清华附中高一上学期数学期末考试试题含详细解答.doc

清华附中高一数学期末2015年1月
一．选择题（共5小题）
1．（2015•山东）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（　　）
A．1 B． C． D．

2．（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）

3．（2015•武清区模拟）要得到函数y=cosx的图象，只需将函数的图象上所有的点的（　　）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度

4．（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟

5．（2014•梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
　（3）下列函数中为偶函数的是（）
（A）y=x²sinx （B）y=x²cosx （C）Y=|ln x| （D）y=2x

　7． 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是
A． B．
C． D．

二．填空题（共4小题）
6．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=xsinx，x∈R，则f（），f（1），f（）的大小关系为

7．（2012•封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是　　　　　　．

8．（2013•桃城区校级一模）设函数f（x）=2sin（x+）．若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为　　　　　　．

9．（2015春•贵港期中）设定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sinx的图象交于点P2，则线段PP2的长为　　　　　　．
　（10）2-3,3错误!未找到引用源。,log25三个数中最大数的是
14．设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．

三．解答题（共4小题）
10．（2014秋•淮阴区校级月考）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低处．
（1）试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m．

11．（2012春•抚顺期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出其所有对称中心；
（Ⅱ）若g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，求g（x）的单调递增区间．

12．（2009•杨浦区一模）研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）的变化规律是：y=m2x+21﹣x（x≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求经过多少时间，该温度为5摄氏度；
（2）若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

13．（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

　（15）（本小题13分）
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值。

15．（13分）已知函数．
(Ⅰ) 求的最小正周期； (Ⅱ) 求在区间上的最小值．

2015年08月20日1482572436的高中数学组卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）
1．（2015•山东）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（　　）
A．1 B． C． D．
【考点】函数的值；分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】开放型；函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．
【解答】解：函数f（x）=，若f（f（））=4，
可得f（）=4，
若，即b＜，可得，解得b=．
若，即b＞，可得，解得b=﹣（舍去）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点函数值的求法，考查分段函数的应用．

2．（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】可得f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．
【解答】解：∵f（x）=﹣log2x，
∴f（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：C
【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．

3．（2015•武清区模拟）要得到函数y=cosx的图象，只需将函数的图象上所有的点的（　　）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，可得结论．
【解答】解：将函数的图象上所有的点的坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数y=sin（x+）的图象；
再把所得图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（x++）=cosx的图象，
故选：A．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

4．（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（　　）

A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】推理和证明．
【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．
【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，
解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，
∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．

5．（2014•梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（　　）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有
【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据题意：“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．
【解答】解：根据题意：当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，
可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，
则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x
由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，
看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．
如图，
观察图象可得：它们的交点个数是：2．
即f（x）的“友好点对”有：2个．
故答案选 C．
【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．

二．填空题（共4小题）
6．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=xsinx，x∈R，则f（），f（1），f（）的大小关系为
　f（）＞f（1）＞f（）　
【考点】正弦函数的单调性；函数单调性的性质．菁优网版权所有
【分析】判断函数f（x）=xsinx是偶函数，推出f（）=f（），利用导数说明函数在[0，]时，得y′＞0，函数是增函数，
从而判断三者的大小．
【解答】解：因为y=xsinx，是偶函数，f（）=f（），又x∈[0，]时，得y′=sinx+xcosx＞0，所以此时函数是增函数，
所以f（）＜f（1）＜f（）
故答案为：f（）＞f（1）＞f（）．
【点评】本题是基础题，考查正弦函数的单调性，奇偶性，导数的应用，考查计算能力，导数大于0，函数是增函数，是解题的关键．

7．（2012•封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是　2　．
【考点】扇形面积公式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，
求出l和r，由弧度的定义求α即可．
【解答】解：S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．

8．（2013•桃城区校级一模）设函数f（x）=2sin（x+）．若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为　2　．
【考点】三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先求出函数的周期，对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，说明f（x1）取得最小值，f（x2）取得最大值，然后求出|x1﹣x2|的最小值．
【解答】解：函数f（x）=2sin（x+）的周期T==4，
对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
说明f（x1）取得最小值，
f（x2）取得最大值，|x1﹣x2|min==2．
故答案为：2
【点评】本题是基础题，考查函数的周期，对表达式对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立的正确理解，是解题的关键，是突破口，|x1﹣x2|的最小值就是半周期．

9．（2015春•贵港期中）设定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sinx的图象交于点P2，则线段PP2的长为　　．
【考点】余弦函数的图象；正切函数的图象．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】先将求P1P2的长转化为求sinx的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sinx的值，从而得到答案．
【解答】解：线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=，故线段P1P2的长为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查考查三角函数的图象、体现了转化的数学思想，属于基础题．

三．解答题（共4小题）
10．（2014秋•淮阴区校级月考）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低处．
（1）试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m．

【考点】已知三角函数模型的应用问题．菁优网版权所有
【专题】综合题；数形结合；函数思想；转化思想；数形结合法．
【分析】（1）由图形知，可以以点O在地面上的垂足为原点，OP所在直线为y轴，过O在地面上的投影且与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，由起始位置在最低点，故可以得出点P的坐标，再由摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，知T=3，可得角速度为弧度/分，再结合摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，即可得出确定在时刻tmin时P点距离地面的高度的函数；
（2）由（1）中的函数，令函数值大于70解不等式即可得出P点距离地面超过70m的时间．
【解答】解：（1）由图形知，可以以点O为原点，OP所在直线为y轴，与OP垂直的向右的方向为x轴建立坐标系，由题意
P（﹣，﹣40），A=40，T=3，可得ω=，故有点P离地面的高度h=40sin（t﹣）+50，即t时刻点P离地面的高度h=40sin（t﹣）+50
（2）令40sin（t﹣）+50＞70得sin（t﹣）＞，即有＜t﹣＜，解得1＜t＜2，在旋转一圈的三分钟的时间里，从一分钟开始高度大于70，二分钟开始高度小于70，故高度大于70的时间一周中有一分钟．
答：一周中有一分钟的时间高度超过70m．
【点评】本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的坐标系，得出相应的函数的模型，作出正确的示意图，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．

11．（2012春•抚顺期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出其所有对称中心；
（Ⅱ）若g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，求g（x）的单调递增区间．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】（Ⅰ）利用函数的图象得到A，T，求出ω，利用函数图象经过的特殊点，求出φ，即可求出函数f（x）的解析式并写出其所有对称中心；
（Ⅱ）通过g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，推出g（x）=﹣f（8﹣x），求出g（x）的解析式，然后求解单调递增区间．
【解答】解：（Ⅰ）由图可得A=，，∴T=16，ω=，…（2分）
则此时f（x）=，将点（2，）代入可得，
∵|φ|＜，解得φ=．…（4分）
∴f（x）=； …（5分）
对称中心为（8k﹣2，0）k∈Z …（7分）
（Ⅱ）由g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，得g（x）=﹣f（8﹣x）…（10分）
∴g（x）=﹣==…（12分）
令，k∈Z得6+16k≤x≤14+16k，k∈Z，
∴g（x）的单调递增区间是[6+16k，14+16k]，k∈Z．…（14分）
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，函数的对称性以及单调性的应用，考查计算能力，转化思想．

12．（2009•杨浦区一模）研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）的变化规律是：y=m2x+21﹣x（x≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求经过多少时间，该温度为5摄氏度；
（2）若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
【考点】函数模型的选择与应用．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】（1）将m=2，x=5代入y=m2x+21﹣x（x≥0，并且m＞0）．解指数方程即可求出x的值；
（2）问题等价于m2x+21﹣x≥2（t≥0）恒成立，求出m2x+21﹣x的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．
【解答】解：（1）由题意，当m=2，则2•2x+21﹣x=5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
解得x=1或x=﹣1； 由x≥0，∴x=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
故经过1时间，温度为5摄氏度；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由题意得m2x+21﹣x≥2对一切x≥0恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
则 由2x＞0，得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
令t=2﹣x则0＜t≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
当时，取得最大值为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
∴故的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
【点评】本题的考点是函数模型的选择与运用，主要考查了函数模型的选择，不等式的实际应用，以及恒成立问题，同时考查了转化与化归的思想，属于中档题．

13．（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．
【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）f（0）≥1⇒﹣a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，
（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．
（3）h（x）≥1转化为3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．
【解答】解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1
（2）当x≥a时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴，
如图所示：

当x≤a时，f（x）=x2+2ax﹣a2，
∴．

综上所述：．
（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，
得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2
当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；
当﹣＜a＜时，△＞0，得：
即
进而分2类讨论：
当﹣＜a＜﹣时，a＜，
此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当﹣≤x≤时，＜a＜；
此时不等式组的解集为[，+∞）．
综上可得，
当a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；
当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．
【点评】本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．