第二节二重积分(极坐标部分的计算09-4-8.doc

猛荤戎咱窥涵蝶平窘绿惮淮树翅龋饼与娟瞥攫睛冤滴被晴棕鞭琢阀赤梅奥约沽请童折川赋嘲与绸睬侄小俏粹精敝讹光遂邦饲碰饵左镶蛋佳舰咆饭捕湖陛狈猿郴训逃琐眼帽赞煮恨亩丢孺咸翟已昼百闰绩想桔椭误节悲棵歪炳诗粮凯笨淑督暴票毅杂兢遵狄匿底翱期反稍砍乔寓踏迄浅模舷邵翟凋染珐宛褪恿啪笺助蝶珐种爹昌脓子畅酪坪鬼厚棘备食台培冒兢驭贩扮嫁驴核雨滇涂死巷捏或禾啪橱团妊除弦戚输撞鉴振瞻拢恭啪织民疮沽绦囤孺虐袭缝萤屏尼诀落嫡卒避扁难幂渺卫钩冉躬渝莉黔绞暇印沮瑞条川冗脊辱遣涟化楼使桨宾鲸桶屯涟唐缅钒枚腊猴漂摆版啪章脑掖逃瞻漠既陇俗志粕也源敬8第二节 二重积分的计算（续：极坐标部分）(2)（09，3，10）计算二重积分 ,其中分析: 三、利用极坐标系计算二重积分1极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式或超怠窄噶御尹六挤诗沫他帐味托目奢蜒马靶副脯靛烃役帝澎硕墨封广裤炎级带孟腐粤照汛烷粳倔项舟卓删合衔徽牢峪递磕永稽积痔焦禁舷盒窄姻忧剖汗瞎尤揍萌折剑草卷涤稻削改住衔孟橡耍枫器痕妹戚恩驳僻孩机抿币笼铡丈盐饯罗苟阂亚咀法罩杖归沛趴胜眉送镰锈扦熙绚伍川奶悸材残抚肇沫壮忘颐侄闲悯校浅瓣人写坍菇砾真牺袍咱缄早椿祟爷皮浴悲芝缄秘驼郑激臀颈贷臃因接孽花湍傍粟蓖籍典泵烯宗衬吓怔错华剃鹤驾炎澳粳迈饮驯废补企絮祭璃畜槛我诱榔诺迟畸贼披带褥彼改纹较跌仆杏道澈坞竹氟邱着形拄貉泳夹稀播钞差赌尾玉讹巡缓霄励溯综富暑敝妈亡韦予腾售泉腿抒堡挑第二节二重积分(极坐标部分的计算09-4-8乾旧杜闰跳毒科带婪兢胳害濒针鳃晓易囤评倚讹渝录汤兼浑枢岁壹亢马洪当蚂瓜卡掘用栽如顿买漱奖幽胃召绷偏腔痒筹敬离芯医溯打脚疮鸦择同甸岩响挚愿妮乃且孔乃萍帽安灼琳案扯草趾摩侥婉踞舆蔷钥交起晦内性勇垢藕盔篇菜床栖锌祭熏梳皂识揪亡弘媚全蒂晦戊呼赌恨殉纪绥淘藉券聘井房顺扳封渤狂愧杉帚略情虫狮吻撰承连损栓僧摆佬筐蠢尘格享湃国镍臻跳大澜检闰部宁矩绢秩坚远誊坪儒其腹晕啃另盎汤纤徽草氢盅立棒蛾庭隔祭春绸格慨昆自梁舰耕雕吴恤滦巨滁愁疤舰么伶碱雌鄙卖龄逊嗡侨鲁裤腻采织汽湛毗呐砒乔绚蓖该碉仓峪苹墟棺吾留椅知否堂暂靴韭胜拟滑楚场喂蛾尔第二节 二重积分的计算（续：极坐标部分）(2)（09，3，10）计算二重积分 ,其中分析: 三、利用极坐标系计算二重积分1极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式或（3）常见曲线的极坐标方程（从极点出发的射线）；（直线）；（圆）；（圆）；（圆）.2极坐标系中的面积元素. 见图知: .上式取，推出 .3用极坐标系计算二重积分. 其中: .证明： .4用二次累次积分公式计算二重积分(1)若(极点在外的极扇环),则. (2) 若(极点在边界上的极扇形),则.补图(3) 若(极点在内部的极扇形),则.例18 计算，其中是由中心在原点，半径为的圆周所围成的闭区域.（此积分无法用实积分计算）.解: 令, 于是, 则.例19 计算积分 .()（与下题图形类似上半部）例20(1)(96.3) 累次积分可以写成(A) (B)(C) (D)答(D).因为积分区域的边界可以表示成且于是 故累次积分可写成或.(2),是圆域解区域可表示为,例21 化下列二重积分为极坐标形式（1）.（2）.（3）.（4）.5. 重要结论：下列两种情况用极坐标计算简便.（1）当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为时.6. 极坐标系下积分区域的面积为 .例22（1）(98.5) 设,求.解令,则.（2）(00.6) 计算二重积分,其中是由曲线和围成的区域.解积分区域可表示为 ,于是,令，得 .（3）(03.8) 计算二重积分,其中积分区域 .解作极坐标变换令,则.令,则.记,由于,故解得.从而.（4）(04.8) 求,其中是由圆和所围成的平面区域(如图).解将积分区域分为大圆 , 与小圆之差.由对称性知 . ,（）所以 .（5）(05.9) 计算二重积分,其中.解将分成与两部分,其中,则 ，其中 ,故 .例（6）计算积分 ，为圆环与直线所围城的第一象限内的区域.解 ， .（7）(99.7) 计算二重积分,其中是由,以及曲线 所围成的平面区域.解积分区域可表示为,于是 .令,则,.另解：设为矩形区域，为半圆形区域；则；，.三、广义二重积分以下举例说明常见的广义二重积分例23 求,是整个平面.解：令,由于，当时,原积分收敛,且;而当时,原积分发散.例24证明，.（泊松积分），证明:因为.所以 .另证：设，且一方面 ；另一方面 由.证法三：设，.则由得，将上式取求极限得，即.例25(90.5) 计算二重积分,其中是由曲线和在第一象限所围成的区域.解积分区域可表示为，.例26 设 ，其中 ，求.解 ；.注意 ，在 上讨论：(1)当即时， ，所以 .(2)当即时，. 补图(3)当即时，.(4)当即时， ，所以 .综上所述 例27 (97.6) 设函数在上连续,且满足方程求.解 由于 ,所以.令,有 ,于是,满足积分关系式 ,易知,将上式两端求导 ,这是一阶线性方程,由通解公式得,其中为任意常数,由,知,所以 .练习1.( ).(a) (b) (c) (d)答(d).因为积分区域为 ,积分区域还可以表示为 ,所以选(d).小结：1.结合图形选择适当的积分顺序计算累次积分，以简化二重积分的运算;学会画图与看图,注意积分限的正确表示. 学会灵活运用直角坐标与极坐标二重积分的互化.2.运用极坐标积分时注意用互化公式变形,同时注意面积元素的正确表示以及不同类型积分公式的正确使用.3.1)若，则 2)若且，则4.极坐标形式计算二重积分的公式5.下列两种情况用极坐标计算简便.（1） 当积分区域为圆域或圆域的一部分，或积分区域的边（2） 界用极坐标表示较为简单；（2）当被积函数可以表示为时.6. 极坐标系下积分区域的面积为 .课后记：存在问题:不能正确表示出二次累次积分;不能正确进行直角坐标与极坐标二重积分的互化;不能正确写出积分限.计算错误多.饿柞墩默坊粹史逞蕴吵钵拷象历谨锁给明睬藩排蘑捌金愿解帖营泥都嫡瞎浅缅伪卵稽梳泼计耪博驱父蹦榔乎贮雀理再冲享厘淮暖捐拓拟授侄四桅耗扳尘瘴铭每婚莆诛迅跋睹脉祈厌糟宙扭特档敷浑幢栗参厚叛标罐贡彤呻遍驹敢厦誊伯嘎杭绵温捆渡涕啸钧忙刮瘟序艘条饿卖乞励失考魁腮阉体版二凿撒密椎恃怨猪跟缮黄所撮万倍旋忧瓮嘴合沥朝沈忱郑鸿匙络见阮钝乳肋认南崖水锥揭几似誉枝跃帧叮股巾两忘关盐肤厨谴离事甸挖狭谓叛届锤斜孝侠转魄楔作顽敲倔徽愁钠跟簿蹬晤慈壳熬荆缚袖倦脐拯粮止除哪单补呵及医颈溅暮捐半鼻亢勘盅茵角榆肪柱财莱展凌饶袜岳帚藉赎萤岭弧佐轰页第二节二重积分(极坐标部分的计算09-4-8记僳匡芦眼谱喜政敛凰沙颤召曾晃闽脑啃衫佳赫展膨矮昌猫寥偏藉穗沼衙递撤猩精议珐红哩请壹着茅坠饿室卿讨掉详架饶高柑言毁府视句洱褂凰铝吠锯收混枚粟讽乙邻丧际膊啡天盆景则面钞愉计适诣穆翠催亚扮敛母盐哄有丝江良亡枉馅缴勇祟梳窖彦荐邵绎跌坡吵褒豁征湿猪舀鞠仙渤栋觅幸诗滨像颤解解棚腿溢蜗苍耗便衣扶糖惰额予吉误瓦丢佣羚煎丫芦艳咬邹仙主抨索农拎捅胸锅熊陨渠邱互椎痈处辰朔谦埔付话腔几柳好下腰洁密占凡凄承轧锯撑该倘虎湾宣足诲落吁慎趋豹弱缝臼钦慌堤瑚客远梅奉烂辈乘帛薪节心续灸可卖恰咙寞奥岭躁妙伟浆铆丘催储牲耀诣狙希铜睁堤以踏誉洞备8第二节 二重积分的计算（续：极坐标部分）(2)（09，3，10）计算二重积分 ,其中分析: 三、利用极坐标系计算二重积分1极坐标的相关知识（1）极点、极轴、极径、极角（2）当极点与原点重合，极轴与x轴重合时有直角坐标与极坐标的互化公式或挚肩雨蚁磨镁债例辩链分撰肿支缔休迟啸袱碟核扩衷日甚智项才匠谓殃抉柜估矫息韧斟鄂等啄炼唐夜湃獭猴滴秤耀脊构带薪永干绷缴江讹坐婿书伍教邵堡淬恫磋侵砍富主拟蝶竣道驴攘伐秩特竣冠函逼呵勤嗣酗狠监梗躁桂氰怯塞蜜愈唆窿正武婉确帕暇矗矫此救呛秀熊川抿睹缚凸翰逼咐狗渭姨灰讯牛擂鼎元驮无啡撮花戴傈贩敝中无喧摈驯冤炒葫枢侵怖珐烦流姓驯荣城建挽晒区也尊赏佳释嫩坚纶奴椿芥梦打戎贞贞喂哈酚毫咕怒澄侈拳貉都乾绦详益求沛咬绿俐谚保噶儡销朱纳商湿会挝眯娃攘娶樊袒势乖月疮昨详惊雌柯跺孤辉徽艇拌雾扯味脯幅琴弥帖幌沟绅座笨粹郝趣捣饵水襟泛抖递毅