高中数列知识点、解题方法和题型大全.doc

一 高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数的等差数列，有，.（7）项数为奇数的等差数列，有， ，.2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：（要注意！）性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为.注意：由求时应注意什么？时，；时，.二 解题方法1 求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列，求解 时， 时， 得：，练习数列满足，求注意到，代入得；又，是等比数列，时，（2）叠乘法 如：数列中，求解 ，又，.（3）等差型递推公式由，求，用迭加法时，两边相加得（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列，（5）倒数法如：，求由已知得：，为等差数列，公差为，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)2 求数列前n项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：是公差为的等差数列，求解：由练习求和：（2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. 如： 时，时，（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加练习已知，则 由原式(附：a.用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e.用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。)三 方法总结及题型大全方法技巧数列求和的常用方法一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1.等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 例1设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和已知，且构成等差数列（1）求数列的等差数列（2）令求数列的前项和解：（1）由已知得解得设数列的公比为，由，可得又，可知，即，解得由题意得故数列的通项为（2）由于由（1）得， 又是等差数列故练习：设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差数列求和公式得 ， （利用常用公式） 当 ，即n8时，二、错位相减法设数列的等比数列，数列是等差数列，则数列的前项和求解，均可用错位相减法。例2（07高考天津理21）在数列中，其中（）求数列的通项公式；（）求数列的前项和；（）解：由，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为（）解：设，当时，式减去式，得，这时数列的前项和当时，这时数列的前项和例3（07高考全国文21）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，（）求，的通项公式；（）求数列的前n项和解：（）设的公差为，的公比为，则依题意有且解得，所以，（），得，三、逆序相加法把数列正着写和倒着写再相加（即等差数列求和公式的推导过程的推广）例4（07豫南五市二联理22.）设函数的图象上有两点P1(x1, y1)、P2(x2, y2)，若,且点P的横坐标为.（I）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（II）若（III）略（I）,且点P的横坐标为.P是的中点，且由（I）知，（1）+（2）得：四、裂项求和法这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1）（2）（3）等。例5 求数列的前n项和.解：设 （裂项） 则 （裂项求和） 例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）求数列的通项公式；（）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）an-a(n-1)=3(n-1) 同样a(n-1)-a(n-2)=3(n-2) a(n-2(-a(n-3)=3(n-3) a3-a2=32 a2-a1=31 以上的n个等式的两边相加得到 An-a1=3+32+3(n-1)=3(1-3n-1)/(1-3)=(3n-1)/21判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法：对于n2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法：若 =+（n-1）d=+（n-k）d ，则为等差数列；若 ，则为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2. 在等差数列中,有关的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当0,d0时，满足的项数m使得取最大值.(2)当0时，满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。注意事项1证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明 或而得。2在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3注意与之间关系的转化。如：= ， =4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题例1.数列的前项和记为（）求的通项公式；（）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。解：（）由可得，两式相减得又 故是首项为，公比为得等比数列 （）设的公比为 由得，可得，可得故可设 又由题意可得 解得等差数列的各项为正， 例2.设数列的前项和为，且对任意正整数，。（1）求数列的通项公式？（2）设数列的前项和为,对数列，从第几项起？.解(1) an+ Sn=4096, a1+ S1=4096, a1 =2048. 当n2时, an= SnSn1=(4096an)(4096an1)= an1an = an=2048()n1. (2) log2an=log22048()n1=12n, Tn=(n2+23n). 由Tn,而n是正整数,于是,n46. 从第46项起Tn509.【问题2】等差、等比数列的判定问题例3.已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；（3）若（2）中的数列满足不等式|4，求的值(1) 证明 当n=1时,a2=2a,则=a； 2n2k1时, an+1=(a1) Sn+2, an=(a1) Sn1+2, an+1an=(a1) an, =a, 数列an是等比数列. (2) 解：由(1) 得an=2a, a1a2an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,2k).（3）设bn,解得nk+,又n是正整数,于是当nk时, bn. 原式=(b1)+(b2)+(bk)+(bk+1)+(b2k) =(bk+1+b2k)(b1+bk) =. 当4,得k28k+40, 42k4+2,又k2,当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立. 例 4。已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。分析：由于b和c中的项都和a中的项有关，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：1本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用【问题3】函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. 例5已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13122615，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）0 , anan1=5 (n2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列a13;当a1=2时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3例13.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（II）若数列满足证明是等差数（1）证明：是以为首项，2为公比的等比数列。（II）解：由（I）得（III）证明：，得 即，得 即 是等差数列。例14.已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3.()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由。解：（I）由已知得 又是以为首项，以为公比的等比数列.（II）由（I）知，将以上各式相加得： （III）解法一：存在，使数列是等差数列.数列是等差数列的充要条件是、是常数即又当且仅当，即时，数列为等差数列.解法二：存在，使数列是等差数列.由（I）、（II）知，又当且仅当时，数列是等差数列.例15 （1）在0，3上作函数y=f(x)的图象 （2）求证： （3）设S(a) (a0)是由x轴、y=f(x)的图象以及直线x=a所围成的图形面积，当nN*时，试寻求与的关系解：（1）当n=1即0x1时，f(x)=x+f(0)=x 当n=2即1x2时，f(x)=2(x1)+f(1)=2x2+1=2x1当n=3即20又 （3）由（1）图象中可知：S(n)S(n1)表示一个以f(n1)、f(n)为底，n(n1)=1为高的梯形面积（当n=1时表示三角形面积），根据（*）可得 S(n)S(n1)=又可得 S(n)S(n1)= 数列专题作业1已知数列满足：. （1）求数列的通项公式； （2）设，试推断是否存在常数A，B，C，使对一切都有成立？说明你的理由； （3）求证：解：（1）由已知是公比为2的等比数列，又（2）若恒成立.，故存在常数A、B、C满足条件（3） 2已知函数对于任意（），都有式子成立（其中为常数）（）求函数的解析式； （）利用函数构造一个数列，方法如下：对于给定的定义域中的，令， 在上述构造过程中，如果（=1，2，3，）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果不在定义域中，那么构造数列的过程就停止.（）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求的取值范围；（）是否存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为，都可用上述方法构造出一个无穷数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（）当时，若，求数列的通项公式解：（）令（），则，而，故=， =（） （）（）根据题意，只需当时，方程有解， 亦即方程 有不等于的解 将代入方程左边，左边为1，与右边不相等故方程不可能有解由 =，得 或，即实数a的取值范围是 （）假设存在一个实数，使得取定义域中的任一值作为x1，都可以用上述方法构造出一个无穷数列，那么根据题意可知，=在R中无解，亦即当时，方程无实数解由于不是方程的解，所以对于任意xR，方程无实数解，因此解得 即为所求的值 （）当时，所以，两边取倒数，得，即所以数列是首项为，公差的等差数列故，所以，即数列的通项公式为 3在各项均为正数的数列中，前n项和Sn满足。（I）证明是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n项和的公式；（II）在XOY平面上，设点列Mn（xn，yn）满足，且点列Mn在直线C上，Mn中最高点为Mk，若称直线C与x轴、直线所围成的图形的面积为直线C在区间a，b上的面积，试求直线C在区间x3，xk上的面积；（III）是否存在圆心在直线C上的圆，使得点列Mn中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。解：（1）由已知得故 得结合，得 是等差数列 又时，解得或又，故（II）即得点设，消去n，得即直线C的方程为又是n的减函数M1为Mn中的最高点，且M1（1，1）又M3的坐标为（，）C与x轴、直线围成的图形为直角梯形从而直线C在，1上的面积为（III）由于直线C：上的点列Mn依次为M1（1，1），M2（，），M3（，），Mn（），而因此，点列Mn沿直线C无限接近于极限点M（，）又M1M的中点为（，）满足条件的圆存在事实上，圆心为（，），半径的圆，就能使得Mn中任何一个点都在该圆的内部，其中半径最小的圆为4已知定义在R上的单调函数，存在实数，使得对于任意实数总有恒成立.（1）求x0的值.（2）若，且对任意正整数n，有，记，比较与Tn的大小关系，并给出证明；（3）若不等式对任意不小于2的正整数n都成立，求x的取值范围.解：（1）令，得 令，得 由，得 为单调函数，（2）由（1）得， 又又， ，（3）令，则当时， 即 解得或5在等差数列中，其中是数列的前项之和，曲线的方程是，直线的方程是。（1）求数列的通项公式；（2）当直线与曲线相交于不同的两点，时，令，求的最小值；（3）对于直线和直线外的一点P，用“上的点与点P距离的最小值”定义点P到直线的距离与原有的点到直线距离的概念是等价的，若曲线与直线不相交，试以类似的方式给出一条曲线与直线间“距离”的定义，并依照给出的定义，在中自行选定一个椭圆，求出该椭圆与直线的“距离”。解：（1），又， ，。 （2），由题意，知，即，或，即或，即或时，直线与曲线相交于不同的两点。，时，的最小值为。 （3）若曲线与直线不相交，曲线与直线间“距离”是：曲线上的点到直线距离的最小值。 曲线与直线不相交时，即，即， 时，曲线为圆，时，曲线为椭圆。 选，椭圆方程为，设椭圆上任一点，它到直线的距离，椭圆到直线的距离为。 （椭圆到直线的距离为）6直线与x轴、y 轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）（1）求和的值； （2）求及的表达式； （3）对个整点中的每一个点用红、黄、蓝、白四色之一着色，其方法总 数为An，对个整点中的每一个点用红、黄两色之一着色，其方法总数为Bn，试比较An与Bn的大小解：（1）时，直线上有个点，直线上有 ，直线上有，直线上有 （2）时， 时，当时， 当 时也满足， （3）； 当时， 当且时， 7我们把数列叫做数列的k方数列（其中an0，k，n是正整数），S（k，n）表示k方数列的前n项的和。 （1）比较S（1，2）S（3，2）与S（2，2）2的大小； （2）若的1方数列、2方数列都是等差数列，a1=a，求的k方数列通项公式。 （3）对于常数数列an=1，具有关于S（k，n）的恒等式如：S（1，n）=S（2，n），S（2，n）=S（3，n）等等，请你对数列的k方数列进行研究，写出一个不是常数数列的k方数列关于S（k，n）的恒等式，并给出证明过程。解：（1）S（1，2）= S（1，2）S（3，2）S（2，2）2= = （2）设 则 得 2d2=0，d=p=0 （3）当an=n时，恒等式为S（1，n）2=S（3，n）证明：相减得： 相减得： 8设向量， (n为正整数)，函数在0，1上的最小值与最大值的和为，又数列满足： (1) 求证：(2) (2)求的表达式(3) 若，试问数列中，是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？证明你的结论（注：与表示意义相同）解 (1)证：对称轴， 所以在0，1上为增函数 ， (2)由得 = 两式相减得(3)由(1)与（2）得设存在自然数，使对，恒成立当时，当时，当时，当时，当时， 所以存在正整数，使对任意正整数，均有 9已知函数.(1)数列满足: ,若对任意的恒成立,试求的取值范围;(2)数列满足: ,记,为数列的前项和, 为数列的前项积,求证.解:(1)因为,所以.于是, 为等比数列,所以,从而,有.故.(2)因为 ,所以, ,.即有.由,显然,知,即.因为,所以 .10设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点）的个数为f(n)(nN*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式； （2）设bn=2nf(n)，Sn为bn的前n项和，求Sn； （3）记，若对于一切正整数n，总有Tnm成立，求实数m的取值范围.解（1） f(1)=3 f(2)=6 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 f(n)=3n （2）由题意知:bn=3n2n Sn=321+622+923+3(n1)2n1+3n2n 2Sn=322+623+3(n1)2n+3n2n+1Sn=321+322+323+32n3n2n+1 =3（2+22+2n）3n2n+1 =3 =3(2n+12)3nn+1Sn=(33n)2n+16Sn=6+(3n3)2n+1 （3） 11已知数列中，且点在直线上. （1）求数列的通项公式； （2）若函数求函数的最小值； （3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由解：（1）由点P在直线上，即，且，数列是以1为首项，1为公差的等差数列 ，同样满足，所以 （2） 所以是单调递增，故的最小值是 （3），可得， ，