空间向量专题练习答案.doc

空间向量专题练习

一、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
1.平面α的法向量为（1，0，-1），平面β的法向量为（0，-1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为 ______ ．
【答案】
π3或2π3
【解析】
解：设平面α的法向量为m=（1，0，-1），平面β的法向量为n=（0，-1，1），
则cos＜m，n＞=1×0+0×(−1)+(−1)×12⋅2=-12，
∴＜m，n＞=2π3．
∵平面α与平面β所成的角与＜m，n＞相等或互补，
∴α与β所成的角为π3或2π3．
故答案为：π3或2π3．
利用法向量的夹角与二面角的关系即可得出．
本题考查了利用用法向量的夹角求二面角的方法，考查了计算能力，属于基础题．

2.平面α经过三点A（-1，0，1），B（1，1，2），C（2，-1，0），则平面α的法向量u可以是 ______ （写出一个即可）
【答案】
（0，1，-1）
【解析】
解：AB=（2，1，1），AC=（3，-1，-1），
设平面α的法向量u=（x，y，z），
则u⋅AB=2x+y+z=0u⋅AC=3x−y−z=0，令z=-1，y=1，x=0．
∴u=（0，1，-1）．
故答案为：（0，1，-1）．
设平面α的法向量u=（x，y，z），则u⋅AB=2x+y+z=0u⋅AC=3x−y−z=0，解出即可．
本题考查了线面垂直与数量积的关系、平面的法向量，属于基础题．

3.已知AB=（1，0，2），AC=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为 ______ ．
【答案】
（-2，3，1）
【解析】
解：AB=（1，0，2），AC=（2，1，1），
设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），
则n⋅AB=0n⋅AC=0，即x+2z=02x+y+z=0，取x=-2，则z=1，y=3．
∴n=（-2，3，1）．
故答案为：（-2，3，1）．
设平面ABC的法向量为n=（x，y，z），则n⋅AB=0n⋅AC=0，解出即可．
本题考查了平面的法向量、线面垂直与数量积的关系，属于基础题．

4.在三角形ABC中，A（1，-2，-1），B（0，-3，1），C（2，-2，1），若向量n与平面ABC垂直，且|n|=21，则n的坐标为 ______ ．
【答案】
（2，-4，-1）或（-2，4，1）
【解析】
解：设平面ABC的法向量为m=（x，y，z），
则m⋅AB=0，且m•AC=0，
∵AB=（-1，-1，2），AC=（1，0，2），
∴−x−y+2z=0x+2z=0，
即x=−2zy=4z，
令z=1，则x=-2，y=4，
即m=（-2，4，1），
若向量n与平面ABC垂直，
∴向量n∥m，
设n=λm=（-2λ，4λ，λ），
∵|n|=21，
∴21•|λ|=21，
即|λ|=1，
解得λ=±1，
∴n的坐标为（2，-4，-1）或（-2，4，1），
故答案为：（2，-4，-1）或（-2，4，1）
根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．
本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．

二、解答题(本大题共3小题，共36.0分)
5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=13PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

【答案】
解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，
又∵AD⊂平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立如图所求的空间直角坐标系，
由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），
P（0，0，3），B（0，3，0），C（-2，3，0）
∴QM=23QP+13QC=（-23，33，233），
设n1是平面MBQ的一个法向量，则n1⋅QM=0，n1⋅QB=0，
∴3y=0−23x+33y+233z=0，∴n1=(3，0，1)，
又∵n2=(0，0，1)平面BQC的一个法向量，
∴cos＜n1，n2＞=12，
∴二面角M-BQ-C的大小是60°．
【解析】
（1）由题设条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．
本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上．
（1）若EF⊥PA，求PFPA的值；
（2）求二面角P-BD-E的大小．

【答案】
解：（1）∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵PD=DC=2，点E是PC的中点，F在直线PA上，
∴P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），E（0，1，1），
设F（a，0，c），PF=λPA，则（a，0，c-2）=λ（2，0，-2）=（2λ，0，-2λ），
∴a=2λ，c=2-2λ，F（2λ，0，2-2λ），
EF=（2λ，-1，1-2λ），PA=（2，0，-2），
∵EF⊥PA，∴EF⋅PA=4λ-2+4λ=0，解得λ=14，
∴PFPA=14．
（2）P（0，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），E（0，1，1），
DP=（0，0，2），DB=（2，2，0），DE=（0，1，1），
设平面BDP的法向量n=（x，y，z），
则n⋅DB=2x+2y=0n⋅DP=2z=0，取x=1，得n=（1，-1，0），
设平面BDE的法向量m=（x，y，z），
则m⋅DB=2x+2y=0m⋅DE=y+z=0，取x=1，得m=（1，-1，1），
设二面角P-BD-E的大小为θ，
则cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=22⋅3=63．
∴二面角P-BD-E的大小为arccos63．
【解析】
（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PFPA的值．
（2）求出平面BDP的法向量和设平面BDE的法向量，由此能求出二面角P-BD-E的大小．
本题考查线段比值的求法，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．

7.如图所示的几何体是由棱台ABC-A1B1C1和棱锥D-AA1C1C拼接而成的组合体，其底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD=60°，BB1⊥平面ABCD，BB1=2A1B1=2．
（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BB1D；
（Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的余弦值．

【答案】
（Ⅰ）证明：∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC，
∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
又BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1D，
∵AC⊂平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BB1D；
（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．
则B(0，−1，0)，D(0，1，0)，B1(0，−1，2)，A(3，0，0)，A1(32，−12，2)，C1(−32，−12，2)，
∴BA1=(32，12，2)，BD=(0，2，0)，BC1=(−32，12，2)．
设平面A1BD的法向量n=(x，y，z)，
由n⋅BA1=32x+12y+2z=0n⋅BD=2y=0，取z=3，得n=(−4，0，3)，
设平面DCF的法向量m=(x，y，z)，
由m⋅BD=2y=0m⋅BC1=−32x+12y+2=0，取z=3，得m=(4，0，3)．
设二面角A1-BD-C1为θ，
则cosθ=|m⋅n||m||n|=1319．
【解析】
（Ⅰ）由BB1⊥平面ABCD，得BB1⊥AC，再由ABCD是菱形，得BD⊥AC，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BB1D，进一步得到平面AB1C⊥平面BB1D；
（Ⅱ）设BD、AC交于点O，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OD为y轴，建立如图所示空间直角坐标系．求出所用点的坐标，得到平面A1BD与平面DCF的法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A1-BD-C1的余弦值．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．