极限求法总结.doc

极限的求法
极限的求法
1、利用极限的定义求极限
2、直接代入法求极限
3、利用函数的连续性求极限
4、利用单调有界原理求极限
5、利用极限的四则运算性质求极限
6。 利用无穷小的性质求极限
7、无穷小量分出法求极限
8、消去零因子法求极限
9、 利用拆项法技巧求极限
10、换元法求极限
11、利用夹逼准则求极限
12、利用中值定理求极限
13、 利用罗必塔法则求极限
14、利用定积分求和式的极限
15、利用泰勒展开式求极限
16、分段函数的极限
1、利用极限的定义求极限
用定义法证明极限,必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A,这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中,放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：的ε—δ定义是指：ε＞0，δ=δ(,ε)＞0,0＜|x—|＜δ|f(x）—A｜＜ε为了求δ可先对的邻域半径适当限制，如然后适当放大|f（x）-A|≤φ(x) （必然保证φ（x）为无穷小），此时往往要用含绝对值的不等式：
|x+a｜=｜（x—）+(+a）|≤|x—｜+|+a|＜｜+a｜+δ1
域｜x+a｜=|（x-)+(+a)｜≥｜+a｜—｜x-|＞|+a｜-δ1
从φ（x)＜δ2,求出δ2后,
取δ＝min（δ1,δ2),当0＜｜x- |＜δ时,就有｜f(x)—A|＜ε.
例：。
其中，。
2、 直接代入法求极限
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为
例 1。求.
分析由于,
所以采用直接代入法。
解原式=
3、利用函数的连续性求极限
定理：一切连续函数在其定义区间内的点处都连续，即如果是函数的定义区间内的一点,则有.
一切初等函数在其定义域内都是连续的，如果是初等函数，是其定义域内一点，则求极限时，可把代入中计算出函数值，即=.
对于连续函数的复合函数有这样的定理：若在连续且，在处连续，则复合函数在处也连续，从而或.
例：
解:复合函数在处是连续的，即有
4、利用单调有界原理求极限
这种方法是利用定理:单调有界数列必有极限,先判断极限存在，进而求极限。
例：求
解：令，则,，即，所以数列单调递增,由单调有界定理知，有限，并设为,，即，所以.
5、利用极限的四则运算性质求极限
定理:若极限和都存在，则函数，当时也存在且
①
②
又若c0,则在时也存在，且有。
利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在,一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现，，等情况，都不能直接运用四则运算法则,必须对变量进行变形.变形时经常用到因式分解、有理化的运算以及三角函数的有关公式。
总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例：求
解：由于当时，与的极限都不存在，故不能利用“极限的和等于和的极限”这一法则，先可进行化简这样得到的新函数当时,分子分母都有极限且分母的极限不为零，可用商的极限法则，即
例2. 求。
解
6. 利用无穷小的性质求极限
我们知道在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量，有界变量乘无穷小是无穷小,对一些特殊的函数而言用其他方法很难求得，只能用这种方法来求.
例：求
解：当时,分母的极限为零，而分子的极限不为零，可先求处所给函数倒数的极限，故.
例5．求极限
分析因为不存在，不能直接使用运算法则, 故必须先将函数进行恒等变形.
解原式= （恒等变形)
因为当时， ， 即是当时的无穷小,而≤1, 即是有界函数,由无穷小的性质:有界函数乘无穷小仍是无穷小，
得=0.
7、无穷小量分出法求极限
适用于分子、分母同时趋于,即型未定式
例3．
分析所给函数中，分子、分母当时的极限都不存在，所以不能直接应用法则。注意到当时，分子、分母同时趋于，首先将函数进行初等变形，即分子、分母同除的最高次幂，可将无穷小量分出来，然后再根据运算法则即可求出极限。
为什么所给函数中，当时，分子、分母同时趋于呢？以当说明：因为,但是趋于的速度要比趋于的速度快，所以。不要认为仍是（因为有正负之分）.
解原式 （分子、分母同除）
（运算法则）
(当时，都趋于。无穷大的倒数是无穷小.）
8、消去零因子法求极限
适用于分子、分母的极限同时为0,即型未定式
例4．
分析所给两个函数中，分子、分母的极限均是0，不能直接使用法则四，故采用消去零因子法。
解原式= （因式分解)
= （约分消去零因子)
= （应用法则）
=
9、 利用拆项法技巧求极限
例6：
分析：由于=
原式=
10、换元法求极限
当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。
例： 求
解:令 则
例7求极限。
分析当时，分子、分母都趋于,不能直接应用法则,注意到，故可作变量替换.
解原式 =
= （令，引进新的变量，将原来的关于的极限转化为的极限。）
=. （型,最高次幂在分母上）
11、利用夹逼准则求极限
已知为三个数列,且满足：
（1) ;
（2) ，.
则极限一定存在，且极限值也是 ，即。利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个同极限值的数列使得。
例：，求的极限
解：因为单调递减，所以存在最大项和最小项
则
又因为，则。
12、利用中值定理求极限
（1）微分中值定理：若函数 满足①在连续,②在（a,b)可导；
则在（a,b)内至少存在一点,使得.
例:求
解:，
＝
＝
＝
＝
(2)积分中值定理:设函数在闭区间上连续; 在上不变号且可积，则在上至少有一点使得
例：求
解：
＝
＝
=0
13、 利用罗必塔法则求极限
定理:假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足：
(1)和的极限都是0或都是无穷大；
（2）和都可导,且的导数不为0;
(3)存在(或是无穷大)；
则极限也一定存在，且等于，即= 。
洛必达法则只能对型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则.洛必达法则只说明当等于 A 时，那么也存在且等于A。 如果不存在时,并不能断定也不存在，只是这是不能用洛必达法则,而须用其他方法讨论。
例：求
解：由知
所以上述极限是待定型
14、利用定积分求和式的极限
利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数.把所求极限的和式表示成在某区间上的待定分法(一般是等分）的积分和式的极限。
例:求
解：由于
=
可取函数 ，区间为，上述和式恰好是 在上等分的积分和。
所以
＝
＝
＝
15、利用泰勒展开式求极限
泰勒展开式：若在x=0点有直到n+1 阶连续导数，那么
其中 （其中）
例：
解:泰勒展开式，
于是
所以
16、分段函数的极限
例8设讨论在点处的极限是否存在。
分析所给函数是分段函数,是分段点， 要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手。
解因为
所以不存在.
注1因为从的左边趋于，则,故。
注2因为从的右边趋于，则，故。
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