数学八年级-轴对称：最短路径问题.doc

三角形
第3节 多边形及其内角和
【知识梳理】
路径最短问题：运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路径的求解。所以最短路径问题，需要考虑轴对称。
典故：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
这个问题提炼出数学问题为：设C 为直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小(如图)

作法：
(1)作点B 关于直线l 的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l 交于点C.
则点C 即为所求．

证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，BC ＝B′C，BC′＝B′C′.
∴ AC ＋BC＝ AC ＋B′C ＝ AB′，
AC′＋BC′＝ AC′＋B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短.

预备知识：
在直角三角形中，三边具有的关系如下：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有
【诊断自测】
1、如图，直线l是一条河，A、B两地相距5km，A、B两地到l的距离分别为3km、6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　）
A． B． C． D．
2、如图所示，四边形OABC为正方形，边长为3，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D在OA上，且D的坐标为（1，0），P是OB上的一动点，则“求PD+PA和的最小值”要用到的数理依据是（　　）

A．“两点之间，线段最短”
B．“轴对称的性质”
C．“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”
D．以上答案都不正确
3．如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（　　）

A． B． C． D．
【考点突破】
例1、如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在CD上，要使△AEF的周长最小时，确定点F的位置的方法为　　．

答案：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．
解析：根据题意可知AE的长度不变，△AEF的周长最小也就是AF+EF有最小值．
作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．
故答案为：作点E关于DC的对称点E′，连接AE′交CD于点F．
例2、如图所示，点P在∠AOB的内部，点M，N分别是点P关于直线OA，OB的对称点，线段MN交OA，OB于点E，F.
（1）若MN=20 cm，求△PEF的周长；
（2） 若∠AOB=35°，求∠EPF的度数.

答案：见解析
解析：
（1）∵M与P关于OA对称
∴OA垂直平分MP.
∴EM=EP.
又∵N与P关于OB对称
∴OB垂直平分PN.
∴FP=FN.
∴△PEF的周长=PE+PF+EF=ME+EF+FN=MN=20(cm).
（2）连接OM，ON，OP，
∵OA垂直平分MP，
∴OM=OP.
又∵OB垂直平分PN，
∴ON=OP.
∴△MOE≌△POE(SSS)，△POF≌△NOF(SSS).
∴∠MOE=∠POE，∠OME=∠OPE，∠POF=∠NOF，∠OPF=∠ONF.
∴∠MON=2∠AOB=70°
∴∠EPF=∠OPE+∠OPF=∠OME+∠ONF=180°-∠MON=110°.
例3、如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=2，ON=6，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（　　）

A．2 B． C．20 D．2
答案：A
解析：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：
连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠N′OQ=∠M′OB=30°，∠ONN′=60°，
∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，
∴∠N′OM′=90°，
∴在Rt△M′ON′中，
M′N′==2．
故选：A．

例4、如图，四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
答案：D
解析：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

∵∠C=50°，
∴∠DAB=130°，
∴∠HAA′=50°，
∴∠AA′E+∠A″=∠HAA′=50°，
∵∠EA′A=∠EAA′，∠FAD=∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF=50°，
∴∠EAF=130°﹣50°=80°，
故选：D．
例5、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（　　）

A．2 B．2 C．4 D．4
答案：B
解析：由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2．
故所求最小值为2．
故选B．

例6、如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽均为5米，从A处到达B处，须经两座桥：DD′，EE′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A、B在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短，这个最短路程是多少米？

答案：见解析。
解析：作AF⊥CD，且AF=河宽，
作BG⊥CE，且BG=河宽，
连接GF，与河岸相交于E′、D′．
作DD′、EE′即为桥．
证明：由作图法可知，AF∥DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′，
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小；
即当桥建于如图所示位置时，ADD′E′EB最短．
距离为+5×2=110米．

【易错精选】
1．如图，已知锐角△ABC的面积为6，AC=4，∠BAC的平分线交BC于点D、M、N分别是AD和BC上的动点，求BM+MN的最小值及画出图形．

2、作图：（1）在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；

（2）在直线l上求作一点P，使PA﹣PB最大．

【精华提炼】
下列给出常考解题作图方法：
①最大值
对称轴为线段时，在两个端点处取到最大值
对称，然后连线，与对称轴交点即为最小值时的情况

②最大值

③最大值
取线段的中垂线与对称轴的交点，即为最小的情况，最小值为0

④最大值
线段连线的延长线与对称轴的交点，即为最大的情况，最大值为

⑤的周长最小值
若一个动点，则对称一次
若两个动点，则对称两次

⑥四边形的周长最小值
情况一、两固定点两动点，对称两次，转化为两点之间线段最短
情况二、两固定点，定长度动线段，利用平移，转化为两点之间线段最短

⑦修桥问题：
两条动线段加平行线距离之和最短问题，利用平移，转化为两点之间线段最短

⑧多条折线之和最短：

将其中的两个点对称过去，把折线转化成两点之间线段最短问题

⑨之和最短

【本节训练】
训练【1】如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．2+
训练【2】如图，∠MBN=60°，在∠MBN的内部有一点C，且BC=10，点D、E分别在BM、BN上，则△CDE周长的最小值为　　．

训练【3】如图，∠AOB=α，P在∠AOB内，OP=2，M和N分别为OA，OB上一动点，当△PMN的周长为最小值2时，α=　　．

训练【4】如图，在等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，M、N分别是AD和AB上的动点．则BM+MN的最小值是　　．

基础巩固
1、（1）如图1，在l上找一点P，使PA+PB最小．
（2）如图2，在l上找一点P，使PA+PB最小．
（3）如图3，在l上找一点Q，使AQ﹣BQ最大．
（4）如图4，在l上找一点Q，使AQ﹣BQ最大．
（尺规作图，保留作图痕迹，并简要说明理由以及得到的结论）
2、如图，已知A、B两村庄的坐标分别为（2，2）、（7，4），一辆汽车从原点O出发，在x轴和y轴上行驶．汽车在y轴上行驶到离A村最近的位置的坐标是　　；在x轴上行驶到离B村最近时的位置的坐标是　 　．

3、如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家．l1是草地的边沿，l2是一条笔直的河流．每天，牧民要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B处．请在图上画出牧民行走的最短路线（保留作图痕迹）．

4、如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为　　．

巅峰突破

1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M在AC边上，且AM=2，MC=6，动点P在AB边上，连接PC，PM，则PC+PM的最小值是（　　）

A．2 B．8 C．2 D．10
2、如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）

A．（﹣2，0） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，0）
3、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是（　　）

A．15 km B．16 km C．17 km D．18 km
4、请阅读下列材料：
问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小．
小明的思路是：如图2所示，先作点A关于直线l的对称点A′，使点A′，B分别位于直线l的两侧，再连接A′B，根据“两点之间线段最短”可知A′B与直线l的交点P即为所求．
请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）如图3，在图2的基础上，设AA'与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，AC=1，PD=2，直接写出AP+BP的值；
（2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4﹣AC”，其它条件不变，直接写出此时AP+BP的值；
（3）请结合图形，求的最小值．

参考答案
【诊断自测】
1、答案：作点A关于直线l的对称点，再把对称点与点B连接，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求点M．
解：根据最短路线问题，B选项图形方案符合．
故选B．
2、解：∵四边形OABC为正方形，
∴A、C两点关于直线OB对称（轴对称的性质），
∴连接CD，则CD即为PD+PA和的最小值（两点之间，线段最短），
∴用到的数理依据是“两点之间，线段最短”以及“轴对称的性质”．
故选C．

3、解：根据垂线段最短，得出MN是河的宽时，MN最短，即MN⊥直线a（或直线b），
只要AM+BN最短就行，
即过A作河岸a的垂线AH，垂足为H，在AH上取点I，使AI等于河宽．连结IB交河的b边岸于N，作MN垂直于河岸交a边的岸于M点，所得MN即为所求．
故选D．

【易错精选】
1、解：设N关于AD的对称点为R，由于为锐角三角形，则R必在AC上，作AC边上的高BE，E在线段AC上，连接BR交AD于M，
∴MN=MR，
∴BM+MN=BM+MR=BR≥BE，
∵面积为6，AC=4，
∴6=AC•BE，
∴BE=3，
∴BM+MN的最小值为3．

2、解：如图所示：
（1）
此时：PA+PB最小；

（2）
此时：PA﹣PB最大．

3、
【本节训练】
训练【1】解：作点A关于直线BC′的对称点A1，连接A1C交直线BC与点D，如图所示．

由图象可知当点D在C′B的延长线上时，AD+CD最小，
而点D为线段BC′上一动点，
∴当点D与点B重合时AD+CD值最小，
此时AD+CD=AB+CB=2+2=4．
故选A．

训练【2】解：分别作点C关于BM、BN的对称点C′、C″，连接C′C″，分别交BM、BN于点D、E，连接BC′、BC″．
∵点C关于BM的对称点C′，
∴DC=DC′，BC=BC′，∠C′BM=∠CBM；
∵点C关于BN的对称点为C″，
∴EC=EC″，BC=BC″，∠NBC″=∠NBC，
∴BC′=BC″=OC=10，∠C′BC″=120°，
∴△C′BC″是等腰三角形，
∴C′C″=10．
∴△CDE的周长的最小值=CD+MDE+CE=DC′+DE+DEC″≥C″C′=10．
故答案为10．

训练【3】 解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP，
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB，OC=OD=OP=2．
∵CD=2，
∴△COD是等边三角形．
∴∠COD=2∠AOB=60°，
∴∠AOB=30°，
∴α=30°，
故答案为30°．

训练【4】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．
∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴M′H=M′N′，
∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），
∵AB=AC=13，BC=10，D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD=12，
∵S△ABC=AC×BH=BC×AD，
∴13×BH=10×12，
解得：BH=，
故答案为：．

基础巩固
1、解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示；
（3）如图3所示；
（4）如图4所示．

2、解：（1）汽车行驶到点A与y轴的垂线段的垂足处时，离A村最近，此点的坐标为（0，2）；
（2）汽车行驶到点B与x轴的垂线段的垂足处时离B村最近，此点的坐标为（7，0）．
故答案为：（0，2）、（7，0）．

3、解：如图所示：

4、解：如图，作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°﹣∠130°=50°，
由轴对称的性质得：∠A′=∠A′AM，∠A″=∠A″AN，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°．

巅峰突破
1、解：如图，过点作CO⊥AB于O，延长BO到C'，使OC'=OC，连接MC'，交AB于P，
此时MC'=PM+PC'=PM+PC的值最小，
连接AC'，
∵CO⊥AB，AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ACO=×90°=45°，
∵CO=OC'，CO⊥AB，
∴AC'=CA=AM+MC=8，
∴∠OC'A=∠OCA=45°，
∴∠C'AC=90°，
∴C'A⊥AC，
∴MC′===2，
∴PC+PM的最小值为2．
故选C．

2、解：作A关于x轴的对称点C，连接AC交x轴于D，连接BC交交x轴于P，连接AP，
则此时AP+PB最小，
即此时点P到点A和点B的距离之和最小，
∵A（﹣2，4），
∴C（﹣2，﹣4），
设直线CB的解析式是y=kx+b，
把C、B的坐标代入得：，
解得：k=1，b=﹣2，
∴y=x﹣2，
把y=0代入得：0=x﹣2，
x=2，
即P的坐标是（2，0），
故选C．

3、解：如图，作出A点关于小河MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，
则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程．
在Rt△A′DB中，由勾股定理求得
A′B===17km．
则他要完成这件事情所走的最短路程是17km．
故选C．

4、解：（1）如图2，∵AA′⊥l，AC=1，PC=1，
∴PA=，
∴PA′=PA=，
∵AA′∥BD，
∴∠A′=∠B，
∴PD=BD=2
∴PB=2，
∴AP+PB=+2=3；
故答案为3；
（2）作AE∥l，交BD的延长线于E，如图3，
则四边形A′EDC是矩形，
∴AE=DC=PC+PD=3，DE=A′C=AC，
∵BD=4﹣AC，
∴BD+AC=BD+DE=4，
即BE=4，
在RT△A′BE中，A′B==5，
∴AP+BP=5，
故答案为5；
（3）设AC=1，CP=m﹣3，
∵A A′⊥L于点C，
∴AP=，
设BD=2，DP=9﹣m，
∵BD⊥L于点D，
∴BP=，
∴的最小值即为A′B的长．
即：A′B=的最小值．
如图，过A′作A′E⊥BD的延长线于点E．
∵A′E=CD=CP+PD=m﹣3+9﹣m=6，BE=BD+DE=2+1=3，
∴A′B=的最小值
=
=
=，
∴的最小值为．