年全国新课标2卷高考文科数学及答案.pdf

2015 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试(新课标卷新课标卷)数学数学(文科文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟第卷第卷一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合，则()30|,21|xxBxxA BAA(1,3)B(1,0)C(0,2)D(2,3)2若为实数，且，则()aiiai312aA4 B3 C3 D43 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是()A逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著B2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效C2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4向量，则()1,1a2,1baba2A1 B0 C1 D2-2-5设是等差数列的前项和，若，则()nS nan3531aaa5SA5 B7 C9 D116.第 6 题图一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.B.C.D.181716157已知三点，则外接圆的圆心到原点的距离为01，A30，B32，CABC()A.B.C.D.53213253438.第 8 题图右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为 14,18，则输出的()aA0 B2-3-C4 D149已知等比数列满足，则()na411a14453aaa2aA2 B1 C.D.121810已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为 36，则球O的表面积为()A36 B64 C144 D25611.如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点 点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx，将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()12.设函数，则使得成立的x的取值范围 2111lnxxxf 12 xfxf是()A.B.(13，1)，131-C.D.(13，13)，3131-第卷第卷二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)-4-13已知函数的图象过点，则_.xaxxf234,1-a14若x，y满足约束条件Error!Error!则的最大值为_yxz 215已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程34，xy21为_16已知曲线在点处的切线与曲线相切，则xxyln 1,1122xaaxy_.a三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)中，是上的点，平分，ABCDBCADBACDCBD2(1)求CBsinsin(2)若，求60BACB18.(本小题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A，B 两地区分别随机调查了 40 个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频数分布表-5-图B 地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频数28141062015新课标卷第 4 页(1)在图中作出 B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)图-6-(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由19.(本小题满分 12 分)如图，长方体中，,1111DCBAABCD 16AB10BC，点,分别在,上，.过点,的平面与81AAEF11BA11CD411FDEAEF此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值-7-20.(本小题满分 12 分)已知椭圆：的离心率为，点C12222byax0.ba22在C上22，(1)求的方程；C(2)直线 不过原点O且不平行于坐标轴，与有两个交点,，线段的llCABAB中点为.证明：直线的斜率与直线 的斜率的乘积为定值MOMl21.(本小题满分 12 分)已知函数 xaxxf1ln(1)讨论的单调性；xf(2)当有最大值，且最大值大于时，求的取值范围 xf22 aa请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,O 与ABC 的N NM MGOFEDCGOFEDCB BA A-8-底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相切于 E,F 两点.（I）证明.EFBC（II）若 AG 等于O 的半径,且,求四边形 EDCF 的面积2 3AEMN23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线（t为参数,且）,其中,在以OxOy1cos,:sin,xtCyt0t 0为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 23:2sin,:2 3cos.CC（I）求与交点的直角坐标；2C3C（II）若与 相交于点 A,与相交于点 B,求最大值1C2C1C3CAB24.(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明：(1)若abcd，则；abcd-9-(2)是|ab|cd|的充要条件abcd2015新课标卷第 8 页-10-1、选 A2、故选 D3、选 D4、选 B5、解：在等差数列中，因为.,5525)(,1,335153531AaaaSaaaa故选所以6、解：如图所示，选 D.7、选 B.8、故选 B.9、解：因为所以，),1(4,414531aaaaan满足故选 C.21241,2,2),1(4123144424qaaqqaaaaa所以，所以又解得10、解：因为 A,B 都在球面上，又所以为该球面上动点，CAOB,90三棱锥的体积的最大值为，所以 R=6，所以球的表面积为3661213132RRRS=，故选 C.14442R11、解：如图，当点 P 在 BC 上时，,tan4tan,tan4,tan,22xxPBPAxPAxPBxBOP当时取得最大值，4x51以 A,B 为焦点 C,D 为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点 P 在 C,D 之间移动时 PA+PB.51又函数不是一次函数，故选 B.)(xfxPOxPOD DC CB BA A-11-12、解：因为函数时函数是增函数是偶函数，),0,11)1ln()(2xxxxf故选 A.131,)12(,12)12()(22xxxxxxfxf解得第二卷一、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分13、答：a=-214、解：当 x=3,y=2 时，z=2x+y 取得最大值 8.15、解：设双曲线的方程为.43,4),0(422kkkyx）代入方程，解得，点（1422yx双曲线的标准方程为16、解：.122,11xyxy，切线方程为切线的斜率为.8120.08,08,021)2(12222axyaaaaaaxaxxaaxyxy所以与切线平行，不符。时曲线为或解得由联立得与将二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）17、解：（）由正弦定理得,sinsinABACCB再由三角形内角平分线定理得，21BDDCABAC.21sinsinCB（）120,60CBBAC.30,33tan,sin2)120sin(,sin2sin.21sinsin1BBBBBCCB展开得）得由（18、解：（1）B 地区频率分布直方图如图所示-12-比较 A,B 两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A 地区评分均值为 45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5 分B 地区评分均值为 55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5 分A 地区用户评价意见较分散，B 地区用户评价意见相对集中。（2）A 地区的用户不满意的概率为 0.3+0.2+0.1=0.6，B 地区的用户不满意的概率为 0.05+0.20=0.25，所以 A 地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19、解：（I）在 AB 上取点 M,在 DC 上取点 N，使得AM=DN=10,然后连接 EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF，即平面。（II）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，即.971261041121EMBBAMEASSVV20、解、（I）如图所示，由题设得,22ac又点的坐标满足椭圆的方程，所以，12422ba联立解得：.148,4,82222yxCba的方程为：所以切线（II）设 A,B 两点的坐标为.,2211mnknmMyxyxom）的坐标为（点），（,82,8222222121yxyx则上面两个式子相减得：.2222121.0)()(22121121221222122nmnmyyxxxxyyxxyy变形得F FE ED D1 1C C1 1B B1 1A A1 1D DC CB BA A-13-（定值）.21)2(1212mnnmmnxxyykkoml21、解：已知.ln1f xxax .),1()1,0)(00)(0.1)()1(上是减函数上是增函数，在在（时，函数当）上是增函数；，在（时，函数当aaxfaxfaaxxf（II）由（1）知，当.ln1)1(1)(0aaafaxxfa时取得最大值在时，函数.01ln,22ln1aaaaa整理得由.1,0(,10),1()(,0)1(0)(,0)(,00,11,1ln)(）即上述不等式即函数。又）是增，在（）（则设aagaggxgxgxaxxgxxxg请考生在请考生在 22、23、24 题中任选一题作答题中任选一题作答,如果多做如果多做,则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分,作答时请写清题作答时请写清题号号22、（I）证明：由切线的性质得 AE=AF，所以AEF 是等腰三角形，又 AB=AC,所以EFABCAEFACAFABAE,.BC（II）解：,ROGOEAGAEOEOE则连接22)32(4,2222OMRRRROA，.,6030,.31030cos,5121,321都是等边三角形，AEFABCBACBADABOEADABRADODMNMD.331660sin322160sin3102122EBCFS四边形N NM MG GO OF FE ED DC CB BA A-14-23.在直角坐标系中,曲线（t 为参数,且）,其中,xOy1cos,:sin,xtCyt0t 0在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 23:2sin,:2 3cos.CC（I）求与交点的直角坐标；2C3C（II）若与 相交于点 A,与相交于点 B,求最大值.1C2C1C3CAB解：（I）曲线 的直角坐标方程是23:2sin,:2 3cos.CC.032:;0:222221xyxCyyxC.23230,0,.23,23.0,021），、（）交点的直角坐标为（联立解得CCyxyx（II）曲线.001），（的极坐标方程为RC.465.)3sin(4cos32sin2,cos32,sin2取得最大值，最大值为时，当所以）的极坐标为（点）的极坐标为（因此点ABABBA24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式证明选讲设 均为正数,且.证明：,a b c dabcd（I）若,则；abcdabcd（II）是的充要条件.abcdabcd24、证明：（I）因为,2,222cddcdcabbaba）（由题设知.,dcbacdabdcba（II）（必要性）.4)(4)(,)()(,2222cddcabbadcbadcba变形得则若-15-.1,dcbacdabdcba）得由（充分性）若22,dcbadcba则.444.,2222222dcbadccddcabdcabbabacdabdcbacddcabba成立的充要条件。是所以，dcbadcba