第十一讲三角形及其性质-(1)培训课件.doc

第十一讲三角形及其性质
☞解读考点
知　识　点
名师点晴
三角形的重要线段
中线、角平分线、高线
理解三角形有关的中线、角平分线、高线，并会作三角形的中线、角平分线、高线
三角形的中位线
理解并掌握三角形的中位线的性质
三角形的三边关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
理解三角形的三边关系，并能确定三角形第三边的取值范围
三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180°
掌握三角形的内角和定理，并会证明三角形的内角和定理
三角形的外角
三角形的外角的性质
能利用三角形的外角进行角的有关计算与证明
☞考点归纳
归纳 1：三角形的有关线段
基础知识归纳：中线：连接一个顶点与它对边中点的线段，三角形的三条中线的交点叫做三角形的重心
高线：从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段．
角平分线：一个内角的平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段
中位线：连接三角形两边中点的线段
基本方法归纳：三角形的中位线平行线于第三边，且等于第三边的一半
注意问题归纳：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分
【例1】如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AB＝4，BC＝6，则DF＝_____．

【答案】1．
考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的判定与性质．
归纳 2：三角形的三边关系
基础知识归纳：三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边．
基本方法归纳：三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围．
注意问题归纳：三角形的三边关系是中考的热点问题之一，是解决三角形的边的有关问题的重要依据．
归纳 3：内角和定理
基础知识归纳：三角形三个内角的和等于180°．
基本方法归纳：在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角．
注意问题归纳：三角形的内角和定理是求三角形一个角的度数或证明角相等的重要工具．
归纳 4：三角形的外角
基础知识归纳：（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
基本方法归纳：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
注意问题归纳：三角形的外角是解决角的计算与角的大小比较的重要工具．
☞1年中考
【2015年题组】
1．（2015宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C． 7或9 D．9或12
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
2．（2015雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（　　）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．三角形三边关系；3．等腰三角形的性质；4．分类讨论．
3．（2015绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（　　）

A．118° B．119° C．120° D．121°
考点：三角形内角和定理．
4．（2015广州）已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）
A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．一元二次方程的解；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质；5．分类讨论．
5．（2015鄂尔多斯）如图，A．B是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在格点中任意放置点C，恰好能使△ABC的面积为1的概率是（　　）

A． B． C． D．
考点：1．概率公式；2．三角形的面积．
6．（2015淄博）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　）

A． B． C． D．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形的面积；3．三角形中位线定理；4．综合题．
7．（2015佛山）各边长度都是整数、最大边长为8的三角形共有 个．
考点：三角形三边关系．
8．（2015长春）如图，点E在正方形ABCD的边CD上．若△ABE的面积为8，CE=3，则线段BE的长为 ．

考点：1．正方形的性质；2．三角形的面积；3．勾股定理．
9．（2015昆明）如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为 ．

考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．

等腰三角形与直角三角形
☞解读考点
知　识　点
名师点晴
等腰三角形

等腰三角形的性质
理解等腰三角形的性质，并能解决等腰三角形的有关计算
等腰三角形的判定
掌握等腰三角形的判定方法，会证明一个三角形是等腰三角形
等边三角形
等边三角形的性质
理解等边三角形的性质
等边三角形的判定
掌握等边三角形的判定方法，会证明一个三角形是等边三角形
直角三角形
直角三角形的性质
理解直角三角形的有关性质
直角三角形的判定
掌握直角三角形的判定方法，会证明一个三角形是直角三角形
勾股定理
理解并掌握勾股定理及其逆定理
☞考点归纳
归纳 1：等腰三角形
基础知识归纳：1、等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的性质定理及推论：
定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）
推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
2、等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理及推论：
定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
基本方法归纳：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°
②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则<a
④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A，底角为∠B、∠C，则∠A=180°—2∠B，∠B=∠C=
注意问题归纳：等腰三角形的性质与判定经常用来计算三角形的角的有关问题，并证明角相等的问题。

归纳 2：等边三角形
基础知识归纳：1.定义
三条边都相等的三角形是等边三角形.
2.性质：
等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°
3.判定
三个角都相等的三角形是等边三角形；
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
基本方法归纳：线段垂直平分线上的一点到这条线段的两端距离相等；到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
注意问题归纳：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
【例1】如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如图①）；继续以上的平移得到图②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是

考点：1．等边三角形的判定与性质；2．平移的性质．
归纳 3：直角三角形
基础知识归纳：有一个角是直角的三角形叫作直角三角形
直角三角形的性质：
（1）直角三角形两锐角互余.
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.
（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用。
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，且CD=，如果Rt△ABC的面积为1，则它的周长为（　　）

A． B． C． D．
考点：1．勾股定理；2．直角三角形斜边上的中线．
归纳 4：勾股定理
基础知识归纳：
直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2;
基本方法归纳：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意问题归纳：勾股定理的逆定理也是判定直角三角形一种常用的方法，通常与直角三角形的性质结合起来考查。
☞1年中考
【2015年题组】
1．（2015内江）如图，在△ABC中， AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E=35°，则∠BAC的度数为（　　）

A．40° B．45° C．60° D．70°
考点：1．等腰三角形的性质；2．平行线的性质．
2．（2015荆门）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（　　）
A．8或10 B．8 C．10 D．6或12
【答案】C．
考点：1．等腰三角形的性质；2．三角形三边关系；3．分类讨论．
3．（2015丹东）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
考点：等腰三角形的性质．
4．（2015乐山）如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（　　）

A． B． C． D．
考点：1．锐角三角函数的定义；2．勾股定理；3．勾股定理的逆定理；4．网格型．
5．（2015资阳）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）

A．13cm B．cm C．cm D．cm
考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．
6．（2015德阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，若点A关于CD所在直线的对称点E恰好为AB的中点，则∠B的度数是（　　）

A．60° B．45° C．30° D．75°
考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．轴对称的性质．
7．（2015眉山）如图，在Rt△ABC中，∠B=900，∠A=300，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD．若BD=l，则AC的长是（ ）
A． B．2 C． D．4

考点：1．含30度角的直角三角形；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理．
8．（2015荆门）如图，在△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（　　）

A． B． C． D．
考点：1．解直角三角形；2．等腰直角三角形．
9．（2015天水）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，点P在四边形ABCD的边上．若点P到BD的距离为，则点P的个数为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

考点：1．等腰直角三角形；2．点到直线的距离．
10．（2015龙东）△ABC中，AB=AC=5，BC=8，点P是BC边上的动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长是（　　）
A．4.8 B．4.8或3.8 C．3.8 D．5
考点：1．勾股定理；2．等腰三角形的性质；3．动点型．
11．（2015安顺）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（　　）

A． B． C． D．6
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．勾股定理．
12．（2015滨州）如图，在直角∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（　　）

A．直线的一部分 B．圆的一部分　 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
考点：1．轨迹；2．直角三角形斜边上的中线．
13．（2015烟台）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S2015的值为（　　）

A． B． C． D．
考点：1．等腰直角三角形；2．正方形的性质；3．规律型；4．综合题．
14．（2015烟台）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为（　　）
A．9 B．10 C．9或10 D．8或10
考点：1．根的判别式；2．一元二次方程的解；3．等腰直角三角形；4．分类讨论．
15．（2015崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第4个图形中所有正三角形的个数有（ ）

A．160 B．161 C．162 D．163
考点：1．规律型；2．综合题．

16．（2015南通）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC= 度．

考点：等腰三角形的性质．
17．（2015苏州）如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A、D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE．若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为 ．

考点：1．三角形中位线定理；2．等腰三角形的性质；3．轴对称的性质．
18．（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 ．

考点：1．等腰三角形的性质；2．分类讨论．
19．（2015南宁）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．

考点：1．正方形的性质；2．等边三角形的性质．
20．（2015攀枝花）如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 ．

考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．
21．（2015淄博）如图，等腰直角三角形BDC的顶点D在等边三角形ABC的内部，∠BDC=90°，连接AD，过点D作一条直线将△ABD分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是 度．

考点：1．等腰直角三角形；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的性质；4．综合题．
22．（2015黄冈）在△ABC 中，AB=13cm，AC=20cm，BC 边上的高为12cm，则△ABC 的面积为__________．

考点：1．勾股定理；2．分类讨论；3．综合题．
23．（2015庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为 cm．（结果保留π）

【
考点：1．平面展开-最短路径问题；2．最值问题．
24．（2015辽阳）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E为AB的中点，AD=6，DE=5，则线段BD的长等于 ．

考点：1．直角三角形斜边上的中线；2．勾股定理．
25．（2015柳州）如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC=4，CD=5．
（1）求DB的长；
（2）在△ABC中，求BC边上高的长．

考点：1．勾股定理；2．三角形中位线定理．
26．（2015柳州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？

考点：1．平行四边形的判定与性质；2．勾股定理的逆定理；3．直角梯形；4．动点型；5．分类讨论；6．综合题．