一类分数阶p-拉普拉斯方程组解的存在性.pdf

2024 年 3 月伊犁师范大学学报（自然科学版）Mar.2024第 18 卷 第 1 期Journal of Yili Normal University（Natural Science Edition）Vol.18 No.1一类分数阶p-拉普拉斯方程组解的存在性潘柔1，陈林1,2*（1.伊犁师范大学 数学与统计学院，新疆 伊宁835000；2.伊犁师范大学 应用数学研究所，新疆 伊宁835000）摘要：主要研究一类分数阶p-拉普拉斯方程组边值问题，运用山路定理与埃克兰变分原理，证明了该方程组至少存在两个非平凡的弱解.关键词：p-拉普拉斯方程组；山路定理；埃克兰变分原理中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：2097-0552（2024）01-0027-080引言引言近年来，对分数阶Sobolev空间与相对应的非局部微分方程的研究越来越被人们关注，此类问题除了在纯数学方面的应用外，在金融和材料科学等具体领域也有广泛应用1.Goyal与Sreenadh2构造了Nehari流形，用纤维映射的方法研究了方程()spu=|uq-2u+|ur-2u,x ,u=0,x Rn（1）非负解的存在性.其中是Rn中的光滑有界区域，1 q p且p r 0，且0 1 p r ps，s是()0,1中取定常数，1 q 1，1满足p 收稿日期：2023-06-15基金项目：新疆维吾尔自治区自然科学基金资助项目（2022D01C459）.作者简介：潘柔（1999），女，江西上饶人，研究方向：偏微分方程及其应用.*通信作者：陈林（1978），男，山东成武人，研究方向：偏微分方程及其应用.伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年+0是两个参数，()-sp是被定义为()-spu(x)=2 lim 0RnB()x|u()y u()xp-2()u()y u()x|xyn+psdy,x Rn的分数阶p拉普拉斯算子.设Ws,p()是通常的分数阶Sobolev空间，在其上赋予范数 uWs,p()=uLp()+()|u()x-u()yp|x-yn+psdxdy1p，（4）则空间Ws,p()关于范数（4）可以构成一个Banach空间.设Q=R2n()，=Rn，定义X=u|u:Rn R,u|Lp(),Q|u()x u()yp|xyn+psdxdy .空间X上的范数定义为 uX=uLp()+()Q|u(x)-u(y)p|x-yn+psdxdy1p.（5）记函数空间X0为C0()在X中的闭包.对任意,0，定义,X0=Q|(x)-(y)p-1()(x)-(y)|x-yn+psdxdy.（6）由文献 7 中的定理6.5与定理7.1可知，X0是空间X0中的内积，空间X0关于范数 uX0=()Q|u(x)-u(y)p|x-yn+psdxdy1p（7）构成一个Hilbert空间，且范数（7）与范数（4）等价7.因为u=0a.e在Rn，从而（5）（6）（7）中的积分可以扩展到整个Rn上.由文献 2 与 7 知，对任意r 1,p，嵌入X0Lr()是连续的，且对任意r)1,p*是紧的.设S是嵌入X0L+()的最佳Sobolev常数.有关空间X和X0的更多性质参见文献 7 及其参考文献.设E=X0 X0，则空间E是自反的Banach空间，其上的范数定义为()u,v=()upX0+vpX01p=()Q|u(x)-u(y)p|x-yn+psdxdy+Q|v(x)-v(y)p|x-yn+psdxdy1p.（8）为研究问题的方便，作如下假设：(H1)l1(x),l2(x)L()，其中，=+-1.定义1设(u,v)E，对(,)E有Q|u(x)-u(y)p-2(u(x)-u(y)(x)-(y)|x-yn+psdxdy+Q|v(x)-v(y)p-2(v(x)-v(y)(x)-(y)|x-yn+psdxdy28潘柔，陈林：一类分数阶p-拉普拉斯方程组解的存在性第1期=(|uq-2u+|vq-2v)dx+2+|u-2u|vdx+2+|u|v-2vdx+l1(x)(x)dx+l2(x)(x)dx成立，则称(u,v)E是问题（3）的弱解.1基本引理基本引理设问题（3）的能量泛函为J,:E R，具体定义为J,(u,v)=1pQ|u(x)-u(y)p|x-yn+psdxdy+1pQ|v(x)-v(y)p|x-yn+psdxdy-1q(|uq+|vq)dx-2+|u|vdx-l1(x)u(x)dx-l2(x)v(x)dx，(u,v)E.（9）直接计算可得J,C1(E,R)且对任意(,)E，有=Q|u(x)-u(y)p-2(u(x)-u(y)(x)-(y)|x-yn+psdxdy+Q|v(x)-v(y)p-2(v(x)-v(y)(x)-(y)|x-yn+psdxdy-(|uq-2u+|vq-2v)dx-2+|u-2u|vdx-2+|u|v-2vdx-l1(x)(x)dx-l2(x)(x)dx.（10）由弱解的定义可知，问题（3）的能量泛函J,在空间E中的临界点即为问题（3）在空间E中的弱解.因此，要证明问题（3）在空间E中存在弱解，只需证明问题（3）的能量泛函J,在空间E中存在临界点.记S为嵌入X0L+()的最佳Sobolev常数，即对任意u X0有 uL+()=(|u+dx)1+S-1p uX0=S-1p(Q|u(x)-u(y)p|x-yn+psdxdy)1p.（11）引理1（山路定理）9设E是一实Banach空间，J C1(E,R)且J(0,0)=0，假定J(u,v)满足(PS)条件且(1)存在,0使当(u,v)E=时，有J(u,v)；(2)存在(e1,e2)E，(e1,e2)E 使得J(e1,e2)0，使得当0 pp-q+pp-q 且 l1p+l2p m0时，J,(u,v)满足引理1的假设条件(A1)-(A2).证明：设条件(H1)成立，由Hlder不等式与（11）式，有(|uq+|vq)dx S-qp|+-q+(pp-q+pp-q)p-qp(u,v)qE.29伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年由Young不等式可得|u|vdx +|u+dx+|v+dx S-+p(u,v)+E，且有|l1(x)|u(x)dx l1(x)u(x)+l1(x)S-1p(u,v)(u,v)pE+Cl1(x)p.同理可得|l2(x)|v(x)dx l2(x)v(x)+l2(x)S-1p(u,v)(u,v)pE+Cl2(x)p，从而有J,(u,v)=1p(u,v)pE-1q(|uq+|vq)dx-2+|u|vdx-l1(x)u(x)dx-l2(x)v(x)dx1p(u,v)pE-1qS-qp|+-q+(pp-q+pp-q)p-qp(u,v)qE-2+S-+p(u,v)+E-2(u,v)pE-C(l1(x)p+l2(x)p).（12）取0 0).（13）由（13）式可知，为证明引理1中的条件(A1)成立，只需证明存在z1=(u,v)E 0，使得g(z1)0.令C1=(q-p)(+)2q(p-)，C2=(1qC1q-p+-q+2+C1+-p+-q)1S|+-p+，从而存在正数=(12C2)p(+-q)(p-q)(+-p)，使得当0 pp-q+pp-q 时，有g(z1)0，使 得 当0 pp-q+pp-q 0，从而J,(t1,t2)=tpp(1,2)pE-1q(tq|1q+tq|2q)dx-2t+|1|2dx-l1(x)t1dx-l2(x)t2dx=tpp(1,2)pE-tqq(|1q+|2q)dx-2t+|1|2dx-t(l1(x)1dx+l2(x)2dx).因为1 q p +p*，所以当t +时，J,(t1,t2)-.因此，存在足够大的t，使得J,(t1,t2)0.取(e1,e2)=(t1,t2)E，则J,(e1,e2)0，引理1中的条件(2)满足.引理3设条件(H1)成立，则由（9）式所定义的泛函J,在E上满足(PS)条件.证明：设(un,vn)是泛函J,在空间E上的(PS)c序列，即当n 时，J,(un,vn)c，J,(un,vn)0.首先证明(un,vn)在E上有界.对充分大的n，有c+1+(un,vn)E J,(un,vn)-1+J,(un,vn),(un,vn)=1p(un,vn)pE-1q(|unq+|vnq)dx-2+|un|vndx-l1(x)un(x)dx-l2(x)vn(x)dx-1+(un,vn)pE-(|unq+|vnq)dx-2+|un|vndx-2+|un|vndx-l1(x)un(x)dx-l2(x)vn(x)dx=(1p-1+)(un,vn)pE+(1+-1q)(|unq+|vnq)dx+(1+-1)(l1(x)un(x)dx+l2(x)vn(x)dx)(1p-1+)(un,vn)pE+(1+-1q)S-qp|+-q+(pp-q+pp-q)p-qp(u,v)qE+(1+-1)S-1p(u,v)E(l1(x)+l2(x).由1 q p可知，(un,vn)是有界的，因此，存在(u,v)E及(un,vn)的一个子列（仍记为(un,vn)），使得在X0中unu，vnv.令Pn=J,(un,vn),(un-u,vn-v)31伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年=Q|un(x)-un(y)p-2(un(x)-un(y)(un-u)(x)-(un-u)(y)|x-yn+psdxdy+Q|vn(x)-vn(y)p-2(vn(x)-vn(y)(vn-v)(x)-(vn-v)(y)|x-yn+psdxdy-|unq-2un(un-u)+|vnq-2vn(vn-v)dx-2+|un-2un|vn(un-u)dx-2+|un|vn-2vn(vn-v)dx-l1(x)(un-u)dx-l2(x)(vn-v)dx.（14）由于E*中，J,(un,vn)0(n )，从而Pn 0(n ).由于在X0中unu，vnv，故当n 时有Qn=Q|u(x)-u(y)p-2(u(x)-u(y)(un-u)(x)-(un-u)(y)|x-yn+psdxdy+Q|v(x)-v(y)p-2(v(x)-v(y)(vn-v)(x)-(vn-v)(y)|x-yn+psdxdy0.（15）令Tn=Q|un(x)-un(y)p-2(un(x)-un(y)(un-u)(x)-(un-u)(y)|x-yn+psdxdy+Q|vn(x)-vn(y)p-2(vn(x)-vn(y)(vn-v)(x)-(vn-v)(y)|x-yn+psdxdy.（16）由文献 9 中的引理8可得：当n 时，|un-2un|vn(un-u)dx 0，（17）|un|vn-2vn(vn-v)dx 0.（18）由Hlder不等式，当n 时，有|unq-1(un-u)dx (|unqdx)q-1q(|un-uqdx)1q 0.（19）同理可得，当n 时，有|vnq-1(vn-v)dx 0.（20）由Hlder不等式，|l1(x)|un-u dx l1(x)un-u+.由于X0L+()，unu在X0，则unu在L+()，当n 时，|l1(x)|un-u dx 0.（21）同理可得，当n 时，|l2(x)|vn-v dx 0.（22）由（14）（16）（22）可知，当n 时，Tn0.令32潘柔，陈林：一类分数阶p-拉普拉斯方程组解的存在性第1期Tn-Qn=Q(|un(x)-un(y)p-2(un(x)-un(y)-|u(x)-u(y)p-2(u(x)-u(y)(un-u)(x)-(un-u)(y)|x-yn+psdxdy+Q(|vn(x)-vn(y)p-2(vn(x)-vn(y)-|v(x)-v(y)p-2(v(x)-v(y)(vn-v)(x)-(vn-v)(y)|x-yn+psdxdy.由（15）与Tn0得，Tn-Qn0(n ).对于任意,Rn，有不等式9|p-2-|p-2,-Cp|-p,p 2;|p-2-|p-2,-Cp|-2(|+|)p-2,1 p 2.（23）由不等式（23）可知，Tn-Qn CpQ|(un-u)(x)-(un-u)(y)p|x-yn+psdxdy+CpQ|(vn-v)(x)-(vn-v)(y)p|x-yn+psdxdy0，即当n 时，(un-u,vn-v)E 0.因此，J,在E上满足(PS)条件.2主要结论主要结论本文的主要结论如下：定理1假设条件(H1)成立，则存在正数和m0，使得当0 pp-q+pp-q，l1p+l2p 0.接下来，证明问题（3）的存在异于(u1,v1)另一个解(u2,v2)E.选取(1,2)C0()C0()，使得l1(x)1dx+l2(x)2dx 0.由于1 q p +p*，从而在t很小时，有J,(t1,t2)=tpp(1,2)pE-tqqQ(|1q+|2q)dx-2t+|1|2dx-t(l1(x)1dx+l2(x)2dx)0成立.因此，对任意开球B，有-c=infBJ,(u,v)0，使得c=inf(u,v)BJ,(u,v)0.（24）令n0，使得0 n inf(u,v)BJ,(u,v)-inf(u,v)BJ,(u,v).（25）由埃克兰变分原理，存在(un,vn)，使得c J,(un,vn)c+n.（26）对任意(u,v)B，u un，v vn有J,(un,vn)J,(u,v)+n(un-u,vn-v).（27）由（24）（25）（26）知33伊犁师范大学学报（自然科学版）2024年J,(un,vn)c+n inf(u,v)BJ,(u,v)+ninf(u,v)BJ,(u,v).故(un,vn)B.构造泛函F:B R，具体表达式为F(u,v)=J,(u,v)+n(u-un,v-vn),(u,v)B.由（27）式知：当(u,v)B，u un，v vn时，F(un,vn)0，任意(1,2)B1，有t-1(F(un+t1,vn+t2)-F(un,vn)0.因此t-1(J,(un+t1,vn+t2)-J,(un,vn)+n(1,2)0.令t 0+，对任意(1,2)B1，有J,(un,vn),(1,2)+n(1,2)0，（28）用(-1,-2)代替（28）中的(1,2)，得到对任意(1,2)B1，有-J,(un,vn),(1,2)+n(1,2)0.因 此，J,(un,vn)n，从 而 存 在(un,vn)的 一 个 子 序 列（不 妨 仍 记 为(un,vn)），使 得(un,vn)B，J,(un,vn)c 0且当n 时，J,(un,vn)0.由引理3知，序列(un,vn)在E中有一个收敛的子列（仍把它记为(un,vn)），使得在E中(un,vn)(u2,v2).因此，(u2,v2)是问题（3）的一个解且J,(u2,v2)0.参考文献：1 FERRARA M，BISCI G M，ZHANG B.Existence of weak solutions for non-local fractional problems via Morse theory J.Discrete Continuous Dynamical Systems-Series B，2014，19（8）：2483-2499.2GOYAL S，SREENADH K.Nehari manifold for non-local elliptic operator with concave-convex nonlinearities andsign-changing weight functions J.Proceedings-Mathematical Sciences，2015，125（4）：545-558.3 SERVADEI R，VALDINOCI E.Lewy-Stampacchia type estimates for variational inequalities driven by（non）local operatorsJ.Revista Matemtica Iberoamericana，2013，29（3）：1091-1126.4 SERVADEI R，VALDINOCI E.Mountain pass solutions for non-local elliptic operators J.Journal of MathematicalAnalysisandApplications，2012，389（2）：887-898.5SERVADEI R，VALDINOCI E.Variational methods for non-local operators of elliptic typeJ.Discrete and continuousdynamical systems，2013，33（5）：2105-2137.6 GHANMI A，SAOUDI K.A multiplicity results for a singular problem involving the fractional p-Laplacian operator J.Complex variables and elliptic equations，2016，61（9）：1199-1216.7DI NE，PALATUCCI G，VALDINOCI E.Hitchhikers guide to the fractional Sobolev spacesJ.Bulletin des sciencesmathmatiques，2012，136（5）：521-573.8 CHEN W，DENG S.The Nehari manifold for a fractional p-Laplacian system involving concave-convex nonlinearities J.NonlinearAnalysis；Real WorldApplications，2016，27（27）：80-92.9 CHEN L，CHEN C，XIU Z.Multiple solutions for a singular quasilinear elliptic system J.The Scientific World Journal，2013，2013（3）：1-8.【责任编辑：张建国】（下转第61页）34张文蕾等：20162021年乌鲁木齐市城市生态环境质量状况评价及分析第1期15 徐建华.现代地理学中的数学方法 M.2版.北京：高等教育出版社，2002.16 刘思峰，党耀国，方志耕，等.灰色系统理论及其应用 M.5版.北京：科学出版社，2010.17 刘思峰，蔡华，杨英杰，等.灰色关联分析模型研究进展 J.系统工程理论与实践，2013，33（8）：2041-2046.18 乌鲁木齐市统计局，国家统计局乌鲁木齐调查队.乌鲁木齐统计年鉴-2022 M.北京：中国统计出版社，2022.【责任编辑：张建国】The Evaluation andAnalysis of the City Ecological Index from 2016 to 2021 in UrumqiZhang Wenlei1,Zhang Yan1,Zhang Liying2*(1.Urumqi Ecological Environmental Monitoring Center of Xinjiang Uygur autonomous region,Urumqi,Xinjiang 830011,China;2.Electrical Technology Branch of Xinjiang Institute of light Industry Technology,Urumqi,Xinjiang 830021,China)Abstract:The city ecological environment quality of Urumqi are calculated by CEI evaluation system,since 2016-2021,which from the beginning of the 13th five year plan to 14th,and then,measured the correlation degree between the CEI and the 3indexes or 16 sub indexes with Grey correlation analysis method.This study got some computational conclusions that the CEI ofUrumqi are between 64.23 and 68.47 in which the year from 2016 to 2021,the grade is always average;in the past six years,the CEIof Urumqi has been growing slowly but steadily,and it has increased by 4.24 in 2021 which compared with that in 2016,expressingthe CEI of Urumqi has improved significantly in these years,that it is a good start for the 14th ecological environment protectionwork;through the grey correlation analysis,it s confirmed that there has a strong correlation between 3 indexes,16 sub indexes andCEI,the environmental quality index of the three indexes and the air quality compliance rate of the 16 indexes are the key to make itbetter and better.Key words:Urumqi;CEI;gray correlation analysisExistence of Solutions of a Class of Fractional p-Laplace SystemPan Rou1,Chen Lin1,2*（1.College of Mathematics and Statistic,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China;2.Institute of Applied Mathematics,Yili Normal University,Yining,Xinjiang 835000,China）Abstract:We mainly study boundary value problems for a class of fractional p-Laplace equations,and prove that there are atleast two non-trivial weak solutions for the system by using the mountain pass theorem and Ekeland variational principle.Key words:p-Laplace system;mountain pass theorem;Ekeland variational principle（上接第34页）61