现代控制理论习题解答(第一章).doc

第三部分 现代控制理论习题详解 第一章 控制系统的状态空间描述
第一章 控制系统的状态空间描述

3-1-1 求图示网络的状态空间表达式，选取和为状态变量。
（1）

题3-1-1图1
(2）

题3-1-1图2
【解】：
(1)
设状态变量:、
而
、
根据基尔霍夫定律得：

整理得

(2)
设状态变量：、
而

根据基尔霍夫定律得：

整理得

3-1-2 如图所示电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压输出为电动机角速度ω，电动机轴上阻尼系数为f，转动惯量J，试列写状态方程和输出方程。

题3-1-2图
【解】：
设状态变量为：

其中为流过电感上的电流，电动机轴上的角速度。
电动机电枢回路的电压方程为：

为电动机反电势。
电动机力矩平衡方程为

由电磁力矩和反电势的关系，有
，
式中为电动机反电势系数，为电动机的转矩系数。
为电动机轴上粘性摩擦系数，电动机轴上等效转动惯量。
整理得

(注：解是非唯一的)

3-1-3 试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。
（1）

题3-1-3图1
（2）

题3-1-3图2
【解】：
(1)
如题3-1-3图3设状态变量

题3-1-3图3

写成矩阵的形式得：

（2）
如图题3-1-3图4设状态变量

题3-1-3图4

写成矩阵的形式得：

(注：此题解并非唯一的)

3-1-4 已知系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。
(1)
(2)
(3)
(4)
【解】：
在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间表达式。
此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。
（1）传递函数为：

状态空间表达式为：

（2）传递函数为：

状态空间表达式为：

（3）传递函数为：

状态空间表达式为：

（4）传递函数为：

状态空间表达式为：

3-1-5 已知系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。
（1）（2）
（3）（4）
【解】：
此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。
（1）

结构图如图题3-1-5图1所示

题3-1-5图1
（2）

结构图如图题3-1-5图2（a）所示

题3-1-5图2(a)
或有

结构图如图题3-1-5图2（b）所示

题3-1-5图2(b)
（3）

结构图如图题3-1-5图3所示

题3-1-5图3
（4）

结构图如图题3-1-5图4所示

题3-1-5图4
3-1-6 将下列状态方程化成对角标准型。
（1）
（2）
（3）
【解】：
（1）
特征方程为：
。
特征值为：

系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为范德蒙矩阵。
变换阵：

线性变换后的状态方程为：

（2）
特征方程为:

特征值为：
。
设变换阵：P=
由得
当时，取
当时，取
当时，取
变换阵：
，
线性变换后的状态方程为：

（3）
特征方程为：
。
特征值为：
。
系统矩阵为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵为：

线性变换后的状态空间表达式为：

3-1-7 将下列状态方程化成约旦标准型。
（1）
（2）
（3）
【解】：
（1）
特征方程为：

特征值为：
。
设变换阵：
由得：
当时，取
当时，取
，

线性变换后的状态空间表达式为：

（2）
特征方程为：

特征值为：。
设变换阵：

当时，由得：，取
当时，由得：，取
当时，由得：，取
变换阵：
，
线性变换后的状态空间表达式为：

（3）
特征方程为：
。
特征值为：
。
系统矩阵为友矩阵，且特征值有重根，因此可以化为约当标准型，其变换矩阵为：

，，
变换阵：
，
线性变换后的状态空间表达式为：

3-1-8 已知状态空间表达式，
（1）试用进行线性变换，变换矩阵求变换后的状态空间表达式。
（2）试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。
【解】：
（1）

（2）证明：
变换后的系统矩阵为，输入矩阵为
特征值的不变性：

传递函数矩阵的不变性：

验证：
变换前的特征方程为：

变换后的特征方程为：

所以变换前后系统的特征值是不变的。
3-1-9 已知两个子系统的传递函数矩阵分别为
，，试求两子系统串联后和并联后的传递函数矩阵。
【解】：
（1） 串联
在前，在后时

在前，在后时

（2） 并联

3-1-10 已知离散系统的差分方程为
，求系统的状态空间表达式，并画出系统结构图。
【解】：
根据差分方程，在零初始条件下，方程两边Z变换，得到系统的脉冲传递函数为

其结构图如图题3-1-10图所示：

题3-1-10图
3-1-11 已知离散系统的状态空间表达式为，，求系统的脉冲传递函数。
【解】：

也可以直接写出。
3-1-12 已知系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。
（1）
（2）
【解】：
此题多解，一般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。
（1）

（2）

19