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第十一节第十一节 函数模型及其应用函数模型及其应用1基础梳理基础梳理1.常见的几种函数模型(1)一次函数型_；(2)反比例函数型_；(3)二次函数型_；(4)指数函数型_(x0)(增长率问题)；(5)对数函数型_(m0，m1，N0)；(6)幂函数型_(n0)；(7)分段函数型y=kx+b(k0)y=ax2+bx+c(a0)y=a(1+p)x y=alogmN+b y=xn 22.对于指数函数y=ax(a1)，幂函数y=xn(n0)，对数函数y=logax(a1)，总会存在一个x0，当xx0时，有_logaxxnax 33.解答函数应用题的步骤：4基础达标基础达标1.下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是()A.y=ex B.y=100ln x C.y=x100 D.y=1002x A解析：在(0，+)上，总存在一个x0，使xx0时，有axxnlogax(a1)，排除B、C，又e2，ex的增长速度大于1002x的增长速度 52.某商品在今年1月降价10%，在此之后，由于市场供求关系的影响，价格连续三次上涨，使目前售价与1月降价前的价格相同，则这三次价格平均回升率是()A.B.C.D.A解析：设降价前价格为a，平均回升率为x，则a(1-10%)(1+x)3=a，所以x=63.“红豆生南国，春来发几枝”，下图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好()A.y=t3 B.y=log2t C.y=2t D.y=2t27 由幂函数与对数函数的图象知A、B显然不符，将t=2代入发现D不符，故选C.本题也可取几个特殊点代入验证 C解析：8大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点可以互相讨论下，但要小声点94.(教材改编题)某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，设这种动物第1年有100只，中间无死亡，到第7年它们共有_只由alog2(1+1)=100，可得a=100，所以第7年它们共有100log2(1+7)=300只300解析：10经典例题经典例题题型一一次函数与二次函数模型的应用11【例1】宏达商店新进了一批健身器材，进价为每件492元，经过一个季度的销售，发现销售量与销售价有如下关系：由此可知，销售量y与销售价格x的关系可近似地看做一次函数y=kx+b（通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为准确），试问：销售价定位多少时，该季度的利润最大？并求最大利润和此时的销售量。12所以销售量y与销售价格x的关系式为y=-x+1 000(0 x1 000)设该季度的利润为P，则P=y(x-492)=(-x+1 000)(x-492)=-x2+1 492x-492 000=-(x-746)2+64 516(0 x1 000)所以当x=746时，P有最大值64 516.所以当销售价定为746元时，利润最大，最大值为64 516元，此时销售量为254件解由题意及表格中的数据：当x=650时，y=350；当x=800时，y=200.将它们代入y=kx+b，得，解得13 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0 x1)，那么月平均销售量减少的百分率为2x.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元)(1)写出y关于x的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大变式1-114解：(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1+x)，月平均销售量为a(1-2x)件，则月平均利润 y=a(1-2x)20(1+x)-15(元)，所以y与x的函数式为y=5a(-8x2+2x+1)(0 x1)(2)因为y=5a(-8x2+2x+1)(0 x1)，所以当x=即产品的销售价为 元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.15题型二分段函数模型的应用【例2】新飞旅行社为宏伟旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元，旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多一人，机票费每张减少10元，但旅游团人数最多有75人(1)写出飞机票的价格与旅游团人数的函数；(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？16解：(1)设旅游人数为x人，飞机票价为y元，依题意当1x30，y=900；当30 x75时，y=900-10(x-30)=-10 x+1 200，所以，所求函数为(2)设利润函数为f(x)，则f(x)=yx-15 000=17当x1,30时，函数f(x)=900 x-15 000是增函数，f(x)max=f(30)=12 000(元)；当x(30,75时，f(x)=-10 x2+1 200 x-15 000=-10(x-60)2+21 000.f(x)max=f(60)=21 00012 000，所以每团人数为60时，旅行社可获得最大利润21 000元18题型三指数模型的应用【例3】某城市2008年有人口100万，年增长率为1.2%.(1)写出该城市人口总数y(万人)与经过的年份x(年，xN+)的函数关系式；(2)10年后，该城市人口达到多少万人？(3)计算大约到哪一年该市人口达到120万人？解(1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%)，2年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2，3年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)3，x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x(xN+)19(2)10年后，人口数为100(1+1.2%)10112.7(万人)(3)设x年后该城市人口将达到120万人，即100(1+1.2%)x=120，x=log1.012=log1.0121.2015.28(年)，取x=16(年)即大约到2024年时，该市人口将达到120万人20 (教材改编题)一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减(1)求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；(2)求这种放射性元素的半衰期(精确到0.1年)变式3-121(1)最初的质量为500，经过1年，w=500(1-10%)=5000.91，经过2年，w=500(1-10%)2=5000.92，经过t年，w=5000.9t.(2)由题意5000.9t=250，即0.9t=0.5，两边取对数，有tlg 0.9=lg 0.5，t=6.6(年)，即这种放射性元素的半衰期约为6.6年 22【例4】鸿源农药厂通过技术革新，生产能力大大提高，2008年共生产农药8 000吨，计划5年后把产量提高到14 000吨，问平均每年需增长百分之几？(1.118)题型四对数函数与幂函数模型的应用解：设平均每年需增长的百分率为x.由题意，得8 000(1+x)5=14 000，即(1+x)5=，所以1+x1.118，即x0.118=11.8%.故平均每年需增长11.8%23