数学八年级-轴对称：最短路径问题.doc

三角形第3节 多边形及其内角和【知识梳理】路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图) 作法：(1)作点B 关于直线l 的对称点B；(2)连接AB，与直线l 交于点C.则点C 即为所求证明：如图，在直线l上任取一点C(与点C 不重合)，连接AC，BC，BC.由轴对称的性质知，BC BC，BCBC. AC BC AC BC AB， ACBC ACBC. 在ABC中，ABACBC， AC BCACBC.即 AC BC 最短. 预备知识：在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即RtABC中，C90，则有【诊断自测】1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（）ABCD2、如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（）A“两点之间，线段最短”B“轴对称的性质”C“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”D以上答案都不正确3如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（）ABCD【考点突破】例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为答案：作点E关于DC的对称点E，连接AE交CD于点F解析：根据题意可知AE的长度不变，AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值作点E关于DC的对称点E，连接AE交CD于点F故答案为：作点E关于DC的对称点E，连接AE交CD于点F例2、如图所示，点P在AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.（1）若MN=20 cm，求PEF的周长；（2） 若AOB=35，求EPF的度数.答案：见解析解析：（1）M与P关于OA对称 OA垂直平分MP. EM=EP. 又N与P关于OB对称 OB垂直平分PN. FP=FN. PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).（2）连接OM，ON，OP，OA垂直平分MP，OM=OP.又OB垂直平分PN，ON=OP.MOEPOE(SSS)，POFNOF(SSS).MOE=POE，OME=OPE，POF=NOF，OPF=ONF.MON=2AOB=70EPF=OPE+OPF=OME+ONF=180-MON=110.例3、如图，AOB=30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A2BC20D2答案：A解析：作M关于OB的对称点M，作N关于OA的对称点N，如图所示：连接MN，即为MP+PQ+QN的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，在RtMON中，MN=2故选：A例4、如图，四边形ABCD中，C=50，B=D=90，E、F分别是BC、DC上的点，当AEF的周长最小时，EAF的度数为（）A50B60C70D80答案：D解析：作A关于BC和CD的对称点A，A，连接AA，交BC于E，交CD于F，则AA即为AEF的周长最小值作DA延长线AH，C=50，DAB=130，HAA=50，AAE+A=HAA=50，EAA=EAA，FAD=A，EAA+AAF=50，EAF=13050=80，故选：D例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A2B2C4D4答案：B解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点此时PD+PE=BE最小，而BE是等边ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果连接BD，与AC交于点F点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小正方形ABCD的面积为12，AB=2又ABE是等边三角形，BE=AB=2故所求最小值为2故选B例6、如图，荆州古城河在CC处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD，EE（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADDEEB的路程最短，这个最短路程是多少米？答案：见解析。解析：作AFCD，且AF=河宽，作BGCE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E、D作DD、EE即为桥证明：由作图法可知，AFDD，AF=DD，则四边形AFDD为平行四边形，于是AD=FD，同理，BE=GE，由两点之间线段最短可知，GF最小；即当桥建于如图所示位置时，ADDEEB最短距离为+52=110米【易错精选】1如图，已知锐角ABC的面积为6，AC=4，BAC的平分线交BC于点D、M、N分别是AD和BC上的动点，求BM+MN的最小值及画出图形2、作图：（1）在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；（2）在直线l上求作一点P，使PAPB最大【精华提炼】下列给出常考解题作图方法：最大值对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况最大值最大值取线段的中垂线与对称轴的交点，即为最小的情况，最小值为0最大值线段连线的延长线与对称轴的交点，即为最大的情况，最大值为的周长最小值 若一个动点，则对称一次若两个动点，则对称两次 四边形的周长最小值 情况一、两固定点两动点，对称两次，转化为两点之间线段最短 情况二、两固定点，定长度动线段，利用平移，转化为两点之间线段最短修桥问题：两条动线段加平行线距离之和最短问题，利用平移，转化为两点之间线段最短 多条折线之和最短： 将其中的两个点对称过去，把折线转化成两点之间线段最短问题之和最短 【本节训练】训练【1】如图，正ABC的边长为2，过点B的直线lAB，且ABC与ABC关于直线l对称，D为线段BC上一动点，则AD+CD的最小值是（）A4B3C2D2+训练【2】如图，MBN=60，在MBN的内部有一点C，且BC=10，点D、E分别在BM、BN上，则CDE周长的最小值为训练【3】如图，AOB=，P在AOB内，OP=2，M和N分别为OA，OB上一动点，当PMN的周长为最小值2时，=训练【4】如图，在等腰ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，M、N分别是AD和AB上的动点则BM+MN的最小值是基础巩固1、（1）如图1，在l上找一点P，使PA+PB最小（2）如图2，在l上找一点P，使PA+PB最小（3）如图3，在l上找一点Q，使AQBQ最大（4）如图4，在l上找一点Q，使AQBQ最大（尺规作图，保留作图痕迹，并简要说明理由以及得到的结论）2、如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车从原点O出发，在x轴和y轴上行驶汽车在y轴上行驶到离A村最近的位置的坐标是；在x轴上行驶到离B村最近时的位置的坐标是 3、如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家l1是草地的边沿，l2是一条笔直的河流每天，牧民要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B处请在图上画出牧民行走的最短路线（保留作图痕迹）4、如图，四边形ABCD中，BAD=130，B=D=90，在BC、CD上分别找一点M、N，使AMN周长最小时，则AMN+ANM的度数为巅峰突破1、如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（）A2B8C2D102、如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（）A（2，0）B（4，0）C（2，0）D（0，0）3、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家他要完成这件事情所走的最短路程是（）A15 kmB16 kmC17 kmD18 km4、请阅读下列材料：问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A，使点A，B分别位于直线l的两侧，再连接AB，根据“两点之间线段最短”可知AB与直线l的交点P即为所求请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）如图3，在图2的基础上，设AA与直线l的交点为C，过点B作BDl，垂足为D若CP=1，AC=1，PD=2，直接写出AP+BP的值；（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；（3）请结合图形，求的最小值参考答案【诊断自测】1、答案：作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M解：根据最短路线问题，B选项图形方案符合故选B2、解：四边形OABC为正方形，A、C两点关于直线OB对称（轴对称的性质），连接CD，则CD即为PD+PA和的最小值（两点之间，线段最短），用到的数理依据是“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”故选C3、解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN直线a（或直线b），只要AM+BN最短就行，即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在AH上取点I，使AI等于河宽连结IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求故选D【易错精选】1、解：设N关于AD的对称点为R，由于为锐角三角形，则R必在AC上，作AC边上的高BE，E在线段AC上，连接BR交AD于M，MN=MR，BM+MN=BM+MR=BRBE，面积为6，AC=4，6=ACBE，BE=3，BM+MN的最小值为32、解：如图所示：（1）此时：PA+PB最小；（2）此时：PAPB最大3、【本节训练】训练【1】解：作点A关于直线BC的对称点A1，连接A1C交直线BC与点D，如图所示由图象可知当点D在CB的延长线上时，AD+CD最小，而点D为线段BC上一动点，当点D与点B重合时AD+CD值最小，此时AD+CD=AB+CB=2+2=4故选A训练【2】解：分别作点C关于BM、BN的对称点C、C，连接CC，分别交BM、BN于点D、E，连接BC、BC点C关于BM的对称点C，DC=DC，BC=BC，CBM=CBM；点C关于BN的对称点为C，EC=EC，BC=BC，NBC=NBC，BC=BC=OC=10，CBC=120，CBC是等腰三角形，CC=10CDE的周长的最小值=CD+MDE+CE=DC+DE+DECCC=10故答案为10训练【3】 解：作P关于OA，OB的对称点C，D连接OC，OD则当M，N是CD与OA，OB的交点时，PMN的周长最短，最短的值是CD的长PC关于OA对称，COP=2AOP，OC=OP，同理，DOP=2BOP，OP=OD，COD=COP+DOP=2（AOP+BOP）=2AOB，OC=OD=OP=2CD=2，COD是等边三角形COD=2AOB=60，AOB=30，=30，故答案为30训练【4】解：如图，作BHAC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MNAB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值AB=AC，D是BC边上的中点，AD是BAC的平分线，MH=MN，BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，ADBC，AD=12，SABC=ACBH=BCAD，13BH=1012，解得：BH=，故答案为：基础巩固1、解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示；（4）如图4所示2、解：（1）汽车行驶到点A与y轴的垂线段的垂足处时，离A村最近，此点的坐标为（0，2）；（2）汽车行驶到点B与x轴的垂线段的垂足处时离B村最近，此点的坐标为（7，0）故答案为：（0，2）、（7，0）3、解：如图所示：4、解：如图，作点A关于BC的对称点A，关于CD的对称点A，连接AA与BC、CD的交点即为所求的点M、N，BAD=130，B=D=90，A+A=180130=50，由轴对称的性质得：A=AAM，A=AAN，AMN+ANM=2（A+A）=250=100故答案为：100巅峰突破1、解：如图，过点作COAB于O，延长BO到C，使OC=OC，连接MC，交AB于P，此时MC=PM+PC=PM+PC的值最小，连接AC，COAB，AC=BC，ACB=90，ACO=90=45，CO=OC，COAB，AC=CA=AM+MC=8，OCA=OCA=45，CAC=90，CAAC，MC=2，PC+PM的最小值为2故选C2、解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，A（2，4），C（2，4），设直线CB的解析式是y=kx+b，把C、B的坐标代入得：，解得：k=1，b=2，y=x2，把y=0代入得：0=x2，x=2，即P的坐标是（2，0），故选C3、解：如图，作出A点关于小河MN的对称点A，连接AB交MN于点P，则AB就是牧童要完成这件事情所走的最短路程在RtADB中，由勾股定理求得AB=17km则他要完成这件事情所走的最短路程是17km故选C4、解：（1）如图2，AAl，AC=1，PC=1，PA=，PA=PA=，AABD，A=B，PD=BD=2PB=2，AP+PB=+2=3；故答案为3；（2）作AEl，交BD的延长线于E，如图3，则四边形AEDC是矩形，AE=DC=PC+PD=3，DE=AC=AC，BD=4AC，BD+AC=BD+DE=4，即BE=4，在RTABE中，AB=5，AP+BP=5，故答案为5； （3）设AC=1，CP=m3，A AL于点C，AP=，设BD=2，DP=9m，BDL于点D，BP=，的最小值即为AB的长即：AB=的最小值如图，过A作AEBD的延长线于点EAE=CD=CP+PD=m3+9m=6，BE=BD+DE=2+1=3，AB=的最小值=，的最小值为