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机械优化设计复习题
一.单项选择题
1．一个多元函数在X* 附近偏导数连续，则该点位极小值点的充要条件为（ ）
A． B. ，为正定
C． D。 ，为负定
2。为克服复合形法容易产生退化的缺点，对于n维问题来说，复合形的顶点数K应( ）
A． B。 C. D。
3．目标函数F（x）=4x+5x，具有等式约束，其等式约束条件为h（x）=2x1+3x2-6=0，则目标函数的极小值为（　　　）
A．1 B． 19。05 C．0.25 D．0。1
4.对于目标函数F(X)=ax+b受约束于g(X)=c+x0的最优化设计问题,用外点罚函数法求解时，其惩罚函数表达式Φ（X,M（k））为（ )。
A。 ax+b+M（k){min［0,c+x］｝2，M(k）为递增正数序列
B。 ax+b+M(k）｛min［0，c+x］｝2,M（k）为递减正数序列
C。 ax+b+M(k）{max［c+x，0]｝2，M（k）为递增正数序列hn
D。 ax+b+M（k){max[c+x，0]}2，M（k）为递减正数序列
1.B 2。C 3.B 4。B 5.A 6.B 7.D 8。B 9。A 10C。11。B 12.C 13A 14。B 15。B 16 D 17。D 18。A
19。B。20。D 21.A 22。D 23。C 24。B 25。D 26。D 27。A 28。B 29。B 30。B
5.黄金分割法中,每次缩短后的新区间长度与原区间长度的比值始终是一个常数，此常数是（ )。 A.0.382 B。0.186 C.0。618 D.0.816
6。F(X）在区间[x1，x3］上为单峰函数,x2为区间中一点,x4为利用二次插值法公式求得的近似极值点。如x4-x2>0,且F（x4)〉F（x2），那么为求F（X)的极小值，x4点在下一次搜索区间内将作为（ ）。
A.x1 B.x3 C。x2 D。x4
7.已知二元二次型函数F(X)=,其中A=，则该二次型是（ ）的。
A。正定 B。负定 C.不定 D.半正定
8.内点罚函数法的罚因子为（ ）。
A.递增负数序列 B。递减正数序列 C。递增正数序列 D。递减负数序列
9.多元函数F（X）在点X＊附近的偏导数连续，F（X＊）=0且H（X＊）正定,则该点为F(X）的（ ）。 A。极小值点 B。极大值点 C.鞍点 D。不连续点
10.F（X）为定义在n维欧氏空间中凸集D上的具有连续二阶偏导数的函数，若H(X）正定，则称F（X）为定义在凸集D上的（ ）。
A.凸函数 B.凹函数 C。严格凸函数 D.严格凹函数
1。B 2。C 3.B 4.B 5.A 6。B 7。D 8.B 9。A 10C。11。B 12。C 13A 14。B 15。B 16 D 17.D 18。A
19。B。20。D 21。A 22.D 23。C 24。B 25.D 26。D 27。A 28。B 29。B 30。B
11.在单峰搜索区间［x1 x3] (x1〈x3）内，取一点x2，用二次插值法计算得x4（在［x1 x3]内）,若x2〉x4,并且其函数值F（x4）〈F（x2），则取新区间为（ ）。
A. ［x1 x4］ B。 ［x2 x3］ C。 ［x1 x2］ D。 ［x4 x3］
12.用变尺度法求一n元正定二次函数的极小点，理论上需进行一维搜索的次数最多为（ ）
A。 n次 B. 2n次 C. n+1次 D。 2次
13.在下列特性中，梯度法不具有的是（ ）。
A。二次收剑性 B.要计算一阶偏导数
C。对初始点的要求不高 D。只利用目标函数的一阶偏导数值构成搜索方向
14.外点罚函数法的罚因子为( )。
A。递增负数序列 B.递减正数序列 C。递增正数序列 D。递减负数序列
15。内点惩罚函数法的特点是（ )。
A．能处理等式约束问题 B.初始点必须在可行域中
C。初始点可以在可行域外 D.后面产生的迭代点序列可以在可行域外
16。约束极值点的库恩-塔克条件为F（X)=，当约束条件gi(X）≤0（i=1,2，…，m)和λi≥0时，则q应为 （ )。
A。等式约束数目； B.不等式约束数目; C。起作用的等式约束数目
D。起作用的不等式约束数目
17 已知函数F(X）=-,判断其驻点（1，1）是( ）.
A。最小点 B。极小点 C.极大点 D。不可确定
18．对于极小化F(X），而受限于约束gμ(X）≤0（μ=1,2，…,m)的优化问题,其内点罚函数表达式为( ）
A。 Ф（X， r(k))=F（X）-r（k) B。 Ф（X， r（k）)=F（X)+r（k)
C。 Ф（X, r(k））=F（X）—r（k） D. Ф（X， r(k））=F(X)—r（k)
19. 在无约束优化方法中,只利用目标函数值构成的搜索方法是( ）
A. 梯度法 B。 Powell法 C。 共轭梯度法 D。 变尺度法
1.B 2.C 3.B 4。B 5。A 6.B 7.D 8.B 9。A 10C。11.B 12。C 13A 14.B 15。B 16 D 17.D 18.A
19。B。20.D 21。A 22。D 23.C 24。B 25。D 26.D 27。A 28.B 29.B 30。B
20. 利用0.618法在搜索区间[a，b]内确定两点a1=0.382,b1=0。618，由此可知区间[a，b］的值是（ ）
A. ［0，0。382] B. [0。382，1] C。 ［0。618，1] D。 ［0,1］
21. 已知函数F（X）=x12+x22-3x1x2+x1—2x2+1，则其Hessian矩阵是( ）
A。 B。 C. D.
22。 对于求minF(X)受约束于gi（x）≤0(i=1,2,…，m）的约束优化设计问题，当取λi≥0时,则约束极值点的库恩—塔克条件为（ ）
A。 F（X)=,其中λi为拉格朗日乘子
B. F （X)= ，其中λi为拉格朗日乘子
C。 F（X)= ,其中λi为拉格朗日乘子，q为该设计点X处的约束面数
D。 F(X）= ,其中λi为拉格朗日乘子，q为该设计点X处的约束面数
23。 在共轭梯度法中，新构造的共轭方向S(k+1）为（ ）
A. S(k+1）= F（X（k+1)）+β（k)S（K），其中β（k）为共轭系数
B。 S（k+1）=F（X（k+1)）－β（k）S(K)，其中β（k）为共轭系数
C。 S（k+1）=—F（X（k+1)）+β（k）S（K),其中β（k）为共轭系数
D. S(k+1）=—F（X(k+1）)－β（k)S（K），其中β(k）为共轭系数
24。 用内点罚函数法求目标函数F（X）=ax+b受约束于g（X）=c—x≥0的约束优化设计问题,其惩罚函数表达式为（ )
A。 ax+b-r（k),r（k)为递增正数序列
B。 ax+b—r（k），r（k）为递减正数序列
C。 ax+b+ r(k）,r（k)为递增正数序列
D。 ax+b+r（k），r（k)为递减正数序列
25。 已知F（X）=x1x2+2x22+4,则F（X）在点X（0）=的最大变化率为( ）
A. 10 B。 4 C。 2 D。
26。在复合形法中，若映射系数α已被减缩到小于一个预先给定的正数δ仍不能使映射点可行或优于坏点，则可用( )
A。好点代替坏点 B。次坏点代替坏点
C。映射点代替坏点 D。形心点代替坏点
1.B 2.C 3.B 4。B 5.A 6。B 7。D 8.B 9.A 10C.11.B 12。C 13A 14。B 15。B 16 D 17.D 18。A
19。B。20。D 21。A 22.D 23。C 24.B 25.D 26.D 27。A 28。B 29.B 30。B
27。 优化设计的维数是指（ ）
A. 设计变量的个数 B。 可选优化方法数
C. 所提目标函数数 D. 所提约束条件数
28。在matlab软件使用中,如已知x=0:10，则x有______个元素。
A。 10 B。 11 C。 9 D。 12
29。如果目标函数的导数求解困难时，适宜选择的优化方法是( ）。
A. 梯度法 B。 Powell法 C. 共轭梯度法 D. 变尺度法
30.在0。618法迭代运算的过程中,迭代区间不断缩小，其区间缩小率在迭代的过程中（ ）.
A．逐步变小 B 不变 C 逐步变大 D 不确定
二 填空
1。在一般的非线性规划问题中,kuhn—tucker点虽是约束的极值点,但 是全域的最优点.
2.判断是否终止迭代的准则通常有 . 和 三种形式。
3.当有两个设计变量时，目标函数与设计变量关系是 中一个曲面。
4。函数在不同的点的最大变化率是 。
5。函数，在点处的梯度为 。
6。优化计算所采用的基本的迭代公式为 。
7．多元函数F（x）在点x＊处的梯度▽F(x＊）＝0是极值存在的　　　　　　　　条件。
8．函数F(x)=3x+x-2x1x2+2在点（1，0）处的梯度为　　　　　　　　。
9．阻尼牛顿法的构造的迭代格式为 。
10．用二次插值法缩小区间时,如果，,则新的区间（a，b）应取作 ， 用以判断是否达到计算精度的准则是 。
11.外点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近，内点惩罚函数法的极小点是从可行域之 向最优点逼近.
12．罚函数法中能处理等式约束和不等式约束的方法是 罚函数法。
13.Powell法是以 方向作为搜索方向。
14。当有n个设计变量时，目标函数与n个设计变量间呈 维空间超曲面关系。
1．不 2。距离.目标函数改变量。梯度 3.三维空间 4。不同的 5。
6． 7。必要条件 8. 9。
10． ， ? 11.外。内 12。.混合 13.。逐次构造共轭 14.。n+1
三 问答题
1。 变尺度法的基本思想是什么?
2。 梯度法的基本原理和特点是什么？
3．什么是库恩－塔克条件?其几何意义是什么？
4。 在内点罚函数法中，初始罚因子的大小对优化计算过程有何影响？
5. 选择优化方法一般需要考虑哪些因素？
6。 满足什么条件的方向是可行方向?满足什么条件的方向是下降方向？作图表示。
7。 简述传统的设计方法与优化设计方法的关系。
8。 简述对优化设计数学模型进行尺度变换有何作用。
9. 分析比较牛顿法.阻尼牛顿法和共轭梯度法的特点
10．为什么选择共轭方向作为搜索方向可以取得良好的效果？
11．多目标问题的解与单目标问题的解有何不同?如何将多目标问题转化为单目标问题求解？
12。黄金分割法缩小区间时的选点原则是什么？为何要这样选点？
四。计算题
1。用外点法求解此数学模型
2 将写成标准二次函数矩阵的形式.
3 用外点法求解此数学模型 :
4 求出的极值及极值点。
5 用外点法求解此数学模型 ：
6．用内点法求下列问题的最优解：
（提示:可构造惩罚函数 ，然后用解析法求解。）.
7。设已知在二维空间中的点，并已知该点的适时约束的梯度，目标函数的梯度，试用简化方法确定一个适用的可行方向.
8。 用梯度法求下列无约束优化问题:Min F（X）=x12+4x22，设初始点取为X(0)=[2 2］T，以梯度模为终止迭代准则,其收敛精度为5。
9。 对边长为3m的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？建立该问题的优化设计的数学模型。
10. 已知约束优化问题：
试以为复合形的初始顶点，用复合形法进行一次迭代计算。
机械优化设计综合复习题参考答案
一。单项选择题
1。B 2。C 3.B 4。B 5。A 6。B 7.D 8。B 9。A 10C。11。B 12.C 13A 14。B 15。B 16 D 17。D 18.A
19。B。20.D 21。A 22.D 23.C 24。B 25。D 26。D 27。A 28.B 29。B 30.B
二 填空
1．不 2。距离。目标函数改变量.梯度 3。三维空间 4。不同的 5.
6． 7。必要条件 8。 9。
10． , ？ 11。外。内 12。。混合 13..逐次构造共轭 14..n+1
三 问答题
1。变尺度法的基本思想是：通过变量的尺度变换把函数的偏心程度降低到最低限度，显著地改进极小化方法的收敛性质.
2．梯度法的基本原理是搜索沿负梯度方向进行，其特点是搜索路线呈“之"字型的锯齿路线，从全局寻优过程看速度并不快。
3．库恩—塔克条件是判断具有不等式约束多元函数的极值条件。
库恩-塔克条件的几何意义是： 在约束极小值点处，函数的负梯度一定能表示成所有起使用约束在该点梯度（法向量)的非负线性组合。
4．初始罚因子，一般来说太大将增加迭代次数,太小会使惩罚函数的性态变坏,甚至难以收敛到极值点。
5．选择优化方法一般要考虑数学模型的特点，例如优化问题规模的大小,目标函数和约束函数的性态以及计算精度等。在比较各种可供选用的优化方法时,需要考虑的一个重要因素是计算效率。
6．可行条件应满足第二式：

7。下降条件应满足第一式：

搜索方向应与起作用的约束函数在点的梯度及目标函数的梯度夹角大于或等于90.
8．数学模型的尺度变换是一种改善数学模型性态，使之易于求解的技巧。一般可以加速优化设计的收敛，提高计算过程的稳定性。
9．牛顿法的迭代关系式为：
阻尼牛顿法的迭代关系式为：
共轭梯度法的迭代关系式为:

牛顿法适合二次型问题,阻尼牛顿法有防止目标函数值上升的阻尼因子,适合非二次型问题，两者均需计算海森矩阵及其逆矩阵，计算量大。共轭梯度法用梯度构造共轭方向，仅需梯度计算且具有共轭性质，收敛速度快,不必计算海森矩阵,使用更加方便。
10．根据共轭方向的性质：从任意初始点出发顺次沿n个G的共轭方向进行一维搜索，最多经过n次迭代就可找到二次函数的极小点，具有二次收敛性。
11．单目标问题的解一般是唯一理想解,多目标的解一般是相对理想解。多目标问题转成单目标问题的常用方法有:主要目标法。线性加权法。理想点法。平方和加权法.分目标乘除法。功率系数法和极大极小法.
12．选点原则是插入点应按0。618分割区间。因为这样选点可以保持两次迭代区间的相同比例分布，具有相同的缩短率。
四。计算题
1．提示：先转化为惩罚函数形式 答案
2．二次函数的矩阵标准形式为 答案为++3
3．参考第六章复习题提示 结果为
4。 用梯度计算极值点 答案为
5。 先构造外点罚函数 答案为
6。 先构造内点罚函数 答案为
7。 用图解法,先画出约束函数梯度及目标函数梯度，做两者的垂线，与两梯度夹角均大于90的任意方向均可。
8。 以负梯度为搜索方向进行迭代计算 答案为
9. 设剪掉的正方形边长为
数学模型为 Min
10. 提示 先算三点的目标函数值并排序，将最差点沿其余点中心进行反射，计算反射点函数值并判断可行性。 答案为