西北大学2006年高等代数.doc

tianshui1001
西北大学2006年高等代数
一.(每小题5分,共20分)判断下列陈述是否正确,若正确,予以证明;若错误,请举出反例.
1.设,i=1,2,3;,j=1,2,3.如果,,线性相关,则,,线性相关
2.若实矩阵A,B都是正定矩阵,则AB也是正定矩阵
3. 正定的正交矩阵一定是单位矩阵
4.设f(x),g(x),d(x)都是数域P上的多项式,则d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式的充分必要条件是存在u(x)与v(x),使得
d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
二.(10分)设f(x)与g(x)是两个多项式,证明:如果|,则x-1|f(x)且x-1|g(x)
三.设是整数,i,j=1,2,…,n.证明:

四.齐次线性方程组

的系数行列式D=0,但D中有一个元素.证明:这个齐次线性方程组的解都可以写成的形式,这里k为任意数
五.(20分)设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵.证明:当且仅当秩(A)+ 秩(A+E)=n
六.(10分)设A=,B=是两个n阶方阵,若,,…,全为非零实数且A正定,求证B也正定
七.(10分)设,,…, 与,,…是两组n维向量,证明:若两个向量组都线性无关,则L(,,…, )L(,,…)的维数等于齐次线性方程组

的解空间的维数
八.(15分)设T为线性空间V的一个线性变换,并且.证明:
(1) ,这里表示T的核
(2) 及TV对V的线性变换S不变的充要条件是T与S可交换
九.(30分)设T是数域P上的四维线性空间V的线性变换(或自同态),,,,是V的一组基,并且
T()=+3-3+3, T()=3++3-3
T()= -3+3++3, T()=3-3+3+
(1) 写出T在基,,,下的矩阵A
(2) 求出A的全部特征向量和特征值;
(3) 试问A是否在某组基下为对角形矩阵B?如果是,求出对角形矩阵B及正交矩阵P,使
十.(15分)
(1)用非退化的线性替换化下列二次型为标准型:

(2)把上述二次型进一步化为规范型,分实系数、复系数两种情况,并写出所作的非退化的线性替换

QQ:364908172