中级微观经济学.doc

第二讲 间接效用函数与支出函数
第一节 间接效用函数
一、 间接效用函数的定义
直接效用函数：
x2

X2

x1
x0
X1
价格和收入发生变化后，消费者最优选择也会发生变化从而带来消费者效用的变化.也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数.记这种效用函数为：
间接效用函数：
间接效用函数的政策意义：通过价格政策(p）和收入政策（y)可以控制消费者行为。
二、间接效用函数的特征：
间接效用函数
1) 在上连续
2) 在上零次齐次性
3) 在上严格递增
4) 在上严格递减
5) 在上拟凹
6) 罗伊恒等式：如果在上可导，并且,有：
间接效用函数的特征
1、间接效用函数在上连续
最大值定理:如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续.
含义:当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。
2、间接效用函数在上零次齐次性
间接效用函数在上零次齐次性：
3、间接效用函数对于严格递增，
应用包络定理：
构造拉格朗日函数
根据包络定理,：的符号?
4.间接效用函数关于价格p递减
设用与（3）同样的方法可证:
〈0
5、间接效用函数在上拟凸
定义A1。27:一个函数是拟凸函数，当且仅当对于所有,有:.即凸组合的函数值小于其中一个的函数值。
6、罗伊恒等式：如果在上可导，并且，有：
。例题:
三、间接效用函数的应用
收入所得税vs。商品税
设效用函数为：
消费者效用最大化：
构造拉格朗日乘数,解得
如果p1=0。25，p2=1,y=2,代入效用函数有：
1、0. 5元收入所得税
2、对x1征收0.25元商品税
这时x1的购买量为:
税收总量=2＊0。25=0。5。与所得税相同。
商品税带来的效用损失大于所得税。
为什么？
第二节支出函数
一、 支出函数的定义

x*

给定价格实现某一效用水平所需的最小支出：
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数,最小支出为
支出函数为：
两元空间支出最小化：
x2

X0

X1

p0 p1

p0
p1

希克斯需求函数(补偿需求函数,或实际收入不变的需求函数）：效用函数严格单调递增,所以有唯一的无差异曲线与相对应,因此可以把所要实现的效用水平写作。
可以写为:
支出函数可以表述为在给定价格下,实现消费束所带来的效用,所需的最小支出.
三、支出函数的特征
1. 在取最低效用水平时,支出函数为零
2. 在定义域上连续
3. 对于所有的，支出函数在上递增并且关于u无上界
4. 在价格上递增
5. 在价格上一次齐次性
6. 如果效用函数严格拟凹，有谢泼特引理：
证明：
7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：
.根据包络定理.。。
例子：消费者的效用函数为，求希克斯需求函数和支出函数。
解：
构造拉格朗日函数，利用一阶条件,解得希克斯需求函数:
，

四、预算份额
预算份额：,即花在商品xi上的支出占总收入的份额。
例:Cobb-Douglass效用函数中的指数的经济含义
Cobb—Douglass效用函数:
求对应的需求函数:
如果
，即预算份额