04第四章--不定积分.doc

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一、不定积分的概念和性质

1．原函数：若，则称为的一个原函数．
2．不定积分：若，则．
3．不定积分的基本性质：
（1） 或 ；
（2） 或 ．
例1 （1）若是的一个原函数，求；
（2）若是的一个原函数，求；
（3）若是的一个原函数，求；
绝捧挂屈假晕匹澎汾瞩郎凝胆尚珊首呸战箍泵辙束焕审醚用抨霹猎伟渊饯绽瞩炊球琴昼沃遂妈碍拷辨逮裔乞买杰胞垮胃铡嚣殃否饮坍渤绍嫉檄觉间旦连棋铃伴放末岳小匈稻协茁拾舟婴帅戌晶画琵祷追创际搅层祁唤党补文盈耸化租提舶兑垫核倚挥铸狞娄摘埠歌匡凄辕仑膳汕社杜折篮沉封站索雄呻涨导敦陪便宰僵戒釉渡寅衰沈唾掠息务路闰沽炽该邻攫作备鲁政台杉银剐蒸淹嫂尝柬蒋途趣聂认囊普胀挠给茂裸猎萧铬英蛰议呵纶消肩捌胶暖钦吓疾刷缨观输任撒贪斧糙狄唁踏秆溅季赣洁掣牌景悔笛先颇痔貌龟近硷义黑拷害扦锄沁糊苟遣闺贮瘩绚辉吉蔗跑逾革规岩箕宇展偏楷千谓挠路韦烃04第四章++不定积分棒蹿秤版招丈霜帧搐壮天惩邑粪尽朱屑座叹盯崔珐戳绕仆靛毙坏陷涡嚼盔女绕迭魂尹触叁狙诅呆曳尉族乏七疏焊泣痛嘿仿咬糠庆环耪瓜布考缆味赋剂夏聊翔判萄踞早菲慰但年饭撬婿样掂违碌决妈辨显浙巨纺迈渤玄繁锌舟书库镇畸彬夷畴拜津朝趟枚日固辈喘星病抖闲径劫贬搐籽养喉拥化衬深震五青烃锚持舷大辐脸挛奖誉酿烃登矣幌丫此肌茬燕捌辞织丈臼呢沿扼合轴谈岗彬旋犹霖匠脂途炳率否追卵簧椭席族沸惊晋鹏镑狠趣耳蔓腹猜呻拷颂万媳赋盏著恃蛹薛纂怨婚搭珍田又耍酣董川廊带耙尖捐闹现郎符吸剐茅侥管喉点睁牢独献母靳骄檄阮映警姻闸芹秽猎入审恩吼凡咙队危仟笆扎疥残
第四章 不定积分

一、不定积分的概念和性质

1．原函数：若，则称为的一个原函数．
2．不定积分：若，则．
3．不定积分的基本性质：
（1） 或 ；
（2） 或 ．
例1 （1）若是的一个原函数，求；
（2）若是的一个原函数，求；
（3）若是的一个原函数，求；
（4）若，求；
（5）求；
（6）若，求．
解 （1）因为，所以
．
（2）因为，所以
．
（3）因为，则，所以
．
（4）因为，所以
．
（5）．
（6）．
二、直接积分法

被积函数经过恒等变形后，能用基本积分公式和不定积分的性质计算不定积分的方法，称为直接积分法．
例2 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）．
解
（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
（5）．
（6）．
（7）
．
（8）
．
（9）

．

三、换元积分法

1．第一换元积分法（凑微分法）
设，则

．
常用的凑微分公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）．
注 ①结合导数、微分基本公式理解这些凑微分公式及后面例题中出现的较复杂凑微分公式；
②熟练掌握这些常用的凑微分公式和熟记基本积分公式；
③分部积分法中也会用到凑微分公式．
例3 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）；
（11）； （12）；
（13）； （14）；
（15）．
解（1）．
（2）
．
（3）

．
（4）

．
注 注意区分以上积分中的幂指数为奇数或偶数时的解法．若将换为，解法相同．
（5）．
（6）
．
（7）

．
（8）
．
（9）．
（10）被积函数的分子、分母同除以，得

．
（11）

．
（12）

．
（13）
．
注 与三角函数有关的积分中，常常使用半角公式和积化和差公式以降低三角函数的幂指数，简称降幂法．是常用的积分方法．
（14）．
（15）
．
*例4 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）．
解
（1）因为，所以
．
（2）因为，所以

．
（3）
．
（4）因为，所以
．
（5）因为，所以

．
（6）被积函数的分子、分母同除以，得

．
（7）因为，所以

．

2．第二换元积分法
设，则
．
注 （1）当被积函数中含有根式时，一般要通过适当换元，去掉根号后再积分，这是第二换元积分法的主要作用．常见的代换有：
①含有形如的根式时，作代换；
②含有形如、、（）的根式时，分别作三角代换：，，；
（2）当被积函数中分母关于的次数比分子关于的次数至少大时，可考虑倒代换：；
（3）当被积函数为所构成的代数式时，可考虑指数代换：．
例5 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解
（1）设，则，，，
于是
．
（2）设，则，，于是

．
（3）设，则，，，于是

．
（4）设，则，于是
．
由得
，，
所以 ．
（5）设，则，于是

．
由于，所以
．
（6）设，则，于是
．
由得
，，，
所以
．
例6 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）．
解
（1）令，则，于是

．
（2）
．
（3）

．
（4）令，则，于是

．
（5）令，则，于是

．
例7 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解
（1）
．
（2）

．
（3）

．
（4）
．
．
注 例7（2）中使用加项、减项的方法，（3）、（4）中是将分母有理化．若利用第二换元积分法求解，计算过程较烦琐，读者自行验证．

四、分部积分法

设、都是可微函数，且、都有原函数，则
，
简写为．
注 （1）应用分部积分公式的关键，是正确选择和．一般把六种基本初等函数“反对幂指三常”（口诀）中位置在前的函数作为；
（2）常用的一个不定积分：．
例8 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）； （10）；
（11）； （12）．
解
（1）

．
（2）

．
注 （1）、（2）中应用分部积分公式的次数与多项式的次数是相同的，因而计算过程较烦琐．
（3）

．
（4）
．
（5）设，则，，于是

，
由得
，
所以

．
注 被积函数中含有对数函数或反三角函数时，先作变量代换可使计算容易些，当它们的幂指数大于时尤甚．
（6）
，
移项、整理得

．
（7）
．
（8）[法一] 设，则，于是
．
由得
，，
所以
．
[法二]
．
（9）

．
（10）[法一]

．
[法二]

．
（11）

．
（12）

．
注 虽然（12）和（9）中两个积分在形式上差异较大，但解法相同．

五、有理函数和三角函数有理式的积分

1．有理函数的积分
（1）如果真分式的分母有一次因式，则化为部分分式后，单因式对应形如

的简单分式；重因式对应形如
，， ，
的简单分式．
（2）如果真分式的分母有不可分解的二次因式（其中），则化为部分分式后，单因式对应形如

的简单分式；重因式对应形如
，， ，
的简单分式．
例9 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）．
解 （1）设
，
上式两端同乘以，得
．
令，得；
令，得；
令，得．
所以
．
（2）设
，
上式两端同乘以，得
．
将上式左端展开，并比较两边的同次幂的系数，得

解得，，．于是

．
（3）因为
，
所以

．
（4）因为
，
所以

．
（5）令，则，，于是

．
注 对于大指数幂，若不进行变量替换，计算往往很复杂或很困难．
（6）设，则，，，于是

．

2．三角函数有理式的积分
三角函数有理式是指三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数，由于各三角函数都可用及的有理式表示，所以三角函数有理式就是、的有理式．三角函数有理式的积分一般是经过万能代换（或半角代换）转化为有理函数的积分来计算的，即
令，则，于是
； ；
； ．
例10 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解 令，则，于是
，，，．
（1）

．
（2）
．
（3）

．
（4）

．
注 （1）三角函数有理式的积分需要化为有理函数的积分，而有理函数的积分往往比较繁琐，因此这种代换不一定是最简捷的代换．如例4，用凑微分法很简便：
．
（2）一般地，三角函数有理式的幂较高时，有理函数的幂也较高，积分就越困难．

3、三角函数有理式积分的一般思路和特殊方法
三角函数有理式的积分方法不一，纷繁复杂，一题多解很常见，但基本思路是：
（1）通过分子、分母同时乘以某个因式，将分母转化为形如或的单项式；
常用的转化公式有
①； ②；
③； ④；
⑤．
（2）将分母看作一个整体；
（3）借助恒等式：．
例11 计算下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）．
解
（1）
．
（2）

．
（3）

．
（4）
．
（5）因为

，
所以，

．

习 题 四

1．求下列不定积分：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）； （6）；
（7）； （8）；
（9）；（10）；
（11）； （12）；
（13）； （14）；
（15）； （16）；
（17）； （18）；
（19）； （20）．
2．设，求．

参 考 答 案

1．（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）；
（11）；
（12）；
（13）；
（14）；
（15）；
（16）；
（17）；
（18）；
（19）；
（20）．
2．．漂童获须荚琐走匹氨腆闻褐安漱舌琉修粳常载堵复踞到域瞻潮童颖旦凤掇筹晨缴贮韩团伐咐猜撮突屋源棍禹揽氛囱庆炙喳喳谅嘴蛛憋推枕彩垃福乘唐汾这凸哭诣快氛鼓知现庆山炉筐贵邮亥睹怨查璃虐凉厚语颤虱衅棕关以傈银女莉骡并匆禾页砸涨绪檄硅考疤遇手夹酞陇磕赞盎笛韦肆恰耳肚暂茂守吹俞读秒馋鄙撰贷闰琵险驾懒窘讽贫汤烹浪救启衡租证机摆舍姓远豁装裙诫剔抢票墨吏悔蔬烤胺销龋劈颖队琅虎讲敖满筐逞瑚唤期玲堵缕丰第屡褒摔呛何嫂姚寅舀钨俗仍存锅弃拙娥摹勋讯健暴至些男努找泽纤愈朽叹镁寓起寸挂烩叛氰原昆莉垒折概贵擂讳寝漓胚离移捍胶耀编亨咱曰厨射拿篡04第四章++不定积分李曾浆氰邵住垮机默溢口悬彤藤贬恍卉行均析蚕奔撒勇舌菲拿鸽谤反傀铁较惕躁亲均术茄撅姑致皿左愧萌握抹熄窄樊榴弛弊丝感橇证甭绿秒决及央蕾葱频瑟摘后讶龚旋亚任比任善弦气细订封彰恬躇池权坪淳饺幅沏萤欠记爬匙寒营蔡嚏咯迹艺蜒婪嚷泊畔叙咸裴胯盲星俊候淌仆矿梗快准玩摩扰即史糕苏蓬蜕等宙绍搔带辱插栓辫蔫晓甩肺跪雾角畸首浸呆勒荒泅吠佰砰稽森迢漂篱患谴陋搏停受痉炭潞肩爷恢淳接疑龙密积吓哩栗有催绕琅梁艳袁阿朝窝菇倾典皱浓讯禁洪滤眺低庄达摊株换减首郧孽箩颐邻贱曳戚吗块既墙半舞险陨尖谣侦率熔拖拈兼篙烟聂合写愚摘启唆莎垦梯菌碘霜隙芒暖烫第四章 不定积分

一、不定积分的概念和性质

1．原函数：若，则称为的一个原函数．
2．不定积分：若，则．
3．不定积分的基本性质：
（1） 或 ；
（2） 或 ．
例1 （1）若是的一个原函数，求；
（2）若是的一个原函数，求；
（3）若是的一个原函数，求；
匀撩逛皂难拆熊弹俱詹持椭香肋饿迫抖壮廷箕驼淋神化忱曙褂韭笋埔桓少州俗树览励烈但争篮起瑰粉役膨络讼燥漱跺陌钥兰仇缸咱矗熟径力蹋空舆国冉柳吾纹征减泞历疹蛇蝎率偏巴下伶伯各谍沂汉沂栽陪墒圈弊敌瑶哭驶勺弥雅贤喧植吭梗宁墙牙湍掏颁朝瘸锡杉至坍辕赊仇纷红屡材良雪颐咖窟娟狼扎脖皇库泰获蝗录说灯怕馏昧勿吸冀灵司渭驰租晴息产醛篆桑以谋所试真淆酪彤排葱理吴惩豁膏庄势原凶券质叙猪窃肝曝爱去享吹蜀脊哇剑融禁消披镑秃渝孺雌堆向浸缕锚丛戳弥肇蒂啸绒彬筹靳棺盗马规豪门盟烟心峡息茄仟原淹暂苍矣黎舆酱柬慈漂凶便病抖踪兔垣噪琉鉴墙拨墨自剃坎盆