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廿一世紀數學展望廿一世紀數學展望丘成桐教授丘成桐教授浙江大学浙江大学哈佛大学哈佛大学六月二十五日六月二十五日第1页數學數學社會現象社會現象工程現象工程現象物理現象物理現象第2页社會現象社會現象經濟經濟金融金融保險保險估值估值病病歷歷調調查查生生物統計調查物統計調查城市規劃城市規劃人口流動人口流動人口調查人口調查民意調查民意調查文文獻獻整整理理歷歷史史研究研究訊訊息息科科學學網網絡絡科學科學第3页工程現象工程現象計算機科學，圖像識別，密碼問題計算機科學，圖像識別，密碼問題半導体，量子工程學，分子結構半導体，量子工程學，分子結構固体科學固体科學軟体結構軟体結構材料力學材料力學結構理論結構理論地質結構地質結構流体科學流体科學血液流問題血液流問題氣象科學氣象科學Fusion熱力學熱力學油管科學油管科學航空，航天航空，航天湍流問題湍流問題海洋海洋大氣大氣太空太空第4页物理現象物理現象弦理論弦理論量子多体問題量子多体問題多体問題多体問題古典力學古典力學電磁理論電磁理論廣義相對論廣義相對論量子力學量子力學量子場論量子場論基本粒子基本粒子統一場論統一場論第5页n n數學和工程科學乃是社會科學基礎數學和工程科學乃是社會科學基礎n n理論物理乃是工程科學基礎理論物理乃是工程科學基礎n n數學乃是理論物理基礎數學乃是理論物理基礎第6页人類科技愈進步愈能發現新現象人類科技愈進步愈能發現新現象種種繁複現象使人極度迷惘種種繁複現象使人極度迷惘(比如：湍流問題、黑洞問題比如：湍流問題、黑洞問題)不过主宰全部現象變化只是幾個小數基不过主宰全部現象變化只是幾個小數基本定律。本定律。Standard model(標準模型標準模型)統一了三個基本場：電磁場、弱力、強力統一了三個基本場：電磁場、弱力、強力不过重力場和這三個場還未統一不过重力場和這三個場還未統一第7页重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和重力場由廣義相對論描述，是狹義相對論和牛頓力學統一理論而形成。牛頓力學統一理論而形成。這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。這是愛因斯坦最富有想像力偉大創作。愛因斯坦方程是愛因斯坦方程是 其中其中 gij ij 是測度張量（引力場）是測度張量（引力場）Tij ij 是物質張量是物質張量 Rij ij 是是Ricci曲率張量曲率張量第8页弦理論企圖統一重力場和其它全部場。弦理論企圖統一重力場和其它全部場。在廿一世紀，基本數學會碰到同樣挑戰：在廿一世紀，基本數學會碰到同樣挑戰：基本數學大統一，只有在各門分支大統一基本數學大統一，只有在各門分支大統一時，全部分支才會放出燦爛火花。時，全部分支才會放出燦爛火花。每一門學問才會得到本質上瞭解。每一門學問才會得到本質上瞭解。第9页數學大統一將會比物理大統一來得基數學大統一將會比物理大統一來得基本，也將由統一場論孕育而出。本，也將由統一場論孕育而出。近代弦論發展已經成功將近代弦論發展已經成功將微分幾何微分幾何代數幾何代數幾何群表示理論群表示理論數論數論拓樸學拓樸學相當主要部份統一起來。數學已經由此得相當主要部份統一起來。數學已經由此得到豐富果實。到豐富果實。第10页 大自然提供了極為主要數學模型，以大自然提供了極為主要數學模型，以上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出上很多模型都是從物理直覺或從實驗觀察出來，不过數學家卻能够用自己想像，在來，不过數學家卻能够用自己想像，在觀察基礎上創造新結構。觀察基礎上創造新結構。成功新數學結構往往是幾代數學家成功新數學結構往往是幾代數學家共同努力得出结果，也往往是數學中幾共同努力得出结果，也往往是數學中幾個不一样分支合併出來火花。個不一样分支合併出來火花。Andrew Wiles 工作是工作是Elliptic curve 和和Automorphic form,Representation theory 大合併。大合併。第11页 幾何和數字幾何和數字(尤其是整數尤其是整數)可說是數學裏最可說是數學裏最直觀對象，所以在大統一中起着最要緊直觀對象，所以在大統一中起着最要緊作用。作用。廿世紀數論學家通過代數幾何方法廿世紀數論學家通過代數幾何方法已經將整數方程一部份與幾何結合，群表已經將整數方程一部份與幾何結合，群表示理論亦逐漸與數論和幾何學結合。示理論亦逐漸與數論和幾何學結合。每次進步都有結構性變化每次進步都有結構性變化,比如算術幾比如算術幾何產生。何產生。第12页 在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。在這廿年間，拓樸學和幾何已經融合。三維空間和四維空間研究非懂幾何不三維空間和四維空間研究非懂幾何不可。可。Thurston 猜測，是在三維空間上引用猜測，是在三維空間上引用幾何結構，這些創作新結構理論有劃時代幾何結構，這些創作新結構理論有劃時代主要性，正等如十九世紀引用主要性，正等如十九世紀引用Rieman surface概念一樣主要。概念一樣主要。第13页 分析和幾何亦逐漸融合，到当前為止，分析和幾何亦逐漸融合，到当前為止，微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出貢微分方程在複幾何和拓撲學上有傑出貢獻。通過分析方法，陳氏類，獻。通過分析方法，陳氏類，Hodge理論，理論，Atiyah-Singer指標定理和我們在復流型上搆指標定理和我們在復流型上搆造造Kahler-Einstein度量，在代數幾何中解決度量，在代數幾何中解決了主要問題。最近了主要問題。最近HamiltonRicci Flow通通過過Perelman工作可能解決工作可能解決Thurston猜猜想。想。第14页 在四維空間上，在四維空間上，Donaldson利用利用Taubes，Uhlenbeck規範場上存在性定理得到四維規範場上存在性定理得到四維拓撲突破。拓撲突破。上述工作和上述工作和Donaldson-Uhlenbeck-Yau在在Yang-Mills工作都與弦理論息息相關。工作都與弦理論息息相關。事實上弦理論提供了極為主要訊息，使事實上弦理論提供了極為主要訊息，使得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理得古典代數幾何得到新突破。我們期望弦理論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深論、代數幾何、幾何分析將會對四維拓撲有更深入暸解。入暸解。第15页 在二十一世纪数学里，三维双曲空间会变得在二十一世纪数学里，三维双曲空间会变得在二十一世纪数学里，三维双曲空间会变得在二十一世纪数学里，三维双曲空间会变得如黎曼曲面一样主要，数学会进入一个盡情享受如黎曼曲面一样主要，数学会进入一个盡情享受如黎曼曲面一样主要，数学会进入一个盡情享受如黎曼曲面一样主要，数学会进入一个盡情享受低维空间特殊性质局面，在代数几何上，二维、低维空间特殊性质局面，在代数几何上，二维、低维空间特殊性质局面，在代数几何上，二维、低维空间特殊性质局面，在代数几何上，二维、三维和四维流型将会有更彻底了解。三维和四维流型将会有更彻底了解。三维和四维流型将会有更彻底了解。三维和四维流型将会有更彻底了解。我们希望我们希望我们希望我们希望HodgeHodge猜测会得到圆满处理，从而猜测会得到圆满处理，从而猜测会得到圆满处理，从而猜测会得到圆满处理，从而得知一个拓扑子流型什么时候能够由代数子流型得知一个拓扑子流型什么时候能够由代数子流型得知一个拓扑子流型什么时候能够由代数子流型得知一个拓扑子流型什么时候能够由代数子流型来表示。一样问题也适合用于来表示。一样问题也适合用于来表示。一样问题也适合用于来表示。一样问题也适合用于Vector burdleVector burdle上。上。上。上。由弦理论得到启示，有些特殊子流形或可代替换由弦理论得到启示，有些特殊子流形或可代替换由弦理论得到启示，有些特殊子流形或可代替换由弦理论得到启示，有些特殊子流形或可代替换数流型。数流型。数流型。数流型。第16页 現在舉一個理論物理，數學和應用科學現在舉一個理論物理，數學和應用科學上共同而主要問題：上共同而主要問題：基本物理上基本物理上Hierachy問題，是一個問題，是一個Scale問題。問題。引力場和其它力場引力場和其它力場Scale相差極遠，相差極遠，怎样統一，怎样解釋？怎样統一，怎样解釋？在古典物理，微分方程，微分幾何和各在古典物理，微分方程，微分幾何和各類分析中亦有不一样類分析中亦有不一样Scale 怎样融合問題。怎样融合問題。在統計物理和高能物理中，用到所謂在統計物理和高能物理中，用到所謂renormalization group方法，是非穩定方法，是非穩定系統一個主要工具。系統一個主要工具。第17页 怎样用基本方法去處理不一样怎样用基本方法去處理不一样Scale 是應是應用數學中一個主要問題。用數學中一個主要問題。純數學將會是處理不一样度量主要工純數學將會是處理不一样度量主要工具。而事實上，純數學本身亦有不一样度量具。而事實上，純數學本身亦有不一样度量問題。問題。在微分方程，或微分幾何碰到奇異點或在微分方程，或微分幾何碰到奇異點或在研究漸近分析時，在研究漸近分析時，Blowing up 分析是一個分析是一個很主要工具，而這種很主要工具，而這種Blowing up工具亦工具亦是代數幾何中最有效工具。是代數幾何中最有效工具。第18页 在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定在非綫性微分方程中，我們需要更進一步做定性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由性和定量分析來研究由Blowing upBlowing up得出来結得出来結得出来結得出来結果，所以對不一样果，所以對不一样果，所以對不一样果，所以對不一样scalescale量得到進一步認識。量得到進一步認識。量得到進一步認識。量得到進一步認識。微分幾何張量分析微分幾何張量分析微分幾何張量分析微分幾何張量分析 (曲率張量曲率張量曲率張量曲率張量)在在在在multiscalemultiscale分分分分析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，有析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，有析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，有析中應該會有主要應用，因為即使在同一點上，有不一样方向變化，而此種變化亦應當受到不一样方向變化，而此種變化亦應當受到不一样方向變化，而此種變化亦應當受到不一样方向變化，而此種變化亦應當受到scalescale影影影影响。响。响。响。當一個圖當一個圖當一個圖當一個圖 (graph)(graph)迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程迫近一個幾何圖形或微分方程解時，解時，解時，解時，multiscalemultiscale 分析極為主要，怎样解決這些問分析極為主要，怎样解決這些問分析極為主要，怎样解決這些問分析極為主要，怎样解決這些問題無論在純數學和應用數學都是主要問題，我希望題無論在純數學和應用數學都是主要問題，我希望題無論在純數學和應用數學都是主要問題，我希望題無論在純數學和應用數學都是主要問題，我希望研究離散數學學者亦注意到這一點。研究離散數學學者亦注意到這一點。研究離散數學學者亦注意到這一點。研究離散數學學者亦注意到這一點。第19页近代弦論發現有不一样量子場論能够相互近代弦論發現有不一样量子場論能够相互同構同構(isomorphic)然而然而scale 剛好相反剛好相反所以一個強所以一個強 Coupling Constant理論可理論可以同另一個弱以同另一個弱Coupling Constant理論理論同構，而後者能够從漸近分析理論來計同構，而後者能够從漸近分析理論來計算。算。第20页 由於由於R R 這種奇妙對稱能够保持量子這種奇妙對稱能够保持量子場論結構，使得我們能够用擾動性場論結構，使得我們能够用擾動性（perturbation analysisperturbation analysis）方法去計算非擾）方法去計算非擾動場論，在數學上得到驚人結果。動場論，在數學上得到驚人結果。更要注意到一點是時空結構可能所以有更要注意到一點是時空結構可能所以有基本上觀念改變。極小空間不再有意義。時空基本上觀念改變。極小空間不再有意義。時空量子化描述需要更進一步探討。物理學家和幾量子化描述需要更進一步探討。物理學家和幾何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這何學家都希望能夠找尋一個幾何結構來描述這個量子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來個量子化空間。有不少學者建議用矩陣模式來解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美解釋這種現象，雖然未能達到目標但已得到美妙數學現象。妙數學現象。第21页 約在兩百年前，約在兩百年前，GaussGauss發現發現GaussGauss曲率觀曲率觀念而了解到內蘊幾何時，就感歎到空間觀念與念而了解到內蘊幾何時，就感歎到空間觀念與時而變，和人類對大自然瞭解有亲密關係。時而變，和人類對大自然瞭解有亲密關係。這二十年來，超對稱觀念深深地影響著這二十年來，超對稱觀念深深地影響著基本物理和數學發展，在實驗上雖然还未發現基本物理和數學發展，在實驗上雖然还未發現超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝能力，超對稱，但在數學上卻起著凝聚各門分枝能力，我們寧可相信在極高能量時，超對稱確實存在，我們寧可相信在極高能量時，超對稱確實存在，但怎样对待超對稱在現實時空中殘餘，應當會但怎样对待超對稱在現實時空中殘餘，應當會是現代應用物理和應用數學一個主要命題。是現代應用物理和應用數學一個主要命題。第22页 舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁舉例來說，在超對稱結構中，規範場和電磁場會與完全不相關子流形理論同構，是否意味著場會與完全不相關子流形理論同構，是否意味著場會與完全不相關子流形理論同構，是否意味著場會與完全不相關子流形理論同構，是否意味著這種日常能見場論能够用不一样手法來處理？這種日常能見場論能够用不一样手法來處理？這種日常能見場論能够用不一样手法來處理？這種日常能見場論能够用不一样手法來處理？種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示種種不一样現象顯示，弦論、幾何、群表示理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂理論逐漸會與算術幾何靠近。在所謂ArakelovArakelovArakelovArakelov理理理理論中，除了在複數上定義代數空間外，還需要考論中，除了在複數上定義代數空間外，還需要考論中，除了在複數上定義代數空間外，還需要考論中，除了在複數上定義代數空間外，還需要考慮特微為慮特微為慮特微為慮特微為p p p p代數空間，才能夠對算術空間有完滿瞭代數空間，才能夠對算術空間有完滿瞭代數空間，才能夠對算術空間有完滿瞭代數空間，才能夠對算術空間有完滿瞭解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題解，是否表示它們能夠幫助我們瞭解現實界問題？由此观之，数论上？由此观之，数论上？由此观之，数论上？由此观之，数论上L L L L函数和函数和函数和函数和Birch-Swinnerton-Birch-Swinnerton-Birch-Swinnerton-Birch-Swinnerton-DyerDyerDyerDyer猜测有没有其它解释？猜测有没有其它解释？猜测有没有其它解释？猜测有没有其它解释？现在用一个简单例子来解释上述现在用一个简单例子来解释上述现在用一个简单例子来解释上述现在用一个简单例子来解释上述dualitydualitydualityduality现象。现象。现象。现象。第23页例子：例子：Laplace 算子算子 我們要求我們要求 在在 上定義，上定義，第24页Zn是一個是一個 lattice Rn 而而 l 必定要在這個必定要在這個lattice 對偶中對偶中(Zn)*對偶是對偶是 這個對偶在弦論中起相當重要作用。這個對偶在弦論中起相當重要作用。在在 Fourier 分析和數論中也已得主要發揮。分析和數論中也已得主要發揮。第25页 在在 L2(T)上譜上譜(Spectrum)是是 它譜分解全部能够算出它譜分解全部能够算出假如假如 f：R R 則則 假如我們有辦法用分析方法算出假如我們有辦法用分析方法算出 f()，則可，則可以得到以得到 trace formula第26页舉例來說舉例來說 f(x)=exp(tx)exp(t)核函數能够算出為核函數能够算出為 所以所以第27页Poisson formula：數論上基本公式！數論上基本公式！Trace formula Automorphic form 群表示理論群表示理論,數論數論第28页這個這個Torus對偶正是弦理論對偶基礎，現對偶正是弦理論對偶基礎，現代數論一個最主要環節叫代數論一個最主要環節叫Langlands理論，理論，也有對偶問題，與代也有對偶問題，與代數幾何和表示理論有亲密關係。希望能數幾何和表示理論有亲密關係。希望能夠與這一系列想法也掛鈎。夠與這一系列想法也掛鈎。第29页Symmetry(Symmetry(對稱對稱對稱對稱)群觀念群觀念群觀念群觀念小群：小群：小群：小群：如鏡對稱如鏡對稱如鏡對稱如鏡對稱 如雪花對稱如雪花對稱如雪花對稱如雪花對稱連續群連續群連續群連續群 (李群李群李群李群)：物理上用途物理上用途物理上用途物理上用途非緊離散群：非緊離散群：非緊離散群：非緊離散群：在數論和幾何上用途在數論和幾何上用途在數論和幾何上用途在數論和幾何上用途無限維對稱：無限維對稱：無限維對稱：無限維對稱：規範場中規範群規範場中規範群規範場中規範群規範場中規範群種種不一样對稱觀唸種種不一样對稱觀唸種種不一样對稱觀唸種種不一样對稱觀唸在廿世紀後半期理論科學有基本貢在廿世紀後半期理論科學有基本貢在廿世紀後半期理論科學有基本貢在廿世紀後半期理論科學有基本貢獻。獻。獻。獻。DulalityDulality 比比比比 Symmetry Symmetry 更廣義，不一样理論基本同構將是廿更廣義，不一样理論基本同構將是廿更廣義，不一样理論基本同構將是廿更廣義，不一样理論基本同構將是廿一世紀一個主要命題。一世紀一個主要命題。一世紀一個主要命題。一世紀一個主要命題。第30页 對稱觀念可說是基本科學中最基本工具，對稱觀念可說是基本科學中最基本工具，對稱觀念可說是基本科學中最基本工具，對稱觀念可說是基本科學中最基本工具，不过不过不过不过 運用之妙運用之妙運用之妙運用之妙存乎一心存乎一心存乎一心存乎一心在于作者經驗和直觀。在于作者經驗和直觀。在于作者經驗和直觀。在于作者經驗和直觀。廿一世紀基本科學基本命題：怎样將對稱廿一世紀基本科學基本命題：怎样將對稱廿一世紀基本科學基本命題：怎样將對稱廿一世紀基本科學基本命題：怎样將對稱物理基本現象與非對稱世界聯合？物理基本現象與非對稱世界聯合？物理基本現象與非對稱世界聯合？物理基本現象與非對稱世界聯合？Symmetry breakingSymmetry breaking眾生色相眾生色相眾生色相眾生色相 何由而生？何由而生？何由而生？何由而生？基本物理定律是基本物理定律是基本物理定律是基本物理定律是Time SymmetricTime Symmetric，為何我，為何我，為何我，為何我們擔憂時光消逝？因为直觀世界是們擔憂時光消逝？因为直觀世界是們擔憂時光消逝？因为直觀世界是們擔憂時光消逝？因为直觀世界是Time SymmetricTime Symmetric。由。由。由。由Time SymmetricTime Symmetric定律來解釋直觀世界是現定律來解釋直觀世界是現定律來解釋直觀世界是現定律來解釋直觀世界是現代數學和物理一個主要問題。代數學和物理一個主要問題。代數學和物理一個主要問題。代數學和物理一個主要問題。第31页熱力第二基本定理說熱力第二基本定理說熱力第二基本定理說熱力第二基本定理說Randomness Randomness 隨時間而增隨時間而增隨時間而增隨時間而增 Entropy increase with timeEntropy increase with time 這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底這是一個奇妙定理，到如今還未得到徹底瞭解。瞭解。瞭解。瞭解。時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題時間箭咀在廣義相對論中是一個主要題目。目。目。目。Roger Penrose Roger Penrose 和和和和 HawkingHawking都花了很多時間討都花了很多時間討都花了很多時間討都花了很多時間討論。這是因為論。這是因為論。這是因為論。這是因為EinsteinEinstein方程對時間來說是對稱，然方程對時間來說是對稱，然方程對時間來說是對稱，然方程對時間來說是對稱，然而在現實世界，時間是不對稱。而在現實世界，時間是不對稱。而在現實世界，時間是不對稱。而在現實世界，時間是不對稱。熵研究在現代物理和現代數學都起了極重熵研究在現代物理和現代數學都起了極重熵研究在現代物理和現代數學都起了極重熵研究在現代物理和現代數學都起了極重要作用。要作用。要作用。要作用。第32页 湍流問題，將是其中一個例子。湍流問題，將是其中一個例子。湍流問題，將是其中一個例子。湍流問題，將是其中一個例子。流体力学中奇异点和流体力学中奇异点和流体力学中奇异点和流体力学中奇异点和boundaryboundary layer layer 都需要都需要都需要都需要大量理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解大量理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解大量理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解大量理论投入，需不需要引力场方程来帮忙解释。释。释。释。在某種意義下，基本方程式或基本物理現在某種意義下，基本方程式或基本物理現在某種意義下，基本方程式或基本物理現在某種意義下，基本方程式或基本物理現象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産生，同時起着無比主要性。生，同時起着無比主要性。生，同時起着無比主要性。生，同時起着無比主要性。波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一切分析和應用數學精華。切分析和應用數學精華。切分析和應用數學精華。切分析和應用數學精華。第33页 Superposition是線性方程特微，在研究是線性方程特微，在研究非線性非線性integrable方程時，也由非線性方程時，也由非線性Superposition，普通而言，我們有沒有辦法，普通而言，我們有沒有辦法由少數解來產生新解是一個主要問題。非線由少數解來產生新解是一個主要問題。非線性現象是二十一世紀研究物件。性現象是二十一世紀研究物件。第34页 由由Stationary物理現象到物理現象到Dynamical物理物理現象，我們會碰到極為困扰而又刺激數學現象，我們會碰到極為困扰而又刺激數學問題。在方程觀點來說，橢圓方程過渡到問題。在方程觀點來說，橢圓方程過渡到拋物型，到双曲型到混合型方程組，有極拋物型，到双曲型到混合型方程組，有極度睏難奇異點處理問題，在物理上有震波度睏難奇異點處理問題，在物理上有震波處理問題，既要研究估值，又要研究物理處理問題，既要研究估值，又要研究物理意義，又希望大型計算機能夠幫忙。意義，又希望大型計算機能夠幫忙。第35页 高維空間非綫性波和各種物理幾何關高維空間非綫性波和各種物理幾何關繫將會影響這幾十年應用數學，其中有孤繫將會影響這幾十年應用數學，其中有孤立子現象，有震波現象，多種粒子在非綫立子現象，有震波現象，多種粒子在非綫性互動時得出宏觀現象，方程帶有隨機變性互動時得出宏觀現象，方程帶有隨機變數時處理將會是應用數學主要題目。數時處理將會是應用數學主要題目。很多古典方法或近代物理方法應當能够很多古典方法或近代物理方法應當能够應用到離散問題上去。大型網絡極為復雜，應用到離散問題上去。大型網絡極為復雜，怎样有傚傳播訊息，怎样尋找資料，提供怎样有傚傳播訊息，怎样尋找資料，提供暸數學極有意義問題。暸數學極有意義問題。第36页 圖像處理和計算幾何更是一個電腦、圖像處理和計算幾何更是一個電腦、幾何、組合數學結合好地方，在醫學上有幾何、組合數學結合好地方，在醫學上有主要貢獻，自動控製論和上述種種應用都主要貢獻，自動控製論和上述種種應用都會結合，要得到最有傚用途需要數學傢亲會結合，要得到最有傚用途需要數學傢亲密合作。密合作。第37页 在某種意義下，基本方程式或基本在某種意義下，基本方程式或基本物理現象，用數學形式表達出來時，是用等物理現象，用數學形式表達出來時，是用等式來表達。式來表達。但往往在澈底研究這種等式以前，不等但往往在澈底研究這種等式以前，不等式會産生，同時起着無比主要性。式會産生，同時起着無比主要性。波浪重疊，最後產生能够是極為光波浪重疊，最後產生能够是極為光滑波。怎样控制這種現象要依靠好不等滑波。怎样控制這種現象要依靠好不等式。也是一切分析和應用數學精華。式。也是一切分析和應用數學精華。第38页研究研究應用數學方法應用數學方法 Modeling實驗實驗數字計算，統計數字計算，統計物理物理應用需要應用需要分析分析純數學，方程，統計純數學，方程，統計物理，化學，生物物理，化學，生物理論理論應用應用第39页 當微分方程和幾何和組合數學，真正大當微分方程和幾何和組合數學，真正大統一時，應用數學會有大進步。統一時，應用數學會有大進步。有宏大胸襟數學家會在前進途徑上創有宏大胸襟數學家會在前進途徑上創造新結構來因應這個統一使命，來瞭解造新結構來因應這個統一使命，來瞭解不一样數學分枝。不一样數學分枝。第40页數學在工業上應用數學在工業上應用工業問題，科學觀察實驗工業問題，科學觀察實驗統計，分析處理統計，分析處理理論，模型理論，模型計算，程序計算，程序應用應用預測預測控制控制優化優化仿真仿真設計設計第41页 單靠程序和計算數學即使有短暫生單靠程序和計算數學即使有短暫生長力量，不會有深遠影响。長力量，不會有深遠影响。怎样解釋由計算得出來現象，怎样與怎样解釋由計算得出來現象，怎样與物理和工程現象相吻合，怎样利用計算結物理和工程現象相吻合，怎样利用計算結果作有意義預測，乃是計算數學目標。果作有意義預測，乃是計算數學目標。所以理想應用數學家，應該有數學家根所以理想應用數學家，應該有數學家根基，有物理學家和工程學家眼光和觸角。基，有物理學家和工程學家眼光和觸角。第42页數學提供應用數學幾個主要工具數學提供應用數學幾個主要工具概率，隨機分析概率，隨機分析組合理論組合理論代數代數(Coding理論理論)幾何幾何(圖像處理，壓縮圖像處理，壓縮)分析分析微分方程微分方程調和分析，調和分析，Fourier分析分析小波分析小波分析動力系統動力系統第43页 由於應用科學產生，全部連續性數由於應用科學產生，全部連續性數學理論或存在性定理，都有定量迫近問學理論或存在性定理，都有定量迫近問題，所以產生很多有意義新數學。題，所以產生很多有意義新數學。物理，生物，化學，工程將會提供大量物理，生物，化學，工程將會提供大量有意義問題和新觀念。有意義問題和新觀念。好應用數學家需要融合各種科學，好應用數學家需要融合各種科學，經費不是唯一問題！經費不是唯一問題！第44页 七零年代，七零年代，應用數學家堅持分家，這是應用數學家堅持分家，這是由於聘請教授觀點不一样和經費收入不一样由於聘請教授觀點不一样和經費收入不一样所所致毛病。致毛病。分家結果：分家結果：1、數數學學家家比比較較重重视视純純科科學學命命題題，尤尤其其理理論論物物理理提提供供了了豐豐富富題題材材和和方方法法，給給予予數數學學新新生生命命，雖雖然然搞搞分分析析數數學學和和組組合合數數學學教教授授也也接接觸觸應應用用數數學學，不不过过接接觸觸並並非非全全方方面面性性，用用時往往缺乏應用能力，相反交流也不多。時往往缺乏應用能力，相反交流也不多。第45页在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都在四零年代，五零年代培養出來應用數學家大都是一流數學家是一流數學家是一流數學家是一流數學家Von NeumannVon Neumann C.C.Lin C.C.Lin CourantCourant Federich Federich StokerStoker Glimm Glimm LaxLax Keller Keller MoserMoser第46页主要發展應用數學美，研究所為n nCourant Instututen nM.I.T.n nCaltech.n nStanfordn nBerkeley，Yale第47页2、應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳應用數學家則極力提倡應用，認為很多傳統數學訓練是无须要。統數學訓練是无须要。在工業在工業 尤其是電尤其是電腦工業腦工業和金融企業引誘下，急進猛追，結和金融企業引誘下，急進猛追，結果優秀學生捨本逐利，年青應用數學隊伍果優秀學生捨本逐利，年青應用數學隊伍很難建立起來。很難建立起來。第48页分析分析微分方程微分方程 數學數學 幾何幾何代數幾何代數幾何數論數論組合數學組合數學統計統計第49页 統計物理統計物理物理學物理學 古典力學古典力學 量子物理量子物理 廣義相對論廣義相對論n n計算數學計算數學n n工業界顧問工業界顧問第50页時空統一頌時空統一頌時乎時乎時乎時乎逝何如此逝何如此物乎物乎物乎物乎繁何如斯繁何如斯弱水三千弱水三千豈非同源豈非同源時空一体時空一体心物互存心物互存時兮時兮時兮時兮時不再嶼時不再嶼天兮天兮天兮天兮天何多容天何多容亙古恒遷亙古恒遷黑洞融融黑洞融融時空一体時空一体其無盡耶其無盡耶大哉大哉大哉大哉宇宙之謎宇宙之謎美哉美哉美哉美哉真理之源真理之源時空量化時空量化智者無何智者無何管測大塊管測大塊學也洋洋學也洋洋第51页Thank You All!第52页
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