z Q及对角矩阵G 0，min(Z)表示矩阵Z的最小特征值，以及一个非负连续可微的函数(t)，(t)0,+，当t 0时，(t)(t)1，(t-(t)(t)2，有以下的线性矩阵不等式成立：=110PAPB02200AP0R-G0BP0044 0.（2）23伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年这里11=1P-DP-PD+Q+GL+P+Z，22=-(1-)2Q，则系统（1）是一个全局耗散系统，并且集合=x(t)Qn|uPu/min(Z)12是系统（1）的全局吸引集.证明：设向量李亚普诺夫函数为V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)其中V1(t)=(t)x(t)Px(t)，V2(t)=t-(t)t(s)x(s)Qx(s)ds，V3(t)=t-(t)t(s)f(x(s)Rf(x(s)ds我们对函数V(t)沿着系统（1）求导：V1(t)=(t)x(t)Px(t)+(t)x(t)Px(t)+(t)x(t)Px(t)=(t)x(t)Px(t)+(t)-Dx(t)+f(x(t)A+f(x(t-(t)B+uPx(t)+(t)x(t)P-Dx(t)+Af(x(t)+Bf(x(t-(t)+u=(t)x(t)Px(t)+(t)x(t)(-DP-PD)x(t)+f(x(t)APx(t)+x(t)PAf(x(t)+f(x(t-(t)BPx(t)+x(t)PBf(x(t-(t)+uPx(t)+x(t)Pu,V2(t)=(t)x(t)Qx(t)-(1-(t)(t-(t)x(t-(t)Qx(t-(t)，V3(t)=(t)f(x(t)Rf(x(t)-(1-(t)(t-(t)f(x(t-(t)Rf(x(t-(t).根据假设1和假设2以及引理的性质，联立上面3个等式可得到：V(t)(t)x(t)Px(t)+(t)x(t)(-DP-PD)x(t)+(t)f(x(t)APx(t)+(t)f(x(t-(t)BPx(t)+(t)x(t)PAf(x(t)+(t)x(t)PBf(x(t-(t)+(t)uPx(t)+(t)x(t)Pu+(t)x(t)Qx(t)-(1-)(t-(t)x(t-(t)Qx(t-(t)+(t)f(x(t)Rf(x(t)-(1-)(t-(t)f(x(t-(t)Rf(x(t-(t)+(t)f(x(t)Gf(x(t)+(t)x(t)GLx(t)+(t)x(t)Zx(t)-(t)x(t)Zx(t)(t)(t)(t)-x(t)Zx(t)+uPu.其中可以定义向量(t)=(x(t),x(t-(t),fx(t),fx(t-(t).根据定理所给出的一些条件，有V(t)-x(t)Zx(t)+uPu -min(Z)|x(t)2+uPu 0，对所有的t T+t0，x(t)，可以得出集合是一个全局吸引集，且系统（1）是一个全局耗散系统.3数值仿真数值仿真考虑以下二阶的具有时变时滞的四元数值神经网络模型：x(t)=-Dx(t)+Af(x(t)+Bf(x(t-(t)+u,t t0.其中的参数如下：f(x()=tanh(xR()+tanh(xI()+tanh(xJ()+tanh(xK()，24高苗苗,陈展衡：具有时变时滞的四元数值神经网络的全局耗散性第1期A=()a11a12a21a22，B=()b11b12b21b22，a11=0.5-0.5i+0.4j-0.5k，a12=-0.8+0.2i-0.8j+0.2k，a21=0.06+0.6i+0.06j+0.6k，a22=0.2-0.5i+0.3j-0.5k，b11=-0.2+0.5i-0.3j+0.5k，b12=0.35-0.4i-0.35j-0.4k，b21=0.4+0.6i+0.4j+0.6k，b22=-0.5-i-0.4j-ku1=0.5+0.4i-0.5j-0.3k，u2=-0.3-0.3i+0.6j+0.4k.并且D=diag(5,5).现在我们来考虑定理中的LMI（2），利用MATLAB中的工具箱计算得出以下的矩阵：P=10-10()0.3332+0.0000i0.0264-0.0266i0.0264+0.0266i0.2807+0.0000i，Q=10-9()0.1691+0.0000i0.0107-0.0145i0.0107+0.0145i0.1408+0.0000i，R=10-10()0.0545-0.2764-0.27640.0545，G=10-10()0.4149000.4147，Z=10-9()0.1370+0.0000i-0.0229-0.0113i-0.0229+0.0113i0.1145+0.0000i通过计算可以得到定理中的集合：=x(t):|x1(t)10-4(0.0519+0.4344i),|x2(t)10-4(0.8590+0.3037i)，并且对上述计算得出的矩阵和集合的值进行了验证.数值仿真图像如图1所示.图 1状态变量xR,xI,xJ,xK时间响应图，p=1,2.4结论结论本文通过构造一个适当的李雅普诺夫泛函，对一类具有时变时滞的四元数神经网络的全局耗散性进行了系统的分析和初步的研究，并且利用线性矩阵不等式技术以及引理得到了保证四元数神经网络耗散性的基本准则.此外，还估计了系统的正不变集和全局吸引集，最后通过MATLAB工具箱准确地计算得到了定理中的矩阵和集合，验证了其结果的有效性、真实性和准确性.本文的不足之处在于仅仅讨论了一类具有时变时滞的四元数神经网络模型的耗散性问题，而对于其他的时滞存在的情形没有进行深入探讨，例如分布时滞、离散时滞、常时滞、比例时滞等.因此，在未来，我们还需要对四元数神经网络其他的模型展开更深入的研究和探索.25伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年参考文献：1 TU Z，CAO J，AHMEDALEADI，et al.Global dissipativity analysis for delayed quaternion-valued neural networks J .NeuralNetworks，2017，89（5）：97-104.2 LIU J，JIAN J.Global dissipativity of a class of quaternion-valued BAM neural networks with time delay J.Neurocomputing，2019，349（27）：123-132.3 LI R，GAO X，CAO J，et al.Dissipativity and exponential state estimation for quaternion-valued memristive neural networksJ.Neurocomputing，2019，363（41）：236-245.4 HAMILTON W.Elements of Quaternions M.London：Longmans Green and CO，1866.5 LIUY，ZHANGD，LOUJ，etal.StabilityAnalysisofQuaternion-ValuedNeuralNetworks：DecompositionandDirectApproachesJ.IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2018，29（9）：4201-4211.6 FANG T，SUN J.Further investigate the stability of complex-valued recurrent neural networks with time-delays J.IEEETrans.Neural Networks，2014，25（9）：1709-1713.7 PARCOLLET T，MORCHID M.A survey of quaternion neural networks J.Artificial Intelli-gence Review，2019，53（4）：2957-2982.8 LIR，CAOJ.Dissipativityanalysisofmemristiveneuralnetworkswithtime-varyingdelaysandrandomlyoccurringuncertainties，Math J.MathematicalMethodsintheAppliedSciences，2016，39（11）：2896-2915.9 XU X H，XU Q，YANG J B，et al.Further research on exponential stability for quaternion-valued neural networks with mixeddelays J.Neurocomputing，2020，400（30）：186-205.10 ZHANG D，KOU K I，LIU Y，et al.Decomposition approach to the stability of recurrent neural networks with asynchronoustime delays in quaternion field J.Neural Networks，2017，94（10）：55-66.11 ZHANG H，YAN H，CHEN Q，et al.Stability and dissipative analysis for a class of stochastic system with time-delay J.Journal of the Franklin InstituteJournal of the Franklin Institute，2010，347（5）：882-893.12 TU Z，CAO J，ALEADIA，et al.Global dissipativity of memristor-based neutral type inertial neural networks J.NeuralNetworks，2017，88（4）：125-133.【责任编辑：张建国】Global DissipativityAnalysis for Delayed Quaternion-valued Neural NetworksGao Miaomiao1,Chen Zhanheng1,2*(1.College of Mathematics and Statistics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China;2.Institute of Applied Mathematics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China)Abstract:In this paper,the author considers the global dissipativity for quaternion-valued neural networks(QVNNs)withtime-varying delays,by using linear matrix inequality theory and vectorial Lyapunov function method,and obtains the criterionof the dissipative quaternion-valued neural networks.Finally,the conclusions are proved to be correct by numerical simulationexperiments.Key words:quaternion;linear matrix inequality;global dissipativity;globally attractive set26