第一章-1.2.1(一)学习专用.docx

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§1.2　任意角的三角函数
1．2.1　任意角的三角函数(一)
学习目标　1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．
知识点一　任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1　角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？
答案　sin α＝，cos α＝，tan α＝.
思考2　对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案　不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考3　在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？
答案　 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.
梳理　(1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
(2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
①y叫做α的正弦，记作sin_α，
即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝ (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
知识点二　正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考　根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？
答案　由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．
梳理　记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三　诱导公式一
思考　当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案　它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．
梳理　诱导公式一
sin(α＋k·2π)＝sin α，
cos(α＋k·2π)＝cos α，
tan(α＋k·2π)＝tan α，
其中k∈Z.
1．sin α，cos α，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关．(　×　)
提示　三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关．
2．终边相同的角的同名三角函数值相等．(　√　)
提示　由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等.
类型一　三角函数定义的应用
命题角度1　已知角α终边上一点的坐标求三角函数值
例1　已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
解　由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
反思与感悟　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值．
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
解　r＝＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
∴2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝，
∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
综上所述，2sin α＋cos α＝±1.
命题角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值
例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值．
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
解　由题意知，cos α≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|.
(1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角，
sin α＝＝＝－，＝＝＝，
∴10sin α＋＝10×＋3
＝－3＋3＝0.
(2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角，
sin α＝＝＝，
＝＝＝－，
∴10sin α＋＝10×＋3×(－)
＝3－3＝0.
综上所述，10sin α＋＝0.
反思与感悟　在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.
跟踪训练2　在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
解　当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，
所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝，
tan α＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－.
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，
tan α＝＝＝－.
所以sin α－3cos α＋tan α＝－3×－＝＋－＝.
综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－或.
类型二　三角函数值符号的判断
例3　判断下列各式的符号：
(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
解　(1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.
∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，
∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
(2)∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π，
∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，
∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.
反思与感悟　角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
跟踪训练3　已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　二
解析　由题意知tan α<0，cos α<0，
∴α是第二象限角．
类型三　诱导公式一的应用
例4　求下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；
(2)sin＋cos·tan 4π.
考点　诱导公式一
题点　诱导公式一
解　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝.
反思与感悟　利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．
跟踪训练4　求下列各式的值：
(1)cos ＋tan；
(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.
考点　诱导公式一
题点　诱导公式一
解　(1)原式＝cos＋tan
＝cos ＋tan ＝＋1＝.
(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.
1．(2019·牌头中学月考)已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
考点　任意角的三角函数
题点　任意角三角函数的定义
答案　D
2．sin 的值是(　　)
A．－ B． C．－ D．
考点　诱导公式一
题点　诱导公式一
答案　B
解析　sin＝sin＝sin＝.
3．(2019·宁波期末)若角α的终边经过点P(－1，－1)，则(　　)
A．tan α＝1 B．sin α＝－1
C．cos α＝ D．sin α＝
考点　任意角的三角函数
题点　任意角三角函数的定义
答案　A
解析　由点P的坐标计算得：r＝＝，则
sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝1.
4．若α是第二象限角，则点P(sin α，cos α)在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　D
解析　∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，
∴点P在第四象限，故选D.
5．已知角α的终边上有一点P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值．
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
解　①当k>0时，令x＝24k，y＝7k，
则有r＝＝25k，
∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
②当k<0时，令x＝24k，y＝7k，则有r＝－25k，
∴sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝.
1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．
2．角α的三角函数值的符号只与角α的终边所在象限有关，由角α的终边所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
3．终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.
一、选择题
1．(2019·长沙检测)sin(－315°)的值是(　　)
A．－ B．－ C. D.
考点　诱导公式一
题点　诱导公式一
答案　C
解析　sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝.
2．(2019·山西太原外国语学校月考)如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于(　　)
A. B．－ C．－ D．－
考点　任意角的三角函数
题点　任意角三角函数的定义
答案　C
解析　由题意得P(1，－)，它与原点的距离r＝＝2，∴sin α＝－.
3．已知sin θ<0，且tan θ<0，则θ为(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　D
4．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cos α＝x，则x的值为(　　)
A. B．±
C．－ D．－
考点　任意角的三角函数
题点　任意角三角函数的定义
答案　D
解析　∵cos α＝＝＝x，
∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3，
∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故选D.
5．(2019·嘉兴模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　)
A．小于0 B．大于0
C．等于0 D．不存在
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　A
解析　∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，
∴sin 2·cos 3·tan 4<0.
6．(2019·湖州期末)点P从点(1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
考点　任意角的三角函数
题点　任意角三角函数的定义
答案　C
解析　根据题意可得：xQ＝cos＝－，
yQ＝sin＝－.
则Q点的坐标是.
7．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　C
解析　由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴∴θ为第三象限角．
二、填空题
8．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________.
考点　诱导公式一
题点　诱导公式一
答案　
解析　tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
9．(2019·绍兴柯桥区期末)已知α的顶点在原点，始边在x轴上，终边与单位圆相交于点M，则cos α＝________.
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
答案　－
10．(2019·山东烟台一中期末)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则实数a的取值范围是________．
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　(－2,3]
解析　∵点(3a－9，a＋2)在角α的终边上，
sin α>0，cos α≤0，
∴解得－2<a≤3.
11．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，则sin θ＋cos θ＝________.
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
答案　0或－
解析　∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－.
又tan θ＝－x，
∴x2＝1，即x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝，
因此sin θ＋cos θ＝0；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，
因此sin θ＋cos θ＝－.
故sin θ＋cos θ的值为0或－.
12．已知角α的终边在直线y＝x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．
考点　任意角的三角函数
题点　用定义求三角函数的值
答案　，，或－，－，
解析　因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点，
则r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
所以sin α＝＝，cos α＝＝，
tan α＝＝.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
所以sin α＝＝－，cos α＝－＝－，
tan α＝＝.
13．sin π＋cos π＋cos(－5π)＋tan ＝________.
考点　诱导公式一
题点　诱导公式一
答案　－1
解析　原式＝sin π＋cos ＋cos π＋1
＝－1＋0－1＋1＝－1.
14．函数y＝＋－的值域是________________．
考点　三角函数值在各象限的符号
题点　三角函数值在各象限的符号
答案　{－4,0,2}
解析　由sin x≠0，cos x≠0知，x的终边不能落在坐标轴上，
当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，
sin xcos x>0，y＝0；
当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，
sin xcos x<0，y＝2；
当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，

教科版五年级下册科学连线题sin xcos x>0，y＝－4；

植物细胞教学设计第二课时当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，
sin xcos x<0，y＝2.
故函数y＝＋－的值域为{－4,0,2}．

新时代的爱国主义三、解答题

15．已知＝－，且lg(cos α)有意义．

摆渡自己的阅读及答案(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边与单位圆相交于点M，求m的值及sin α的值．

数学教师读书笔记考点　任意角的三角函数

教师上课题点　用定义求三角函数的值

摆渡自己的阅读及答案解　(1)∵＝－，
∴sin α＜0.①
∵lg(cos α)有意义，

昆虫记片段阅读题及答案∴cos α＞0.②

期中质量检测分析由①②得角α的终边在第四象限．
(2)∵点M在单位圆上，
∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－.
由三角函数定义知，sin α＝－.
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