无穷级数总结.doc

无穷级数总结
一、 概念与性质
1. 定义：对数列,称为无穷级数,称为一般项；若部分和
数列有极限，即，称级数收敛，否则称为发散.
2. 性质
①设常数，则与有相同的敛散性；
②设有两个级数与，若,，则;
若收敛，发散,则发散；
若，均发散，则敛散性不确定；
③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性；
④设级数收敛,则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和．
注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散；
②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定．
⑤级数收敛的必要条件：；
注:①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散;
②若,则未必收敛；
③若发散，则未必成立．
二、 常数项级数审敛法
1. 正项级数及其审敛法
① 定义：若,则称为正项级数。
② 审敛法:
（i） 充要条件：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和数列有界。
（ii） 比较审敛法：设①与②都是正项级数,且，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散。
A. 若②收敛,且存在自然数,使得当时有成立,则①收敛；若②发散，且存在自然数,使得当时有成立,则①发散；
B. 设为正项级数，若有使得，则收敛；若,则发散。
C. 极限形式：设①与②都是正项级数，若，则
与有相同的敛散性。
注:常用的比较级数:
①几何级数：;
②级数：；
③ 调和级数：发散．
（iii）比值判别法(达郎贝尔判别法）设是正项级数，若
①，则收敛；②,则发散．
注：若，或，推不出级数的敛散。例与，虽然,，但发散，而收敛。
（iv）根值判别法（柯西判别法)设是正项级数,，若，级数收敛，若则级数发散．
（v)极限审敛法：设，且,则①且，则级数发散;②如果,而，则其收敛．（书上P317-2—（1）)
注：凡涉及证明的命题，一般不用比值法与根值法，一般会使用比较判别法．正项级数的比(根）值判别法不能当作收敛与发散的充要条件，是充分非必要条件．
2。交错级数及其审敛法
①定义：设，则称为交错级数。
②审敛法：莱布尼兹定理：对交错级数，若且,则收敛。
注：比较与的大小的方法有三种:
①比值法，即考察是否小于1;
②差值法，即考察是否大于0；
③由找出一个连续可导函数,使考察是否小于0．
3.一般项级数的判别法:
①若绝对收敛，则收敛。
②若用比值法或根值法判定发散,则必发散.
三、 幂级数
1. 定义:称为幂级数.
2. 收敛性
① 阿贝尔定理：设幂级数在处收敛，则其在满足的所有处绝对收敛．反之,若幂级数在处发散，则其在满足的所有处发散．
② 收敛半径
（i）定义：若幂级数在点收敛,但不是在整个实轴上收敛，则必存在一个正数，使得①当时,幂级数收敛;②当时,幂级数发散;称为幂级数的收敛半径.
（ii）求法：设幂级数的收敛半径为，其系数满足条件,或，则当时，;当时,，当时,．
注:求收敛半径的方法却有很大的差异．前一个可直接用公式,后一个则须分奇、偶项(有时会出现更复杂的情况）分别来求．在分成奇偶项之后，由于通项中出现缺项，由此仍不能用求半径的公式直接求，须用求函数项级数收敛性的方法．
(iii）收敛半径的类型
A.，此时收敛域仅为一点;
B。，此时收敛域为；
C。=某定常数，此时收敛域为一个有限区间．
3.幂级数的运算(略）
4.幂级数的性质
①若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内连续．
②若幂级数的收敛半径，则和函数在收敛区间内可导，且可逐项求导，即，收敛半径不变．
③若幂级数的收敛半径,则和函数在收敛区间内可积,且可逐项积分，即，收敛半径不变．
5.函数展开成幂级数
①若在含有点的某个区间内有任意阶导数，在点的阶泰勒公式为
,记，介于之间，则在内能展开成为泰勒级数的充要条件为.
②初等函数的泰勒级数
(i）；
（ii)；
（iii)；
（iv)；
（v）；
(vi）;.
6。级数求和
①幂级数求和函数解题程序
（i)求出给定级数的收敛域；
(ii）通过逐项积分或微分将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数与其导数的关系）,从而得到新级数的和函数;
注：系数为若干项代数和的幂级数，求和函数时应先将级数写成各个幂级数的代数和,然后分别求出它们的和函数，最后对和函数求代数和,即得所求级数的和函数．
②数项级数求和
(i)利用级数和的定义求和,即,则,其中
．根据的求法又可分为：直接法、拆项法、递推法．
A.直接法：适用于 为等差或等比数列或通过简单变换易化为这两种数列;
B。拆项法：把通项拆成两项差的形式，在求项和时，除首尾两项外其余各项对消掉．
(ii）阿贝尔法（构造幂级数法），其中幂级数，可通过逐项微分或积分求得和函数．因此．
四、 傅里叶级数
1. 定义
①定义1:设是以为周期的函数，且在或上可积，则
，
,
称为函数的傅立叶系数．
②定义2：以的傅立叶系数为系数的三角级数．
称为函数的傅立叶级数,表示为
．
③定义3：设是以为周期的函数,且在上可积，则以
，
为系数的三角级数
称为的傅立叶级数,表示为
．
2。收敛定理（狄里赫莱的充分条件)设函数在区间上满足条件
①除有限个第一类间断点外都是连续的；②只有有限个极值点，
则的傅立叶级数在上收敛，且有
.
3。函数展开成傅氏级数
①周期函数
（i)以为周期的函数：
,；
注:①若为奇函数,则（正弦级数），
;
②若为偶函数,则（余弦级数）,
，.
（ii)以为周期的函数：+
,；
注：①若为奇函数,则（正弦级数)，
;
②若为偶函数，则，（余弦级数)
,。
②非周期函数
（i）奇延拓：
A。为上的非周期函数，令，则除外在上为奇函数，（正弦级数），；
B.为上的非周期函数，则令，则除外在上为奇函数，（正弦级数)，.
(ii)偶延拓：
A.为上的非周期函数，令，
则除外在上为偶函数，（余弦级数)，。
B。为上的非周期函数，令,则
（余弦级数），。
注:解题步骤：
①画出图形、验证狄氏条件．画图易于验证狄氏条件，易看出奇偶性；
②求出傅氏系数;
③写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于．