等差数列知识点总结.doc

太原志成学校 艺术类理科数学讲义
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
第一讲 数列定义及其性质
一、基本概念：
1、通项公式：； 2、前项和：
3、关系：
二、性质：
1、单调性：增数列：；减数列：；常数列：
2、最值：

3、前项积有最大值：
三、几种常见数列：
1、
2、
3、

4、
5、

★随堂训练：
1、已知数列通项公式是，那么这个数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列

2、已知数列满足，，那么这个数列是（ ）
A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列
3、已知数列通项公式是，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
4、已知数列通项公式是是数列的前项积，即，当取到最大值是，n的值为（ ）
5、设数列的前项和，则的值是（ ）
10

等差数列专题
一、等差数列知识点回顾与技巧点拨
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．

2．等差数列的通项公式
若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝(n－m)d＝p.

3．等差中项
如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和y的等差中项，则A＝.

4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；
若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．
5．等差数列的前n项和公式
若已知首项a1和末项an，则Sn＝，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．

7．最值问题
在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值，若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①
Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②
①＋②得：Sn＝.
两个技巧
已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元．
(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元
．
四种方法
等差数列的判断方法
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数；
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立；
(3)通项公式法：验证an＝pn＋q；
(4)前n项和公式法：验证Sn＝An2＋Bn.
注：　后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．

基础训练：（公式的运用，定义的把握）
1．已知等差数列{an}中，a3=9，a9=3，则公差d的值为（　　）

A．

B．
1
C．

D．
﹣1
2．已知数列{an}的通项公式是an=2n+5，则此数列是（　　）

A．
以7为首项，公差为2的等差数列
B．
以7为首项，公差为5的等差数列

C．
以5为首项，公差为2的等差数列
D．
不是等差数列
3．在等差数列{an}中，a1=13，a3=12，若an=2，则n等于（　　）

A．
23
B．
24
C．
25
D．
26
4．两个数1与5的等差中项是（　　）

A．
1
B．
3
C．
2
D．

5．（2005•黑龙江）如果数列{an}是等差数列，则（　　）

A．
a1+a8＞a4+a5
B．
a1+a8=a4+a5
C．
a1+a8＜a4+a5
D．
a1a8=a4a5

考点1:等差数列的通项与前n项和
题型1：已知等差数列的某些项，求某项
【解题思路】给项求项问题，先考虑利用等差数列的性质，再考虑基本量法
【例1】已知为等差数列，，则

对应练习：
1、已知为等差数列，（互不相等），求.

2、已知个数成等差数列，它们的和为，平方和为，求这个数.

题型2：已知前项和及其某项，求项数.
【解题思路】
⑴利用等差数列的通项公式求出及，代入可求项数；
⑵利用等差数列的前4项和及后4项和求出，代入可求项数.
【例2】已知为等差数列的前项和，，求

对应练习：
3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数.

4、已知为等差数列的前项和，，则 .
题型3：求等差数列的前n项和
【解题思路】（1）利用求出，把绝对值符号去掉转化为等差数列的求和问题.
（2）含绝对值符号的数列求和问题，要注意分类讨论.
【例3】已知为等差数列的前项和，.
（1） ； ⑵求；⑶求.

练习：

对应练习：5、已知为等差数列的前项和，，求.

考点2 ：证明数列是等差数列
【名师指引】判断或证明数列是等差数列的方法有：
1、 定义法：（，是常数）是等差数列；
2、中项法：()是等差数列；
3、通项公式法：（是常数）是等差数列；
4、项和公式法：（是常数，）是等差数列.
【例4】已知为等差数列的前项和，.求证：数列是等差数列.

对应练习：6、设为数列的前项和，，
（1） 常数的值； （2） 证：数列是等差数列.

考点3 :等差数列的性质
【解题思路】利用等差数列的有关性质求解.
【例5】1、已知为等差数列的前项和，，则 ；
2、知为等差数列的前项和，，则 .

对应练习：7、含个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的和之比为（ ）

8.设、分别是等差数列、的前项和，，则 .

考点4： 等差数列与其它知识的综合
【解题思路】1、利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；
2、求出后，判断的单调性.
【例6】已知为数列的前项和，；数列满足：，
，其前项和为
⑴ 数列、的通项公式；
⑵设为数列的前项和，，求使不等式对都成立的最大正整数的值.

课后练习：
1.(2010广雅中学)设数列是等差数列，且，，是数列的前项和，则
A． B． C． D．
2.在等差数列中，，则 .

3. 数列中，，当数列的前项和取得最小值时， .

4. 已知等差数列共有项，其奇数项之和为，偶数项之和为，则其公差是 .

5.设数列中，，则通项 .

对应练习：9.已知为数列的前项和，，.
⑴ 数列的通项公式；
⑵ 数列中是否存在正整数，使得不等式对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整数，若不存在，说明理由