概率在实际应用中的应用.doc

华 北 水 利 水 电 大 学概率在实际应用中的应用课 程 名 称： 概率论与数理统计 专 业 班 级： 地质2010003班 成 员 组 成： 联 系 方 式： 年 月 日 概率论对现实生活的解释与应用摘要：随机现象无处不在，渗透于日常生活的方方面面和科学技术的各个领域，概率论就是通过研究随机现象及其规律从而指导人们从事物表象看到其本质的一门科学。生活中买彩票显示了小概率事件发生的几率之小，抽签与体育比赛赛制的选择用概率体现了公平与不公平，用概率来指导决策，减少错误与失败等等，显示了概率在人们日常生活中的越来越重要的作用。关键词 : 概率 生活 解释 应用Abstract: Random phenomena is everywhere, penetrating every aspect of daily life and in all areas of science and technology, is through the study of probability theory random phenomena and its laws in order to guide people from the image to see the nature of science. Lottery shows small probability events in the life of the small window of opportunity, lots of sports petition and choice probabilities reflected fair and unfair, and using probabilities to guide decision-making, reduce errors and failures, and so on, showing the probability in a more and more important role in peoples daily lives.Key words: probability life explain application绪言 概率论是研究现实世界随机现象数量规律的一门科学，其思维方法独特。概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且还是当代社会和人类日常生活最重要的知识之一。正如十九世纪著名数学家拉普拉斯所说，“对于生活中的大部分最重要的问题，实际上只是概率问题，你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定，甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的。”的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学，却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏，就是靠运气取胜。随机事件与概率是概率论中最重要和最基本的概念，只有正确地理解和真正掌握，才能学好概率论。在自然界及各种社会活动中，人们所观察到的现象大致可分为两类：一类称为确定性现象，另一类称为随机现象。我们把在一定的条件下必然发生或必然不发生的现象称为确定性现象。例如，从10件产品(其中2 件是次品，8 件是正品中，任意地抽取3 件进行检验，这3 件产品绝不会全是次品；向上抛掷一枚硬币必然下落，等等。这类现象的一个共同点是事先可以断定其结果。我们把在一定的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象。例如，从10 件产品(其中2件是次品，8 件是正品)中，任取1 件出来，可能是正品，也可能是次品；向上抛掷一枚硬币,落下以后可能是正面朝上，也可能是反面朝上；将要出生的婴儿可能是男性，也可能是女性。这类现象的一个共同点是事先不能预知多种可能结果中究竟出现哪一种。概率，简单说就是一件事发生的可能性的大小。比如：太阳每天都会东升西落，这件事发生的概率就是100%，因为它肯定会发生；而太阳西升东落的概率是0，因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生，也有可能不发生的，比如明天会不会出太阳、买到假酒等等，这类事件的概率就介于0 和100%之间。在日常生活中无论是股市涨跌，还是交通事故的发生，都可用概率进行分析。不确定性既给人们带来许多麻烦，同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。下面，就让我们用例子来说明概率论对现实生活的解释与应用。一、 “三局两胜，五局三胜”公平吗？体育比赛中，若一局定胜负，比赛双方获胜的机会均为二分之一，非常公平。但是由于比赛次数太少，商业价值不大，因此比赛组织者普遍采用“三局两胜”或“五局三胜”制决定胜负的方法，既令参赛选手满意，又被观众接受，组织者又有利可图。那么它对于双方选手来说真的公平吗?假设参赛的甲乙双方水平不相上下，即获胜的概率各占一半，皆为,则.而乙获胜的概率等于甲失败的概率，则.由上表明“三局两胜”制是公平的比赛制度。再看“五局三胜”的情况，此时.同样地.可见“五局三胜”制也是公平的比赛制度。再看如果是水平不同的两位选手在不同赛制下比赛结果的差异，假设在每一局比赛中甲获胜概率为p，乙获胜的概率为q，则在“三局两胜”赛制中, .而在“五局三胜”赛制中, 其中显然q=1-p，且假定。可以得到，即， .也就是水平较高的甲选手在“五局三胜”赛制下比“三局两胜”赛制下获胜的把握更大。从上面两例看来，有时看似公平的又不公平，看似不公平其实又是公平的，这就是概率。二、 靠买彩票发家致富靠谱吗? 在令人心动的彩票摇奖中，概率也同样可以应用。彩票现代城乡居民经济生活中的一个热点。“以小博大”的发财梦，是不少彩票购买者的共同心态。那么，购买彩票真的能让我们如愿以偿吗?目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。我们以“传统型”为例进行明。“传统型”采用“10 选6+1”方案：投注者从09十个号码中任选6 个基本号码（可重复），从04 中选一个特别号码，构成一注，根据连续中奖号码的个数确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如下表（X 表示不中的号码,?表示可以中或不中）。基本号码中，每一个号码的中奖概率为0.1，不中概率为0.9，在某个特定的中奖形式下（如表1，特、一等奖有1 种中奖形式，二等奖有2 种，三等奖有3 种，四等奖有4种，五等奖有5 种），连续n 个号码中奖的概率为，若这连续n 个中奖号码仅有一边（左边或右边）有不中的号码，则概率为，若两边都有不中的号码，则概率为；特别号码中奖概率为0.2，不中概率为0.8。从而计算出传统型彩票各等级中奖概率如下：由此看出，中奖概率非常小，几近于0，在概率中这称为小概率事件。也就是说只有极少数人能中奖，所以购买者应怀有平常心，既不能把它作为纯粹的投资，更不应把它当成发财之路。三、 抽奖有先后公平吗？在现实生活中，有许多抽奖的机会，但是很多情况下，抽奖是分先后的。那么，抽奖分先后对抽奖者都公平吗？下面用例子来说明。例如：如果有5 张可当场兑奖的彩票，其中2 张是有奖的。有甲、乙、丙、丁、戊5 人依次各抽一张彩票，甲中奖的概率为2/5。当已知甲中奖，乙再去抽奖，则乙的中奖概率1/4，乙似乎吃亏了；当已知甲没有中奖，乙再去抽奖的中奖概率2/4，乙似乎又占便宜了，你认为这样公平吗?解：这样的抽奖方案是公平的。因为这里的1/4和2/4分别是在已知甲中奖和甲没有中奖的情况下，乙中奖的条件概率，都不能算是这个抽奖方案中乙中奖的概率。因为甲中奖的概率是25,故出现“乙中奖概率为1/4”这件事的概率是2/5；同样，甲不中奖的概率为是3/5，故出现“乙中奖概率为2/4”这件事的概率是3/5，而“甲中奖”和“甲不中奖”是互斥事件。按互斥事件的和的概率计算方法可知，这个抽奖方案中乙中奖的概率应为2/51/4+ 3/5 2/4= 2/5 。由此可见，这个抽奖方案，每个人中奖概率都是一样的，与抽奖的次序无关，无论先抽还是后抽，对每个人都是公平的。在抽签摸奖过程中, 如果后摸的人不知道先摸的人的摸奖结果, 那么每人的中奖概率是相同的, 如果后摸的人知道先摸的人的摸奖结果, 中奖概率似乎会有所不同, 这是否会影响抽奖的公平性呢？如果有5 张可以兑奖的彩票, 其中二张是有奖的, 由甲、乙、丙、丁、戊五人依次各抽出一张彩票。甲中奖的概率为2/5, 当已知甲中奖乙再去抽奖, 则乙中奖的概率是1/4，乙 似乎吃亏了； 当已知甲没有中奖乙再去抽奖的中奖概率是2/4, 乙似乎又占便宜了。事实上 , 这里1/4 和2/4 分别是乙已知中奖的情况下乙中奖的条件概率, 都不能算是乙在这个抽奖方案中的中奖概率, 因为乙中奖有二种可能： “甲中奖前提下乙中奖” 和“ 甲没中奖而乙中奖” , 故乙中奖的概率应是如下计算：设甲、乙、丙、丁、戊五人中奖分别用A、B、C、D、E 表示, 并且按照甲、乙、丙、丁一、戊的次序先后抽取彩票, 则由于对于丙得奖概率也是如此：其中CBA 表示甲、乙、丙三人同时得奖, 这是不可能事件, CBA表示甲没得奖而乙和丙都得奖, CBA 表示甲和丙得奖而乙没得奖, CBA表示甲、乙、丙三人中只有丙得奖。 其中P(CBA)=0 同理可得， 可见，在这种情况下，还是公平的。 四、怎么估算湖中鱼的数量？收获季节，渔农常常要估计鱼塘中鱼的数量，来做出各项决定。那么，怎么估计鱼塘中鱼的数量呢？渔民常用一种称为“标记后再捕”的方法。先从湖中随意捕捉些鱼上来，比如捕到1000 条鱼，在每一条鱼的身上作记号后又放回湖中。隔一段时间,，又从湖中随意地捕捉一些鱼。如果第二次捕到200 条鱼，其中仅有10 条鱼有记号，那么你能预测该湖中的鱼有多少条吗？ 解：假设湖中的鱼的分布是均匀的，200 条鱼中有10 条有记号的，那么，每条有记号的鱼被捕到的概率是10/200 =1/20，若湖中有条鱼,其中1000 条鱼是有记号的，则每条有记号的鱼被捕到的概率是1000/n = 1/20 ,则n=2000，由此可预测该湖中大约有20000 条鱼。 事实上，湖中鱼的分布不可能非常均匀，因此渔民们常常重复这种方法多次，然后取所有这些结果的平均数，即可得到比较精确的预测。五、此时结束防火期合理吗？林火预报方法选择是进行林火预测预报的关键,全世界共有100 多种,我国也有十多种。在森林防火工作中不确定的随机现象广泛存在。一些不能准确预测未来或尚未发生的事件,例如防火戒严期及防火期的规定,野外用火许可证能否发放等事件,这类事件充满了不确定性 。我们可以利用火灾历史资料,通过统计学方法来找出林火发生发展规律,这是林火预报方法中最简单的一种研究方法。这种方法只需对过去林火发生的天气条件、地区、时间、次数、火因、火烧面积等进行统计分析,根据不同因素之间的相关性,利用概率计算,得到一个对应事件的概率,利用小概率原理对林火发生的可能性进行预估检验,验证工作的可行性及正确性,对森林防火工作提出防控措施 。虽然这种方法比较简单,但解决问题具有高效性、简捷性和实用性。案例一：根据历史资料,某林区平均每年发生12 次林火,而且12 次都发生在3 、4 月份,而不发生在6月。防火期或戒严期定为3 、4 月,问在6 、7 、8 月份结束防火期是否合理?A 假设:火灾每月都发生,排列为，火灾仅发生在3 、4 月份,排列为。火灾发生在3 、4 月份的概率： 根据小概率原理,推翻原假设,防火戒严期应该定在3 、4 月份。 B 假设:火灾每月都发生,排列为 。火灾不发生在6 、7 、8 月份,火灾只发生在其余9 个月,排列为 。火灾不发生在6 、7 、8 月份的概率根据小概率原理,原定假设为错误并推翻,结论为不应该6 、7 、8 月份结束防火期。六、目击证人的辨认正确吗？深夜,一辆出租车被牵扯进一起交通事故，某市有两家出租车公司，分别是红色出租车公司和蓝色出租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公司分别占整个城市出租车的85%和15%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的。经测试证人的辨别能力，测得他辨认的正确率为80%.于是，警察就认定红色出租车具有较大肇事嫌疑。请问，警察认定对红色出租车公平吗？真实颜色证人所说的颜色（正确率80%）蓝色红色合计蓝色680170850红色30120150合计7102901000解：设该城市有出租车1000 辆，那么依题意可得信息如表1。从表中可以看出，当证人说出租车是红色且它确实是红色的概率为120/290 0.41; 而它是蓝色的概率为170/290 0.59.在这种情况下，以证人的证词为推断的依据，对红色出租车公司显然不公平。 概率论不仅为人们研究科学和社会问题提供了有效和方法，更改变了人们看待世界的角度。这个世界不是绝对必然的，它充斥着大量的偶然性，所谓规律也只是在相当程度上被我们所接受和信任的命题而已。运用概率，我们就可以避免由归纳法和决定论带来的许多问题和争论。我们应该清楚一点：概率不可能由一个事件的发生而产生出来。在整个概率历史中，某个事件具有重要的意义，但不能认为，概率论就是由于这一事件的出现才诞生的，它是由于大量的随机事件产生概率从而就有了概率论这门学科。所以说，在概率论中最重要的是随机事件与概率，它们是紧密联系的一个整体。学好概率论最基本的就是正确理解随机事件与概率中的一些概念和能够灵活地运用到生活中。本文虽然对概率论中的一些概念进行了类比分析，但是并不能把它们彻底地分析透彻，所以说概率论中的许多知识都有待我们去探索研究。总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的威力。参考文献：1 李平龙“. 三局两胜、五局三胜”制公平吗？J.数学通讯，2001.222 张媛，概率在生活中的几个典型问题，J成才之路，2010.353 杨玉红，浅谈概率在生活中的应用，J经济研究导报，2010.184 蒋娟，身边的概率论与数理统计，J科技信息，2010.155 朱军红，抽奖中的概率问题，J常州工程职业技术学院学报，2005.26郭朋勃、田敏爵，小概率原理在林火预报中的应用，J陕西林业科技，2009.3