抛物线线及抛物线性质教学教材.doc

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抛物线的定义及性质
一、抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。
标准方程
（）

（）
（）
（）

图形

焦点

准线

对称轴
轴
轴
顶点

离心率

例1、 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1） （2）

【练习1】
1、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（-2，-4）的抛物线方程。

2、若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程。

3、设抛物线过定点，且以直线为准线。求抛物线顶点的轨迹的方程；

二、抛物线的性质
例2、若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【练习2】
1、抛物线的焦点到准线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2、若抛物线上一点到其焦点的距离为，则点的坐标为（ ）。
A． B． C． D．
3、抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是 ( )
A、 B、 C、 D、
4、 设抛物线的焦点为F，准线为,P为抛物线上一点,PA⊥,A为垂足．如果直线AF的斜率为,
那么|PF|=( )
(A) (B)8 (C) (D) 16

三、抛物线中的最值问题
例3、若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取
得最小的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【练习3】
1、设为过抛物线的焦点的弦，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
2、若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取
得最小距离为
3、在抛物线上求一点p，使这点到直线的距离最短，则点P坐标为 。
4、已知，抛物线上的点到直线的最段距离
5、已知抛物线，点A(2,3)，F为焦点，若抛物线上的动点M到A、F的距离之和的最小
值为 ，求抛物线方程.

四、抛物线的应用
例4、抛物线上两点、关于直线对称，且，
则等于（ ）
A． B． C． D．
【练习4】
1、设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
2、设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于
，则的值为（ ）
8 18 4
3、已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程。

四、直线与圆锥曲线的位置关系
一、知识整理：
1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多数，并以椭圆、抛物线为载体较多。
多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。
2．解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤：
设线、设点， 联立、消元， 韦达、代入、化简。
第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b（或斜率不为零时，设x=my+a）；
第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x1,y1)B(x2,y2);
第三步：联立方程组，消去y 得关于x的一元二次方程；
第四步：由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件，
第五步：把所要解决的问题转化为x1+x2 、x1x2 ，然后代入、化简。
3．弦中点问题的特殊解法-----点差法：即若已知弦AB的中点为M(xo,yo)，先设两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得，两式相减、分解因式，再将代入其中，即可求出直线的斜率。
4.弦长公式:( k为弦AB所在直线的斜率)

例题分析
1、(2008海南、宁夏文)双曲线的焦距为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3 D. 4
2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的
直线与椭圆相交，一个交点为P，则= （ ）
A． B． C． D．4
3．（2006辽宁文）方程的两个根可分别作为（　　）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率
4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线交于A、B两点，过A、B两点向
抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q　，则梯形APQB的面积为（ ）
（A）48. （B）56 （C）64 （D）72.
5.(2007福建理)以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A. B.
C . D.
6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2005湖北文、理）双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（ ）
A． B． C． D．
8. (2008重庆文)若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为 ( )
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
9．（2002北京文）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么
双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．

10．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程的曲线大致是( )

11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的
标准方程是_________________________
12．(2008江西文)已知双曲线的两条渐近线方程为，
若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
13.（2007上海文）以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的
抛物线方程是 ．
14.(2008天津理)已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线 与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .
15（2010，惠州第二次调研）已知圆方程为：.
（1）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
（2）过圆上一动点作平行于轴的直线，设与轴的交点为，若向量，
求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.

16（2010，惠州第三次调研）已知点是⊙：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。
（1）求动点的轨迹方程；
（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。

17（2006北京文）椭圆C:的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆C于两点, 且A、B关于点M对称,求直线l的方程..

18（2010，珠海市一模）如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴负半轴上。过点作直线与抛物线相交于两点，且满足
．
(Ⅰ)求直线和抛物线的方程；
(Ⅱ)当抛物线上一动点从点向点运动时，求面积的最大值．

19(2010,广东六校第四次联考）已知动点的轨迹为曲线，且动点到两个定点的距离的等差中项为.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过圆的圆心与曲线交于两点，且(为坐标原点)，
求直线的方程.

20（2010，珠海二模文）已知两圆和，动圆P与⊙O1外切，且与⊙O2内切．
（1）求动圆圆心P的轨迹方程；
（2）过点M(5，0)作直线与点P的轨迹交于不同两点A、B，试推断是否存在直线，使得线段AB的垂直平分线经过圆心O2？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

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