立体几何公理、定理一览表(新).doc

立体几何公理、定理一览表
▲六个公理
1.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个面内。(P4)
2。如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。(P5）
3。经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。（P5)
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
4.平行于同一条直线的两条直线互相平行。(P10）
▲射影定理：1.从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，
（1)垂线段最短； （2）斜线段长相等射影长相等.（P24)
2。如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。（P26/eg。3)和（P29/11) *
▲唯一性定理:1。过一点有且只有一和一垂直。(P20)
2.过外一点有且只有一和已知平行.(P33/5） ＊
▲等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。(P10）
推论 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角）相等。（P11）
▲最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角.(P25）
▲三余弦定理：cos=coscos （其中、、分别是斜线与射影（即线与面)、射影与面内线、斜线与面内线所成的角)
关系
判 定 方 法
关系
判 定 方 法
线
在
面
内
1。公理1
2。过平面内一点,且平行于与此平面平行的一条直线的直线在此平面内。
3.过平面内一点，且垂直于与此平面垂直的一条直线的直线在此平面内。
4。如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。(P37/e。g2）
三点（线)共线（点）
公理2 （即三点(或两线的交点）在两面的交线上）
异面
1。反证法
2.过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。(P14/eg。3)
线 线 垂 直
1.一条直线垂直于两条平行直线中的一条，必垂直于另一条。
2。如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线和这个平面内的任何一条直线都垂直。(P20）
3.在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理)(P26）
4。在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。（三垂线逆定理）
5。三个平面两两互相垂直,则它们的三条交线也两两互相垂直。(P39/10)*
线线平行
1.公理4
2.如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.(P17）
3。如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。(P23)
4.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（P31)
线 面 平 行
1.如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(P17)
2.两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。(P31）
3.如果一个平面和不在这个平面内的直线都垂直于另一个平面，那么已知平面和这条直线平行。（P39/11)＊
4.如果一条直线上的两点在一个平面的同侧，并且到这个平面的距离相等，那么这条直线和平面平行。（P49)＊
线 面 垂 直
1。如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面。（P21）
2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。（P21/eg。1)
3.一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。（P31/eg.2)
4.如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。(P37)
5.同时垂直于一个平面的两个平面的交线也垂直于这个平面。(P39/9)＊
面面平行
1。如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。（P30）
2。垂直于同一条直线的两个平面平行。（P30/eg。1)
3.平行于同一平面的两个平面平行。
面面垂直
1。如果一个平面经过(或平行）另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。(P37） （或(P38/8） * ）
2。如果三条共点的直线两两互相垂直，则它们中每两条确定的三个平面也两两互相垂直。(P39/10） *
用“平移法”作异面直线所成的角，关键是选择适当的点，一般选在一对异面直线的一条线段的端点或中点；用“射影法”作斜线与平面所成的角，关键是垂足位置的确定;作二面角的平面角有三种方法,一是“定义法”，二是“垂线法",三是作棱的“垂面法"。求距离,找垂足或转换（利用平行间距离相等或三棱锥的顶点转换）；即：遇到求“距离、线面所成角、面面所成角”等，都要设法找到图中存在或隐藏的“线面垂直、面面垂直"关系.且要一作（找）、二证（说理)、三计算(平面分离）