数学实验2课件市公开课一等奖百校联赛特等奖课件.pptx

数学建模试验数学建模试验 -曲线拟合曲线拟合第1页n一、实验目及意义n二、实验课时安排n三、实验步骤n四、实验要点分析n五、实验总结内容介绍内容介绍第2页n一、实验目及意义n二、实验课时安排n三、实验步骤n四、实验要点分析n五、实验总结内容介绍内容介绍第3页一、实验目及意义n11了解拟合基本内容；了解拟合基本内容；n22掌握掌握MATLABMATLAB软件求解拟合问题；软件求解拟合问题；n33验证几个简单模型求解；验证几个简单模型求解；n44对预测和确定参数实际问题对预测和确定参数实际问题,建立数学模型建立数学模型,并求解并求解.n经过该试验学习经过该试验学习,了解拟合几个经典应用了解拟合几个经典应用,深入了解数深入了解数学建模过程学建模过程.这对于学生深入了解数学概念这对于学生深入了解数学概念,掌握数学思掌握数学思维方法维方法,熟悉处理大量工程计算问题方法含有十分主要熟悉处理大量工程计算问题方法含有十分主要意义意义.第4页n一、实验目及意义n二、实验课时安排n三、实验步骤n四、实验要点分析n五、实验总结内容介绍内容介绍第5页n一、实验目及意义n二、实验课时安排n三、实验步骤n四、实验要点分析n五、实验总结内容介绍内容介绍第6页三、试验步骤三、试验步骤n1.建立一个自己文件夹建立一个自己文件夹;n2.开启软件平台开启软件平台-MATLAB，将你建立文件夹加入到，将你建立文件夹加入到MATLAB搜索路径中。搜索路径中。n3开启开启MATLAB编辑窗口编辑窗口,键入你编写键入你编写M文件（命令文文件（命令文件或函数文件）；件或函数文件）；n4保留文件（注意将文件存入你自己文件夹）并运行；保留文件（注意将文件存入你自己文件夹）并运行；n5若出现错误，修改、运行直到输出正确结果；若出现错误，修改、运行直到输出正确结果；n6写出试验汇报，并浅谈学习心得体会。写出试验汇报，并浅谈学习心得体会。第7页n一、实验目及意义n二、实验课时安排n三、实验步骤n四、实验要点分析n五、实验总结内容介绍内容介绍第8页曲线拟合提法曲线拟合提法已知一组（二维）数据，即平面上已知一组（二维）数据，即平面上 n个点个点（xi,yi)i=1,n,寻求一个函数（曲线）寻求一个函数（曲线）y=f(x),使使 f(x)在某种准则下与全部在某种准则下与全部数据点最为靠近，即曲线拟合得最好。数据点最为靠近，即曲线拟合得最好。+xyy=f(x)(xi,yi)i i 为点为点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)距离距离.四、试验关键点分析四、试验关键点分析第9页曲线拟合问题最惯用解法曲线拟合问题最惯用解法线性最小二乘法线性最小二乘法基本思绪基本思绪第一步第一步:先选定一组函数先选定一组函数 r1(x),r2(x),rm(x),mn,令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+amrm(x)（1）其中其中 a1,a2,am 为待定系数。为待定系数。第二步第二步:确定确定a1,a2,am 准则（最小二乘准则）：准则（最小二乘准则）：使使n个点个点（xi,yi)与与曲线曲线 y=f(x)距离距离 i 平方和最小平方和最小。记记问题归结为，求问题归结为，求 a1,a2,am 使使 J(a1,a2,am)最小。最小。第10页 简单举例说明：简单举例说明：我们用直线我们用直线a0+a1x拟合给定数据拟合给定数据:(xi,yi),i=1,2,m,把数据把数据 代入直线方程得：代入直线方程得：第11页线性最小二乘法求解：预备知识线性最小二乘法求解：预备知识超定方程组超定方程组：方程个数大于未知量个数方程组：方程个数大于未知量个数方程组即即 Ra=y其中其中超定方程普通是不存在解矛盾方程组。超定方程普通是不存在解矛盾方程组。假如有向量假如有向量a使得使得 到达最小，到达最小，则称则称a为上述为上述超定方程最小二乘解超定方程最小二乘解。第12页线性最小二乘法求解线性最小二乘法求解 定理：定理：当当R RT TR R可逆时，超定方程组（可逆时，超定方程组（3 3）存在最小二乘解，）存在最小二乘解，且即为方程组且即为方程组 R RT TRa=RRa=RT Ty y解：解：a=(Ra=(RT TR)R)-1-1R RT Ty y 所以，曲线拟合最小二乘法要处理问题，实际上就是求以所以，曲线拟合最小二乘法要处理问题，实际上就是求以下超定方程组最小二乘解问题。下超定方程组最小二乘解问题。其中其中Ra=y （3）第13页 设设 y*=a+bxi ，令令 i=yi-y*i=yi-a-bxi，依据最依据最小二乘原理，即使误差平方和到达最小，也就是令小二乘原理，即使误差平方和到达最小，也就是令 n Q=i2 i=1为最小为最小 ，即求使，即求使 有最小值有最小值a a和和b b值。值。第14页 给定数据给定数据(xi,yi),i=1,2,m.求拟合曲线求拟合曲线y*=a+b x,确定确定 a，b，使其均方误差使其均方误差 到达最小。由多元函数极值必要条件，上式到达极小，到达最小。由多元函数极值必要条件，上式到达极小，a,b满足满足两个二阶导数均大于零第15页 解之得解之得 a，b。代入代入 y*=a+b x,即得所求拟合曲线。即得所求拟合曲线。第16页线性最小二乘拟合线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+amrm(x)中函数中函数rr1 1(x),r(x),rm m(x)(x)选取选取 1.1.经过机理分析建立数学模型来确定经过机理分析建立数学模型来确定 f(x)f(x)；+f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2.2.将数据将数据 (xi,yi)i=1,n 作图，经过直观判断确定作图，经过直观判断确定 f(x)：第17页用用MATLAB解拟合问题解拟合问题1 1、线性最小二乘拟合、线性最小二乘拟合2 2、非线性最小二乘拟合、非线性最小二乘拟合3 3、cftool(cftool(自学自学)ployfitlsqcurvefitlsqnonlin第18页用用MATLAB作线性最小二乘拟合作线性最小二乘拟合1.1.作多项式作多项式f(x)=a1xm+amx+am+1拟合拟合,可利用已经有程序可利用已经有程序:a=polyfit(x,y,m)2.2.对超定方程组对超定方程组可得最小二乘意义下解。可得最小二乘意义下解。，用，用输出拟合多项式系数输出拟合多项式系数a=a1,am,am+1输入同长度输入同长度数组数组X，Y拟合多项拟合多项式次数式次数多项式在多项式在x处值处值y可用以下命令计算：可用以下命令计算：y=polyval（a，x）第19页即要求即要求 出二次多项式出二次多项式:中中 使得使得:例例1 对下面一组数据作二次多项式拟合对下面一组数据作二次多项式拟合第20页1）输入以下命令）输入以下命令：x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;R=(x.2)x ones(11,1)；A=RyMATLAB(zxec1)解法解法1 1用解超定方程方法用解超定方程方法2）计算结果）计算结果：=-9.8108 20.1293 -0.0317第21页1）输入以下命令：）输入以下命令：x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,k+,x,z,r)%作出数据点和拟合曲线图形作出数据点和拟合曲线图形2）计算结果：）计算结果：=-9.8108 20.1293 -0.0317解法解法2用多项式拟合命令用多项式拟合命令MATLAB(zxec2)第22页用用MATLAB作非线性最小二乘拟合作非线性最小二乘拟合 Matlab(Matlab(优化工具箱优化工具箱)提供了两个求非线性最小二提供了两个求非线性最小二乘拟合函数：乘拟合函数：lsqcurvefitlsqcurvefit和lsqnonlinlsqnonlin。两个命令都要先建立两个命令都要先建立M-M-文件文件定义函数定义函数，然后编写，然后编写主程序主程序M-M-文件求解非线性模型未知参数文件求解非线性模型未知参数 注意：注意：二者定义二者定义f(x)f(x)方式是不一样方式是不一样.第23页fun是一个事先建立定是一个事先建立定义函数义函数F(x,xdata)M-文文件件,输入变量为输入变量为x和和xdata格式：格式：x=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata);迭代初值迭代初值已知数据点已知数据点1.lsqcurvefit1.lsqcurvefit已知数据点数据点：xdata=xdata=（xdata1，xdata2，xdataxdatan n），），ydata=ydata=（ydataydata1 1，ydataydata2 2，ydataydatan n）求非线性模型求非线性模型 F F 未知参数未知参数x x 第24页格式：x=lsqnonlinlsqnonlin（fun，x0）；）；fun是一个事先建立定是一个事先建立定义函数义函数f(x)M-文件，文件，自自变量为变量为x迭代初值迭代初值2.lsqnonlin已知数据点数据点：xdata=xdata=（xdata1，xdata2，xdataxdatan n），），ydata=ydata=（ydataydata1 1，ydataydata2 2，ydataydatan n）求非线性模型求非线性模型 F F 未知参数未知参数x x 其中其中f（x）=F(x,xdata)-ydata使得使得 最小最小。第25页 例例2 用下面一组数据拟合用下面一组数据拟合 中参数中参数a，b，k.该问题即解最优化问题：该问题即解最优化问题：第26页MATLAB(curvefun1，fzxec1)1 1）编写）编写M-M-文件文件 curvefun1.m curvefun1.m function f=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中其中 x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）输入命令）输入命令tdata=100:100:1000tdata=100:100:1000cdata=cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;6.50,6.59;x0=0.2,0.05,0.05;x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqcurvefit(curvefun1,x0,tdata,cdata)x=lsqcurvefit(curvefun1,x0,tdata,cdata)f=f=curvefun1(x,tdata)F(x，tdata)=，x=(a，b，k)解法解法1 1.用命令用命令lsqcurvefitlsqcurvefit第27页f(x)=x=（a，b，k）1）编写编写M-M-文件文件 curvefun2.m curvefun2.m function f=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59;f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata2）输入命令）输入命令:x0=0.2,0.05,0.05;x=lsqnonlin(curvefun2,x0)f=curvefun2(x)函数函数curvefun2自变量是自变量是x，cdata和和tdata是已知数据，故应将是已知数据，故应将cdata，tdata值写在值写在curvefun2.m中中解法解法2 2.用命令用命令lsqnonlinlsqnonlinMATLAB(curvefun2，fzxec2)第28页课堂小结nx0赋值:注意单位/依据结果重新赋值nployfit(x,y,m)中x,y赋值：y换行要加n画图：非线性模型画出直线 非线性线性化后没有还原第29页请大家仔细阅读试验汇报请大家仔细阅读试验汇报 内容及要求，认真完成内容及要求，认真完成谢谢第30页