北师大版七年级下册4.1三角形的认识讲义(无答案).doc

北师大版七年级下册 4.1 三角形的认识 讲义（无答案）
课时六：三角形的认识
【基础知识】
知识点1 三角形的定义
1、由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
表示：三角形可用符号“△”表示，如右图
三角形记作：△ABC

2、一个三角形有三条边，三个角、三个顶点
如图三角形中三边可表示为AB，BC，AC，顶点A所对的边BC也可表示为a，顶点B所对的边AC表示为b，顶点C所对的边AB表示为c
知识点2 三角形的性质
1、三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。
2、 三角形的内角关系：三角形内角和为
3、三角形的分类：三角形按内角的大小可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。其中直角三角形的两个锐角互余
知 知识点3 三角形的中线、角平分线和高线
三角形的重要线段
概念
图形
表示法

三角形的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段

∵AE是△ABC的AB上的高线.
∴CE⊥AB
∠AEC=∠BEC=90°.

三角形的中线

三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段

∵ AD是△ABC的BC上的中线.
∴ BD=CD= ½BC

三角形的角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段

∵.AE是△ABC的∠ABC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠ABC

结论总结：

锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
角平分线
（有几条，是否相交，交点在那）

中线

高线

【典例剖析】
例1、有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，
(1)再取一根长度为2cm的木棒，它们能摆成三角形吗？为什么？
(2)如果取一根长度为13cm的木棒呢？
(3)聪明的你能取一根木棒,与原来的两根木棒摆成三角形吗？
(4)要选取的第三根木棒的长度x要满足什么条件呢？

例2、若△ABC的三边长a,b,c都是正整数,且满足 . ,如果b=4,问这样的三角形有几个?

例3、已知一个三角形有两边相等，并且周长为56cm，两不等边之比为3︰2，求这个三角形各边的长。

例4、判断满足下列条件的是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形；
（1）
（2）
（3）
例5、三角形ABC的一个内角度数为，且，求的外角的度数。

变式1：在直角三角形中，两个锐角的差为40°，求这两个锐角的度数。

变式2：如右图，已知△ABC中，∠1=27°，∠2=85°，∠3=38°求∠4的度数
A
DA
CA
B

例6、1、如图1，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（     ）.
　　　A.高          B.角平分线 C.中线         D.不能确定

2、 如图2，已知∠1＝∠2，则AH必为三角形ABC的（     ）.　 　 A.角平分线        B.中线 C.一角的平分线     D.角平分线所在射线
3、如图3，AE⊥BC于E，试问AE为哪些三角形的高？

变式：如图，（1）共有 个直角三角形
（2）高AD、BE、CF相对应的底分别是 、 、 。
（3）AD=3、BC=6、AB=5、BE=4， 则S△ABC = 、CF = 、 AC =
例7、已知非直角三角形ABC中，，高BD和CE所在的直线交于H，求的度数。

例8、△ABC中，若∠A=800，I为三条角平分线交点，则∠BIC= ．
AA
B
DA
CA
例9、如图，的周长为9，AD为中线，的周长为8，的周长为7，求AD的长。

例10、 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，DE 平分∠ADC，且∠A＝40°，求∠BCD和∠CED.

【随堂练习】
知识点1 三角形的边
1、用木棒钉成一个三角架，两根小棒分别是7cm和10cm，第三根小棒可取（　　）
Ａ、２０ｃｍ 　Ｂ、 ３ｃｍ　 Ｃ、１１ｃｍ　 Ｄ、 ２ｃｍ
2、下列三条线段，不能组成三角形的是（ ）
A、 3 4 6 B 、 8 9 15 C 、20 18 5 D、 16 30 14
3、已知等腰三角形一边等于5cm，一边等于10cm，另一边应等于（　　）
Ａ、５ｃｍ　 　Ｂ、 １０ｃｍ　 Ｃ、５或１０ｃｍ　 Ｄ、 １２ｃｍ
4、一个三角形的两边分别是5cm和11cm，第三边的长是一个偶数，则第三边的长是（　　）
Ａ、２ｃｍ　　 Ｂ、 ４ｃｍ　　 Ｃ、６ｃｍ　　　 Ｄ、８ｃｍ
5、已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长x的取值范围 。
若x是奇数，则x的值是 。这样的三角形有 个；若x是偶数，则x的值是 ，这样的三角形又有 个。
6、一个等腰三角形的一边是2cm，另一边是9cm ,则这个三角形的周长是 cm
7、一个等腰三角形的一边是5cm，另一边是7cm ,则这个三角形的周长是 cm
8、(1)如图，以A、B、C、D、E中的任意3个点
为顶点的三角形共有_____个，请在图中画出这些三角形；
（2）在第（1）小题所画的图中，以DE为一边的三角形共有_____个，
它们是：___________________________.
知识点2 三角形的内角
1、在⊿ABC，∠A=80°，∠B=60°，则∠C= 。
2、在⊿ABC中，∠A=55°, ∠B=35°，则⊿ABC是 三角形。
3、在直角三角形中，一个锐角等于25°，另一个锐角= 。
4、在⊿ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠C= 。
5、有下列三个说法，其中正确的个数是：（ ）
①一个三角形的三个内角中最多有一个钝角 ②一个三角形的三个内角中至少有一个锐角
③一个三角形的三个内角中至少有一个直角
A．0 B.1 C.2 D.3
6、已知三角形的三个内角的度数之比是1：2：6，则这个三角形是 三角形。
7、在⊿ABC中，∠B=∠C=∠A，则∠A= ，∠B= ，∠C= 。
8、在⊿ABC中，∠B-∠A-∠C=30°，则∠B= 。
9、若三角形的一个内角是另外两个内角的差，则这个三角形是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不确定
40°
2
4
1

3
10、直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的2倍，求这个锐角的度数。
11、如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 。

知识点3 三角形的高线、中线、角平分线
1、如图1，AD是△ABC的∠A的平分线，若∠B=450，∠C=740，则∠ADB= ；
2、如图2，∠A=360，∠C=720，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数是 ；
3、如图3，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1= ，∠3= ，∠6= ；
A
B
C
D
图2
4、如图4，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，则AB=2 =2 ，BD= ，AE= ；
A
B
C
D
E
F
图4
图3
A
B
C
D
图1

6、如图AD、BE、CF分别是△ABC的高、中线、角平分线，下列表达式中错误的是（ ）
A、AE=CE B、∠ADC=90° C、∠CAD=∠CBE D、∠ACB=2∠ACF
7、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )

A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )

8、 如图，在三角形ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E.F为AB上的一点，CF⊥AD于H.下列判断正确的有（       ）.
（1）AD是三角形ABE的角平分线. （2）BE是三角形ABD边AD上的中线.
　（3）CH为三角形ACD边AD上的高.
　　 A.1个   B.2个   C.3个   D.0个
9、 如图所示，在△ABC中，∠B=，∠C=，AD中△ABC的角分线，∠BAC= ，∠ADC= ；
10、如图，已知在三角形ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数.

第8题 第9题 第10题

AA
B
DA
CA
11、如图，在中，，AD是的一条角平分线，求的度数。

【巩固练习】
1、三角形的三个内角中最多有 个锐角， 个钝角， 个直角；三角形的三个内角中最少有 个锐角。
2、如果一个三角形三个内角分别是450，450，900，那么这个三角形按角分类叫做 三角形。
3、如图1：△ABC中，BD＝CD，∠1＝∠2 ，那么ED可以看作是△ 的中线， 可以看作是△ABD的角平分线。

图1 图2
4、如图2：△ABC中，AD是角平分线，AE是高，已知∠B＝400，∠C＝700，求∠DAE的度数。

5、按图中所给的条件，可求出∠1＝ 、∠2＝ 、∠3＝ .

6、已知△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，那么这个三角形是 三角形；已知△ABC中，∠A＝400，∠B＝6∠C，则∠B＝ 。
7、三角形的两条边的长分别是2和7,第三条边的长x的取值范围是 。
8、等腰三角形的两条边长分别为4cm和7cm，那么这个等腰三角形的周长为 cm ；等腰三角形的两条边长分别为2cm和9cm，那么这个等腰三角形的周长为 cm 。
9、一个三角形的两条边的长分别是2和7 ，而第三边的长为奇数,那么第三边的长是 ；若三角形的两边长分别是2和5，且这个三角形的周长是偶数,那么第三边的长是 。
10、图中三角形的个数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
11、下面四个图形中，线段BE是⊿ABC的高的图是（ ）

A B C D
12、如图，为估计池塘岸边、两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点，测得米，米，、间的距离不可能是 （ ）
A．5米 B．10米 C． 15米 D．20米
13、三角形一个外角小于与它相邻的内角，这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．属于哪一类不能确定

14、如图，在△中，，EF//AB,,则的度数为（ ）
A． B. C. D.
15、如图，在⊿ABC中，AD是中线，则⊿ABD的面积 ⊿ACD的面积（填“＞”“＜”“＝”）
16、如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，
则∠CDF = 度。

（第15题图） （第16题图）
17、如图,已知∠B=38°,∠C=55°,∠DEC=23°,求∠F的度数．

18、如图,D是△ABC的边BC上一点,且∠B=∠1,求证:∠2=∠BAC．

【课后练习】
一、填空题
1、小亮、小丽和小军三位同学同时测量的三边长．小亮说：“三角形的周长是”，小丽说：“有一条边长为”，小军说：“三条边的长度是三个不同的整数”．请你回答，三边的长度应该是______．
2、三角形的两边分别为4和5，第三边为，则的取值范围是_________．
3、在△ABC中，AB=9，BC=2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长是_______．
4、△ABC中，∠A=∠B=∠C，则三个内角分别为___________．
5、一个三角形最多有__________个直角：有________个锐角；有_________个钝角．
6、在△ABC中，∠A－∠B=15°，∠C=75°，则∠A=__________，∠B=__________．
7、在中，是的倍，比还大．则这个三角形是______三角形．
8、在中，，，则____________．
9、两根木棒的长分别是2㎝和3㎝，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，且第三根木棒长x（㎝）是一个整数，则x是 ．
10、在中，若∠A：∠B：∠C=2：3：5，则此三角形按角分类应为
若= ＋，则此三角形是_______三角形；若＞ ＋，则此
三角形是_______三角形.
11、如左下图所示，在中，所对的角是______，在中，是_____的对边，在中，是_____的对边.

12、如右上图，以为一边的三角形共有__________个.
13、如左下图，在中，是中线，是角平分线，是高，填空：

（1）；（2）；
（3）；（4）.
14、 如右上图，，垂足为，若，，则____，____，______.
二、选择题
1、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A．2㎝，2㎝，5㎝ B．3㎝，4㎝，7㎝
C．4㎝，6㎝，8㎝ D．5㎝，6㎝，12㎝
2、如做下图所示，图中的三角形有（ ）
A.6个 B.8个 C.10个 D.12个

3、 如右上图所示，图中三角形的个数为（ ）.
（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个
4、△ABC中，三边长为a，b，c，且a>b>c，若b=8，c=3，则a的取值范围是（ ）
A.3<a<8 B.5<a<11 C.8<a<11 D.6<a<10
5、两根木棒的长分别是和，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒长的取值情况有（　　）
Ａ．种 Ｂ．种 Ｃ．种 Ｄ．中
6、已知的三边长，化简的结果是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7、钝角三角形的高在三角形外的条形是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8、已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
9、根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ）
（1）最小内角是20°； （2）最大内角是100°；
（3）最大内角是89°； （4）三个内角都是60°；
（5）有两个内角都是80°．
A．（1）、（2）、（3）、（4） B．（1）、（3）、（4）、（5）
C．（2）、（3）、（4）、（5） D．（1）、（2）、（4）、（5）
10、三角形中最大的内角不能小于（ ）
A.30º B.45º C.60º D.90º
11、 如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）（A）锐角三角形 （B）直角三角形 （C）钝角三角形 （D）不能确定
12、已知一个三角形三个内角度数的比是，则其最大内角的度数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
13、三角形的角平分线、中线、高线（ ）
A．每一条都是线段 B．角平分线是射线，其余是线段
C．高线是直线，其余为线段 D．高线是直线，角平分线是射线，中线是线段
14、下列各个图形中，哪一个图形中AD是△ABC中BC边上的高（ ）

15、给出下列结论：
①三角形的角平分线、中线、高线都是线段．
②直角三角形只有一条高线．
③三角形的中线可能在三角形的外部．
④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点．其中正确的共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16、如图1，AC为BC的垂线，CD为AB的垂线，DE为BC的垂线，D、E分别在△ABC的AB和BC边上，则下列说法中错误的为（ ）
A．△ABC中，AC是BC边上的高 B．△BCD中，DE是BC边上的高
C. △ABE中，DE是BE边上的高 D．△ACD中，AD是CD边上的高
三、解答题
图1
1、在中，如果，那么是什么三角形？

2、等腰三角形的周长为，其中一边长为，求其它各边长．

3、三角形中有一边比第二条边长3cm，这条边又比第三条边短4cm，这个三角形的周长为28cm，求最短边的长．
4、已知a，b，c为△ABC的三边，化简：|a+b-c|+|b-c-a|-|c-a-b|.

5、 画出钝角△ABC的高AD，角平分线BE，中线CF.
A
B
C

6、将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点．线都在同一平面内，回答下列问题：图中共有多少个三角形？请把它们一一写出来；

7、如图1所示，在中，已知，，是边上的高，是边上的高，是和的交点．求：，和．

8、如图所示，在某海面上，客轮C突然出现事故，马上向救护船B发出求救信号，由于救护船A离客轮C比救护船B要近，所以救护船B立即向救护船A发出信号，让其救护客轮C.已知救护船A在救护船B的北偏东45°方向上，客轮C在救护船B的北偏东75°上，经测量得=85°，问救护船A应沿南偏东多少度的方向驶向客轮C所用时间最短？

9、 一个等腰三角形的周长为28cm，有一边长为8cm，则这个三角形的边长是多少？
小明说应该这样解：当底边长为8cm时，设腰长为cm，则有，解得.所以这个三角形的各边长为10cm，10cm，8cm. 小华说应该这样解：当腰长为8cm时，设底边长为cm，则有，解得.所以这个三角形的边长为8cm，8cm，12cm.你认为他们的解法对吗？如果不对，正确的答案应该是什么？

- 8 - / 8