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物理竞赛模拟练习 （22）
第一题、、一圆盘上有一黑色的扇形，圆心角为，圆盘绕通过圆心而与平面垂直的轴转动，如图一，转数n=1500r/min.若在暗室中以每秒闪100次光照射，而每次闪光延续的时间为0.003S.问：
在圆盘上将可看见什么现象？
如圆盘的转速为则结果如

第二题、如图所示，24条电阻均为R的电阻丝构成一个正八棱柱的形状,求此框架的AA’和AE’间的等效电阻和.

第三题 一只凸透镜的镜面半径为10.0 cm，焦距为100 cm，利用此透镜来焦聚太阳光.已知在地球上所见太阳直径的张角为0.533°，问：
(1)在透镜的焦点面上，所形成的太阳的像，其面积的大小为何？
(2)假设太阳是一个理想的黑体，其表面温度约为6000 K，现将一块和太阳的像同大的黑纸板，放在透镜焦点面上太阳成像的位置处，则黑纸板上因阳光聚焦所可能达到的最高温度为何？（若T为理想黑体的温度，则黑体每单位面积的辐射功率为）
(3)在上题的计算中，你忽略了哪些因素？

第五题、
1．由固态导热材料组成的长方体容器被一块隔板等分为两个互不连能的部分，其中分别贮有相等质量的干燥空气和潮湿空气，在潮湿空气中水汽质量占2％.若隔板可自由无摩擦地沿器壁滑动,试求达到平衡后干燥空气和潮湿空气所占体积的比值。
2．如图所示，一个绝热的气缸，活塞可在气缸内无摩擦地移动，活塞外面是大气，大气压强为P0，开始时活塞被固定，气缸内盛有n摩尔理想气体，该气体由双原子刚性分子组成,且已知的其压强为P1=5P0，温度T1=350K，体积V1=7L.今释放活塞，让它自由移动.则当活塞再次平衡时，气缸内气体的温度和体积各为多少?

第四题、一质量为m 的人站在一以角速度 w 旋转的厚度质量均匀，质量为2m，半径为R的圆台上。圆台与中心转轴间无磨擦。该人离圆台中心距离为r < R，并带有10颗质量为0.1m的石子。
(a) 求整个系统的角动量矩L。
为了减速该人准备向外扔石子。石子扔出时相对于他的速度为v，方向与半径方向成夹角q。
(b) 求当他扔了一石子后圆台的角速度， 并找出使角速度减少最多的夹角qmax。
(c) 求当他以qmax扔光石子后圆台的角速度。
第四题答案：

第六题
x
O
y
v0
c
a
b
y
d
七、（25分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻， 金属杆ab和cd分别位于x = x0和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L．今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速．设导轨足够长，也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的．杆与导轨之间摩擦可不计．求任意时刻两杆的位置xab和xcd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系．

物理竞赛模拟练习 （22）参考答案
第一题、解：n=1200r/min=25r/S,即圆盘转动一周需时间。由题意，圆盘每转一周经历4次闪光，故在圆盘上可看到4个不动的模糊的黑色的扇形。由于闪光延续的时间为0.003S，故此时黑色扇形的圆心角约为

看到的图形如图二所示。
如圆盘转速，由于转盘较上述的慢，所以模糊的扇形未能到达不动的扇形的位置，故扇形好像沿圆盘转动的相反方向转动。因为后者比前者的转数相差30r/min,故转动的频率为：
第二题.。
第三题 解： (1)如图所示，设为太阳半径，L为地球和太阳之间的距离，为地球上所见太阳直径的张角，r为太阳所成像的半径.则:
由图中的三角关系可得
太阳的像面积为:
或r=0.47cm
(2)设T0=为太阳表面的温度，P0为太阳每秒内所辐射出的能量，则

由于收集阳光的透镜面积=，式中R为透镜镜面的半径，则透镜每秒内所接受的能量，也就是焦点面上黑板每秒内所吸收的能量,为

设黑纸板的温度为T，因黑纸板有两面，所以其辐射功率为
当黑纸板达成热平衡时,能量的吸收功率等于辐射功率， 即P1= P2

(3)在题(2)的计算中所忽略的因素:大气层对阳光的吸收；透镜对阳光的吸收；透境的球面像差；黑纸板不一定为理想黑体；空气的对流可能带走黑纸板上的热量；周围环境对黑纸板的辐射.
第四题、解：
1．平衡后隔板两面的压强相等，对于干空气有：
对于湿空气，由道尔顿分压原理：其中有空气的分压满足:
水气的分压满足: ，是湿空气的体积 由以上各式可得：
2．过程中,外界对系统所做的功为:.
由热力学第一定律:
再由克拉珀龙方程: ，
由以上各式可得:，
第五题、解： (a) 整个系统的角动量矩

(b) 石子的相对轴向速度和相对切向速度为, .
一个石子带走的角动量矩 , and

当他扔了一石子后圆台的角速度.
因此, 使角速度减少最多的夹角qmax＝900则 .
(c) 当他以qmax投掷第2个石子时角动量矩的变化
和
于是

当他扔光10个石子后圆台的角速度.
第六题.、解法Ⅰ：
当金属杆ab获得沿x轴正方向的初速v0时，因切割磁力线而产生感应电动势，由两金属杆与导轨构成的回路中会出现感应电流．由于回路具有自感系数，感应电流的出现，又会在回路中产生自感电动势，自感电动势将阻碍电流的增大，所以，虽然回路的电阻为零，但回路的电流并不会趋向无限大，当回路中一旦有了电流，磁场作用于杆ab的安培力将使ab杆减速，作用于cd杆的安培力使cd杆运动．
设在任意时刻t，ab杆和cd杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），当v1、v2为正时，表示速度沿x轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势 (1)
当回路中的电流i随时间的变化率为时，回路中的自感电动势 (2)
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有 (3)
金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为VC，有 (4) 得 (5)
VC方向与v0相同，沿x轴的正方向．
现取一新的参考系，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点，取坐标轴与x轴平行．设相对系，金属杆ab的速度为u，cd杆的速度为，则有
(6) (7)
因相对系，两杆的总动量为零，即有 (8)
由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得 (9)
在系中，在t时刻，金属杆ab坐标为，在t＋Dt时刻，它的坐标为，则由速度的定义 (10) 代入 (9) 式得 (11)
若将视为i的函数，由（11）式知为常数，所以与i的关系可用一直线方程表示
(12)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝0时刻，金属杆ab在系中的坐标＝，这时i = 0，故得 (13) 或 (14)
表示t＝0时刻金属杆ab的位置．表示在任意时刻t，杆ab的位置，故就是杆ab在t时刻相对初始位置的位移，用X表示， (15)
当X>0时，ab杆位于其初始位置的右侧；当X<0时，ab杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得(16) 这时作用于ab杆的安培力 (17)
ab杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab的运动是简谐振动，振动的周期
(18)
在任意时刻t， ab杆离开其初始位置的位移 (19)
A为简谐振动的振幅，j 为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab杆的振动速度
(20)
(19)、(20)式分别表示任意时刻ab杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t＝0时刻，ab杆位于初始位置，即 X = 0 速度
故有
解这两式，并注意到(18)式得 (21) (22)
由此得ab杆的位移 （23）
由 (15) 式可求得ab杆在系中的位置 (24)
因相对质心，任意时刻ab杆和cd杆都在质心两侧，到质心的距离相等，故在系中，cd杆的位置 (25)
相对地面参考系S，质心以的速度向右运动，并注意到（18）式，得ab杆在地面参考系中的位置 (26)
cd杆在S系中的位置 （27）
回路中的电流由 (16) 式得 (28)
解法Ⅱ：
当金属杆在磁场中运动时，因切割磁力线而产生感应电动势，回路中出现电流时，两金属杆都要受到安培力的作用，安培力使ab杆的速度改变，使cd杆运动．设任意时刻t，两杆的速度分别为v1和v2（相对地面参考系S），若规定逆时针方向为回路电动势和电流的正方向，则由两金属杆与导轨构成的回路中，因杆在磁场中运动而出现的感应电动势为
(1’)
令u表示ab杆相对于cd杆速度，有 (2’)
当回路中的电流i变化时，回路中有自感电动势EL，其大小与电流的变化率成正比，即有
(3’)
根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有
由式(2’)、(3’)两式得 (4’)
设在t时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为，在t＋Dt时刻，ab相对于cd杆的距离为＋，则由速度的定义，有
(5’)
代入 () 式得 (6’)
若将视为i的函数，由(6’)式可知，为常量，所以与i的关系可以用一直线方程表示，即 (7’)
式中b为常数，其值待定．现已知在t＝0时刻，金属杆ab相对于cd杆的距离为，这时i = 0，故得 (8’) 或 (9’)
表示t＝0时刻金属杆ab相对于cd杆的位置．表示在任意时刻t时ab杆相对于cd杆的位置，故就是杆ab在t时刻相对于cd杆的相对位置相对于它们在t＝0时刻的相对位置的位移，即从t＝0到t＝t时间内ab杆相对于cd杆的位移 (10')
于是有 (11’)
任意时刻t，ab杆和cd杆因受安培力作用而分别有加速度aab和acd，由牛顿定律有
(12’) (13’)
两式相减并注意到()式得 (14’)
式中为金属杆ab相对于cd杆的加速度，而X是ab杆相对cd杆相对位置的位移．是常数，表明这个相对运动是简谐振动，它的振动的周期 (15’)
在任意时刻t，ab杆相对cd杆相对位置相对它们初始位置的位移 (16’)
A为简谐振动的振幅，j 为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得X随时间的变化率即速度 (17’)
现已知在t＝0时刻，杆位于初始位置，即X = 0，速度故有
解这两式，并注意到(15’) 式得

由此得 (18’)
因t = 0时刻，cd杆位于x = 0 处，ab杆位于x = x0 处，两者的相对位置由x0表示；设t时刻，cd杆位于x = xcd 处，ab杆位于x = xab处，两者的相对位置由xab－xcd表示，故两杆的相对位置的位移又可表示为X = xab－xcd－x0 (19’)
所以 (20’)
(12’)和(13’)式相加, 得
由此可知，两杆速度之和为一常数即v0，所以两杆的位置xab和xcd之和应为xab＋xcd = x0＋v0t (21’)
由(20’)和(21’)式相加和相减，注意到(15’)式，得 （22’）
（23’）
由(11’)、（19’）(22’)、(23’)式得回路中电流 （24’）
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