工程力学教材.doc

目 录
绪论 ………………………………………………………………………………………………1
第一节 质点、刚体及变形体概念……………………………………………………1
第二节 工程力学课程的内容和学习方法…………………………………………2
第一篇 刚体静力学………………………………………………………………………………1
第一章 刚体的受力分析 …………………………………………………………………1
第一节 基本概念………………………………………………………………………1
第二节 静力学公理……………………………………………………………………3
第三节 力在直角坐标轴上的投影……………………………………………………7
第四节 力对点的矩…………………………………………………………………10
第五节 力对轴的矩…………………………………………………………………16
第六节 约束和约束反力……………………………………………………………19
第七节 物体的受力分析和受力图 …………………………………………………25
习 题 …………………………………………………………………………………31
第二章 力系的简化和平衡方程…………………………………………………………1
第一节 平面汇交力系…………………………………………………………………1
例1 力偶和力偶系…………………………………………………………………8
例2 平面一般力系…………………………………………………………………11
例3 空间一般力系简介……………………………………………………………22
例4 物体的重心 …………………………………………………………………26
习 题 …………………………………………………………………………………32
第三章 平衡方程的应用 …………………………………………………………………1
第一节静定问题及刚体系统平衡………………………………………………………1
第二节平面静定桁架的内力计算……………………………………………………10
习 题……………………………………………………………………………………17
第四章 摩擦…………………………………………………………………………………1
第一节 滑动摩擦………………………………………………………………………1
第二节 摩擦角和自锁现象……………………………………………………………3
第三节 滚动摩阻………………………………………………………………………6
第四节 考虑摩擦时物体的平衡问题……………………………………………………9
习 题 …………………………………………………………………………………14
第二篇 弹性静力学I（杆件的基本变形）………………………………………………5－1
第五章 轴向拉伸和压缩……………………………………………………………………2
第一节 轴向拉伸(压缩)时杆的内力和应力…………………………………………2
第二节 轴向拉伸(压缩）时杆的变形…………………………………………………7
第三节 材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能………………………………………10
第四节 许用应力·安全系数·强度条件………………………………………………16
第五节 简单拉压超静定问题…………………………………………………………20
第六节 应力集中的概念………………………………………………………………25
习 题 …………………………………………………………………………………27
第六章 剪切 ………………………………………………………………………………1
第一节 剪切的概念………………………………………………………………………1
第二节 剪切的实用计算…………………………………………………………………2
第三节 挤压的实用计算…………………………………………………………………5
习 题 …………………………………………………………………………………10
第七章 扭转…………………………………………………………………………………1
第一节 外力偶矩的计算…………………………………………………………………1
第二节 扭矩和扭矩图 …………………………………………………………………2
第三节 圆轴扭转时的应力和强度计算…………………………………………………4
第四节 圆轴扭转时的变形和刚度计算…………………………………………………9
＊第五节 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形…………………………………………11
*第六节 非圆截面杆扭转的概念………………………………………………………14
习 题 …………………………………………………………………………………17
第八章 梁弯曲时内力和应力………………………………………………………………1
第一节梁的计算简图…………………………………………………………………2
第二节 弯曲时的内力 …………………………………………………………………3
第三节 剪力图和弯矩图………………………………………………………………5
第四节 纯弯曲时的正应力……………………………………………………………11
第五节 剪切弯曲时的正应力强度计算………………………………………………14
第六节弯曲切应力……………………………………………………………………18
第七节提高梁弯曲强度的一些措施…………………………………………………24
＊ 第八节 悬索……………………………………………………………………………27
习 题 …………………………………………………………………………………35
第九章 梁的弯曲变形 ……………………………………………………………………1
第一节 工程中的弯曲变形 ……………………………………………………………1
第二节 梁变形的基本方程……………………………………………………………1
第三节 用叠加法求梁的变形…………………………………………………………6
第四节 简单静不定梁…………………………………………………………………12
第五节梁的刚度校核提高梁弯曲刚度的措施……………………………………15
习 题 …………………………………………………………………………………18
1. 弹性静力学II(压杆稳定、强度理论和组合变形）………………………………
第十章 压杆稳定与压杆设计………………………………………………………………1
1. 压杆稳定的概念……………………………………………………………1
2. 细长压杆的临界载荷………………………………………………………2
3. 欧拉公式及经验公式………………………………………………………5
4. 压杆稳定条件………………………………………………………………8
5. 提高压杆稳定性的措施……………………………………………………10
习 题…………………………………………………………………………………12
第十一章 复杂应力状态和强度理论………………………………………………………1
第一节 应力状态概念…………………………………………………………………1
第二节 二向应力状态分析……………………………………………………………4
第三节 三向应力状态分析……………………………………………………………11
第四节 广义胡克定律…………………………………………………………………12
第五节 强度理论………………………………………………………………………13
习 题…………………………………………………………………………………21
第十二章 组合变形的强度计算……………………………………………………………1
第一节 组合变形的概念………………………………………………………………1
第二节 拉伸（压缩)与弯曲的组合变形……………………………………………2
第三节 弯曲和扭转的组合变形………………………………………………………6
习 题 ………………………………………………………………………………12
附录A 单位制及数值精度…………………………………………………………………
附录B 截面的几何性质……………………………………………………………………
附录C 型钢表 ……………………………………………………………………………
习题答案…………………………………………………………………………………
参考文献 ………………………………………………………………………………
绪论
固体的移动﹑旋转和变形，气体和液体的流动等都属于机械运动。力学是研究物体机械运动的科学.机械运动是最简单的一种运动形式，此外物质还有发热﹑发光﹑发生电磁现象﹑化学过程，以及更高级的人类思维活动等各种不同的运动形式。力学分为三个部分：质点和刚体力学、固体力学和流体力学。质点和刚体力学不具有某些工程学科的经验基础，即不依赖于经验和独立观测；力学严谨、强调演绎,看上去更像是数学，但是力学不是抽象的纯理论学科。力学研究物理现象，其目的是解释和预测物理现象，并以此作为工程应用的基础。
力使物体运动状态发生改变的效应称为力的外效应，主要在质点和刚体力学中讨论；而力使物体形状发生改变(即变形）的效应称为力的内效应，属于固体力学范畴.本课程将研究力的外效应和力的内效应.当讨论力的内效应时,主要在物体受到平衡力系状态下进行分析。工程力学学科涉及众多的力学分支及广泛的工程技术内容，本课程只是其中最基础的部分，它涵盖了原有理论力学和材料力学两门课程的基本内容，同时增加了非金属材料力学基础。
力学可以追述到古代希腊亚里斯多得和阿基米德时代，我国古代也有关于力学研究的文献记载。到了17世纪，牛顿提出三定律和万有引力定律,后来达朗贝尔、拉格朗日和哈密顿给出了这些原理的其他形式。20世纪初，爱因斯坦建立了相对论，对牛顿经典力学提出挑战.本教材所研究的运动是速度远小于光速的宏观物体的机械运动，属于经典力学的范畴。经典力学以牛顿定理为基础,采用了与物质运动无关的所谓“绝对”空间﹑时间和质量的概念，应用范围有一定的局限性。对于速度接近光速的物体和基本粒子的运动，则必须用相对论和量子力学的方法加以研究。但是，经过长期的实践证明，现代一般工程中所遇到的大量力学问题，用经典力学来解决,不仅方便简捷，而且能够保持足够的精确度，所以经典力学至今仍有很大的实用意义，并且还在不断地发展。
讨论固体材料的力学起源于17世纪，当时研究对象主要是木材和石料，伽利略研究了梁横截面上正应力分布规律。到了19世纪中叶，研究对象转变为以钢材为主体的金属材料。钢材的特点，使连续均匀、各向同性等基本假设以及线弹性问题的虎克定律成为当今变形体材料力学的基础.固体力学包括材料力学、弹性力学、塑性力学等课程。到了20世纪,材料力学形成两大流派：欧美材料力学体系，其代表为美国斯坦福大学铁木辛柯教授1930年所著的《材料力学》;前苏联工科院校材料力学体系,其代表为列宁格勒铁道学院别辽耶夫教授1932年所著的《材料力学》。
20世纪50年代开始,计算机技术飞速发展，应用不断普及，这对于工程力学的发展起到了巨大的推动作用.在力学理论分析中，人们可以借助计算机推导复杂公式,从而求得复杂的解析解；在实验研究中,计算机不仅可以采集和整理数据、绘制实验曲线、显示图形，还可以帮助人们选用最优参数。
近几十年来，先进制造技术不断出现,工程中除了使用钢铁等金属材料外，聚合物、复合材料和工业陶瓷等材料越来越多地被采用，工程力学研究对象进一步扩展，非金属材料力学成为工程力学课程的一个组成部分.
第一节 质点、刚体及变形体概念
工程中涉及机械运动的物体有时十分复杂,在研究物体的机械运动时，必须忽略一些次要因素的影响，对其进行合理的简化,抽象出力学模型。
当所研究物体的运动范围远远超过其本身的几何尺度时，物体的形状和大小对运动的影响很小,这时可将其抽象为只有质量而没有体积的质点。由若干质点组成的系统，称为质点系.质点系中质点之间的联系如果是刚性的,这样的质点系称为刚体;如果联系是弹性的，质点系就是弹性体或变形体；如果质点系中的质点都是自由的，这时质点系便是自由质点系。
实际物体在力的作用下都将发生变形。但对于那些受力后变形极小，或者虽有变形但对整体运动的影响微乎其微，则可以略去变形，将物体简化为刚体。同时需要强调，当研究作用在物体上的力所产生的变形,以及由变形而在物体内部产生相互作用力时，即使变形很小，也不能将物体简化为刚体，而应是变形体。
质点、刚体与变形体都是实际物体的抽象力学模型，不是绝对的，例如对于一个航天器,当讨论轨道运动时，视航天器为质点；当讨论姿态运动时，视航天器本体为刚体，附加天线等为弹性体。又如当讨论地球绕太阳运动时,视地球为质点;当讨论地球自转时，视地球为刚体；当讨论地震时,必须将地球看作变形体.
第二节 工程力学课程的内容和学习方法
工程力学课程作为大学生的一门技术基础课，只讨论工程力学学科中最基础的内容，主要涉及质点和刚体力学、固体材料力学，涵盖了原理论力学和材料力学两门课程的主要经典内容，同时适当增加了当前制造业中常用的聚合物、复合材料和工业陶瓷等非金属材料的力学行为。
静止是机械运动的一种特殊形式。工程中把物体相对于地球静止或匀速直线运动的状态称为物体的平衡状态。刚体静力学研究物体在外力作用下的平衡规律;运动学是从几何观点研究点和刚体的运动，而不考虑作用于点和刚体上的力；动力学研究作用于物体上的力与物体运动之间的关系.
机械或工程结构的各个组成部分，如机床的轴﹑建筑物的梁和柱等，统称为构件。当机械或工程结构工作时，构件将受到载荷的作用，例如数控车床主轴受齿轮啮合力和切削力的作用。在外力作用下，构件的尺寸和形状将发生变化，称为变形。为保证机械或工程结构的正常工作，构件应当满足下列要求：
第二节 强度要求 在规定载荷作用下构件不应破坏.例如液化气罐不应爆破；飞机降落轮子触地时，起落架不能被折断；冲床曲轴工作中不能发生断裂。强度要求即指构件应有足够的抵抗破坏的能力。
第三节 刚度要求 在载荷作用下，构件变形不能超过允许值。例如图0-1所示车床的床头箱简图，如果切削力使机床主轴产生过大的变形,这样使加工出来的零件不能达到预定的精度，同时齿轮的啮合情况变坏，加速磨损.所以刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力.
图0—1
另外对受压力作用的细长杆,如千斤顶的螺杆﹑内燃机的挺杆等，应始终维持原有的直线平衡状态,保证不被压弯。即构件应有足够的保持原有平衡状态的稳定性能力。
一般来说，工程中构件应有足够的强度﹑刚度和稳定性，但是对某些特殊构件有相反的要求，例如当载荷超过某一极限时，安全销应立即破坏,起到保护作用。为发挥缓冲作用，车辆的缓冲弹簧应有较大的变形.
为了提高构件的强度﹑刚度和稳定性,一般是采用加大构件的尺寸或选用质量好的材料.但是构件的尺寸过大﹑材料过好,就会造成结构笨重和浪费。因此本课程将分析、计算构件的强度和刚度，为设计既经济又安全的构件，提供必要的理论基础和计算方法.
除了金属材料外，当前复合材料、高分子材料、结构陶瓷等在工业部门广泛应用，如汽车制造业所采用的非金属材料已经超过总体积的70%以上,家用电器中塑料件的比例很高， 用复合材料制成的运动器械深受欢迎。这些材料的力学特性也是工程力学所讨论的。聚合物、复合材料和工业陶瓷等材料的力学性能，是传统工程力学课程内容的进一步扩展,非金属材料力学已经成为工程力学课程的一个组成部分.
工程力学研究方法有理论方法、实验方法和计算机数值分析方法。在解决工程实际中的力学问题时，首先从实践出发,经过抽象化﹑综合﹑归纳,运用数学推演得到定理和结论,对于复杂的工程问题往往借助计算机进行数值分析和公式推导,最后通过实验验证理论和计算结果的正确性.
在学习工程力学过程中,要注意观察实际机械设备工作情况，以及日常生活中的力学现象,对力学理论要勤于思考﹑多做练习题，做到熟能生巧。通过掌握领会本课程的内容,为学习机械后继课程打好基础,并能初步运用力学理论和方法解决工程实际中的技术问题。
（1） 刚体静力学
静力学研究物体在力系作用下平衡的普遍规律，即研究物体平衡时作用在物体上的力应该满足的条件。在本篇的静力学分析中，我们将物体视为刚体.刚体静力学主要研究三方面的问题：(1）刚体的受力分析；(2)力系的等效与简化；（3）力系的平衡条件及应用.
刚体静力学的理论和方法在工程中有着广泛的应用,许多机器零件和结构件，如机器的机架、传动轴、起重机的起重臂、车间天车的横梁等，正常工作时处于平衡状态或可以近似地看作平衡状态。为了合理地设计这些零件或构件的形状、尺寸,选用合理的材料，往往需要首先进行静力学分析计算，然后对它们进行强度、刚度和稳定性计算。所以静力学的理论和计算方法是机器零件和结构件静力设计的基础.
第一章刚体的受力分析
第一节 基本概念
一、力的概念
人用手拉悬挂着的静止弹簧，人手和弹簧之间有了相互作用，这种作用引起弹簧运动和变形。运动员踢球，脚对足球的力使足球的运动状态和形状都发生变化。太阳对地球的引力使地球不断改变运动方向而绕着太阳运转.锻锤对工件的冲击力使工件改变形状等.人们在长期的生产实践中，通过观察分析，逐步形成和建立了力的科学概念：力是物体之间的相互机械作用,这种作用使物体的运动状态发生变化或使物体形状发生改变。物体运动状态的改变是力的外效应，物体形状的改变是力的内效应。
实践证明,力对物体的内外效应决定于三个要素:(1）力的大小;（2）力的方向；（3）力的作用点.
力的作用点表示力对物体作用的位置。力的作用位置,实际中一般不是一个点，而往往是物体的某一部分面积或体积。例如人脚踩地,脚与地之间的相互压力分布在接触面上；物体的重力则分布在整个物体的体积上.这种分布作用的力称为分布力。但有时力的作用面积不大,例如钢索吊起机器设备，当忽略钢索的粗细时，可以认为二者连接处是一个点，这时钢索拉力可以简化为集中作用在这个点上的一个力。这样的力称为集中力。由此可见，力的作用点是力的作用位置的抽象化.
为了度量力的大小必须首先确定力的单位，本书采用国际单位制,力的大小以牛顿为单位.牛顿简称牛(N），1000牛顿简称千牛(kN）。
在力学中要区分两类量：标量和矢量。在确定某种量时，只需一个数就可以确定的量称为标量.例如长度﹑时间﹑质量等都是标量。在确定某种量时，不但要考虑它的大小，还要考虑它的方向,这类量称为矢量,也称向量。力﹑速度和加速度等都是矢量.矢量可用一具有方向的线段来表示。如图1-1所示，线段的起点A（或终点B）表示力的作用点，沿力矢顺
图1-1
着箭头的指向表示力的方向;线段的长度（按一定的比例尺）表示力的大小。本书中用黑体字母表示矢量，而以普通字母表示这矢量的模（即大小）。图1-1中F表示力矢量,F表示该力的大小（F=600N）。
力系是指作用在物体上的一组力。作用在物体上的一个力系如果可以用另一个力系来代替而效应相同，那么这两个力系互为等效力系。若一个力与一个力系等效，则这个力称为该力系的合力。
二、质点和刚体的概念
如果我们仔细地考虑物体的机械运动，则运动情况总是比较复杂的.例如物体的落体运动,一方面物体受到重力作用，另一方面它还受到空气的阻力,而空气阻力又与落体的几何形状、大小及下降速度有关.但是在许多情况下，阻力所起的作用很小,运动的情况主要取决于重力,因而可以忽略空气阻力,这样物体的运动就可看作与几何形状、大小等无关。类似的例子很多，概括这些事实,我们可以看到，在某些问题中，物体的形状和大小与研究的问题无关或者起的作用很小，是次要因素。为了首先抓住主要的因素和掌握它的基本运动规律，我们有必要忽略物体的形状和大小。这样在研究问题中，不计物体形状﹑大小，只考虑质量并将物体视为一个点，即质点。质点在空间占有确定的位置，常用直角坐标系中x﹑y﹑z值表示。
力对物体的外效应是使物体的运动状态发生变化，力对物体的内效应是使物体发生变形。在通常情况下，机械零件、工程中的结构件在工作时,受力产生的变形是很微小的，往往只有专门的仪器才能测量出来。在很多工程问题中，这种微小的变形对于研究物体的平衡问题影响极小，可以忽略不计。这样忽略了物体微小的变形后便可把物体看作刚体。我们把刚体定义为由无穷多个点组成的不变形的几何形体，它在力的作用下保持其形状和大小不变。刚体是对物体加以抽象后得到的一种理想模型，在研究平衡问题时，将物体看成刚体会大大简化问题的研究。
同一个物体在不同的问题中，有时可看作质点，有时要看作刚体，有时则必须看作变形体。例如当研究月球运行轨道时，月球可看作质点;当研究月球自转时，月球要看作刚体.同样，当研究车辆离出发点距离时，车辆可看作质点;当研究车辆转弯时，车辆可看作刚体；当研究车辆振动时，车辆则要看作变形体。
三、平衡的概念
物体相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态称为物体的平衡状态.例如桥梁﹑机床的床身﹑高速公路上匀速直线行驶的汽车等，都处于平衡状态。物体的平衡是物体机械运动的特殊形式。平衡规律远比一般的运动规律简单.
如果刚体在某一个力系作用下处于平衡，则此力系称为平衡力系.力系平衡时所满足的条件称为力系的平衡条件.力系的平衡条件,在工程中有着十分重要的意义。在设计工程结构的构件或作匀速运动的机械零件时，需要先分析物体的受力情况，再运用平衡条件计算所受的未知力，最后按照材料的力学性能确定几何尺寸或选择适当的材料品种。有时对低速转动或直线运动加速度较小的机械零件，也可近似地应用平衡条件进行计算。人们在设计各种机械零件或结构物时，常常需要静力分析和计算，平衡规律在工程中有着广泛的应用。
第二节静力学公理
人们在长期的生活和生产活动中，经过实践﹑认识﹑再实践﹑再认识的过程，不仅建立了力的概念，而且总结出力所遵循的许多规律，其中最基本的规律可归纳为以下五条：
1。 二力平衡原理受两力作用的刚体，其平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，并且作用在同一直线上（图1—2）。简称此两力等值﹑反向﹑共线。即：
F1=－F2
图1—2
上述条件对于刚体来说,既是必要又是充分的；但是对于变形体来说,仅仅是必要条件。例如，绳索受两个等值反向的拉力作用时可以平衡,而两端受一对等值反向的压力作用时就不能平衡。
在两个力作用下处于平衡的刚体称为二力体.如果物体是某种杆件或构件,有时也称为二力杆或二力构件.
2. 加减平衡力系原理
在作用于刚体上的任何一个力系上,加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。
由二力平衡原理和加减平衡力系原理这两条力的基本规律，可以得到下面的推论:作用在刚体上的一个力,可沿其作用线任意移动作用点而不改变此力对刚体的效应.这个性质称为力的可传性，说明力是滑移矢量。在图1—3中,作用在物体A点的力F,将它的作用点移到其作用线上的任意一点B，而力对刚体的作用效果不变。特别需要强调的是，当必须考虑物体的变形时,这个性质不再适用。例如图1-4所示拉伸弹簧，力F 作用于A处与作用于B处效果完全不同。
图1-3 图1-4
根据力的可传性,作用在刚体上的力其三要素成为大小﹑方向和作用线的位置。这样力矢就可以从它作用线上的任一点画出.
本篇研究刚体静力学,故在本篇以后的叙述中，“物体”也代表“刚体"。
3．力的平行四边形法则
作用在物体上同一点的两个力可以合成为一个合力,合力也作用于该点，其大小和方向由两分力为邻边所构成的平行四边形的对角线表示。图1—5中R表示合力，F1﹑F2表示分力。这种求合力的方法,称为矢量加法，用公式表示为
R= F1+F2
图1—5
上述求合力的方法，称为力的平行四边形法则.
为了方便起见，在用矢量加法求合力时，可不必画出整个平行四边形,而是从A点作一个与力F1大小相等﹑方向相同的矢量AB,如图1—6所示，过B点作一个与力F2大小相等﹑方向相同的矢量BC，则AC就是力F1和F2的合力R。这种求合力的方法,称为力三角形法则。
图1—6
推论（三力平衡汇交定理）当刚体受三个力作用(其中二个力的作用线相交于一点）而处于平衡时,则此三力必在同一平面内，并且它们的作用线汇交于一点。
证明图1-7中,刚体上A﹑B﹑C三点，分别作用着互成平衡的三个力F1﹑F2﹑F3，
图1-7
它们的作用线都在平面ABC内但不平行。F1与F2的作用线交于O点，根据力的可传性原理，将此两个力分别移至O点，则此两个力的合力R必定在此平面内且通过O点.而R必须和F3平衡.由力的平衡条件可知F3与R必共线，所以F3的作用线亦必通过力F1﹑F2的交点O,即三个力的作用线汇交于一点。
4．作用和反作用定律
两个物体间相互作用的一对力，总是同时存在并且大小相等﹑方向相反﹑作用线相同，分别作用在这两个物体上。这就是作用和反作用定律.
例如车刀在加工工件时（图1-8），车刀作用于工件上切削力为P,同时工件必有反作用力P'加到车刀上。P和P’总是等值、反向、共线。
图1-8
机械中力的传递,都是通过机器零件之间的作用与反作用的关系来实现的。借助这个定律，我们能够从机器一个零件的受力分析过渡到另一个零件的受力分析。
特别要注意的是必须把作用和反作用定律与二力平衡原理严格地区分开来。作用和反作用定律是表明两个物体相互作用的力学性质，而二力平衡原理则说明一个刚体在两个力作用下处于平衡时两个力应满足的条件.
5。 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡,如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变.
此公理提供了把变形体视为刚体模型的条件。如图1—9所示，绳索在等值、反向、共线
图1-9
的两个力作用下处于平衡，如果将绳索刚化为刚体，其平衡状态保持不变。反之不一定成立。例如刚体在两个等值、反向的压力作用下平衡,如果将它用绳索代替就不能保持平衡了。
由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。在刚体静力学的基础上，考虑变形体的特性，可以进一步研究变形体的平衡问题。
以上最基本的五条规律也称为静力学公理，这些公理不可能用更简单的原理去代替，也无须证明而被大家所公认。静力学公理概括了力的基本性质,是建立静力学理论的基础。
第三节 力在直角坐标轴上的投影
设空间直角坐标系Oxyz的三个坐标轴如图1—10所示,已知力F与三根轴的夹角分别为α﹑β﹑γ。此力在x﹑y﹑z轴上的投影X﹑Y﹑Z分别为：
图1-10
（1-1）
投影是代数量.例如当900<1800时，X为负值。
在一些机械问题中,人们往往习惯于采用二次投影法.设力F与z轴夹角为﹑在Oxy平面分量Fxy与x轴夹角为.如图1—11所示,首先将力F投影到z轴和Oxy平面上，分别
图1—11
得到Fz、Fxy,然后将Fxy再投影到x﹑y轴上。结果为：
(1—2）
设i﹑j﹑k为x﹑y﹑z轴的单位矢量,若以Fx﹑Fy﹑Fz分别表示F沿直角坐标轴x﹑y﹑z的三个正交分量（图1—12）,则：
F= Fx+Fy+Fz=Xi+Yj+Zk (1-3）
图1—12
（1－4)
如果已知投影X﹑Y﹑Z的值，力F 的大小与方向可由式(1—4）确定.
应当注意力的投影和分量的区别，首先力的投影是标量，而力的分量是矢量；其次对于斜交坐标系，力的投影不等于其分量的大小。例如图1—13所示斜交坐标系Oxy，力F沿Ox﹑
图1-13
Oy轴的分量大小为OB和OC（图a),而对应投影的大小是OD和OE（图b），显然它们不相同。
例1-4 已知圆柱斜齿轮所受的总啮合力P=2828N,齿轮压力角α=200,螺旋角β=250，如图1-14所示.试计算齿轮所受的圆周力 Pt﹑轴向力 Pa和径向力 Pr。
图1-14
解：取坐标系如图1—14所示,使x﹑y﹑z三个轴分别沿齿轮的轴向﹑圆周的切线方向和径向，先把总啮合力P向z轴和Oxy坐标平面投影，分别为
Z=－Psin=－2828sin200N=－967N， Pn=Pcos=2828cos200N=2657N
再把力二次投影到x和y轴上,得到
X=－Pnsinβ=—Pcossinβ=-2828cos200sin250N=-1123N
Y=－Pncosβ=—Pcoscosβ=—2828cos200cos250N=—2408N
各分力的大小分别等于对应投影的绝对值,即
轴向力Pa大小：Pa=｜X｜=1123N， 周向力Pt大小：Pt=｜Y|=2408N
径向力Pr大小：Pr=|Z｜=967N
例1-5 在数控车床上加工外圆时，已知被加工件S对车刀D的作用力（即切削抗力）的三个分力为：Fx=300N,Fy=600N,Fz=－1500N，如图1—15所示，试求合力的大小和方向。
图1—15
解：取直角坐标系Oxyz如图1—15b所示。合力R在x﹑y﹑z坐标轴上的分力为Fx﹑Fy﹑Fz。由于力在直角坐标轴上的投影和力沿相应直角坐标轴的分力在数值上相等，所以合力R的大小和方向可由公式（1—4）求得，即
合力的大小为
合力与x﹑y﹑z轴的夹角分别为
第四节力对点的矩
一、力矩的定义
用扳手转动螺母时，螺母的轴线固定不动,轴线在图面上的投影为点O，如图1-16所示。力F可以使扳手绕点O（即绕通过点O垂直于图面的轴）转动。由经验可知,力F越大,螺钉就拧的越紧；力F的作用线与螺钉中心O的距离越远,就越省力.显然，力F使扳手绕
图1—16
点O的转动效应，取决于力F的大小和力作用线到点O的垂直距离h。这种转动效应可用力对点的矩来度量.力对点的矩实际上是力对通过矩心且垂直于平面的轴的矩.
设平面上作用一力F，在该平面内任取一点O称为力矩中心,简称矩心，如图1—17所
图1—17
示。点O到力作用线的垂直距离h称为力臂.力F对点O的矩用mo（F）表示或mo表示，计算公式为：
mo（F）=±Fh （1—5）
即在平面问题中力对点的矩是一个代数量，它的绝对值等于力的大小与力臂的乘积,力矩的正负号通常规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时为正，顺时针方向转动时为负。
力矩在下列两种情况下等于零：（1）力的大小等于零；(2)力的作用线通过矩心，即力臂等于零。
力矩的量纲是[力］·[长度］,在国际单位制中以牛顿·米(N·m)为单位。
二、平面问题中力对点的矩的解析表达式
在力对点的矩的计算中,还常用解析表达式。由图1—18可见，力对坐标原点的矩
图1—18
mo（F）=Fh=Frsin（—）=Frsincos—Frcossin=rcos﹒Fsin—rsin﹒Fcos
由于力F作用点A坐标x=rcos,y=rsin;力F在x轴投影X=Fcos，在轴y投影为Y=Fsin。所以
mo(F）=xY—yX (1—6）
一旦知道力作用点的坐标x﹑y和力在坐标轴上的投影X﹑Y，利用式（1-6）便可计算出力对坐标原点之矩，式（1-6）称为力矩的解析表达式。
例1—3力F作用在托架上,如图1—19所示。已知F=480N，a=0。2m,b=0。4m。试求力F对B点之矩。
图1-19
解直接计算矩心B到力F作用线的垂直距离h比较麻烦。现建立直角坐标系Bxy，将力F沿水平方向x和垂直方向y分解
由公式 （1—6）得到力F对B点之矩
例1—4 刹车踏板如图1—20所示。已知F=300N,a=0.25m，b=c=0.05m，推杆顶力S为水平方向，F与水平线夹角α=300.试求踏板平衡时，推杆顶力S的大小。
图1—20
解踏板AOB为绕定轴O转动的杠杆,力F对O点矩与力S对O点矩相互平衡.力F作用点A坐标为：
x=b=0.05m, y=a=0.25m
力F在x﹑y轴投影为：
X=－Fcos300=－260N Y=－Fsin300=－150N
由公式（1—6)得到力F对O点的矩
mo（F）=xY—yX=0.05×（－150）－0。25×（－260)N=57。5N
力S对O点的矩等于S×c，由杠杆平衡条件Σmo（F)=0,得到
三、空间问题中力对点的矩
力矩是度量力对物体的转动效应的物理量.对空间三维问题,我们需要建立力对点的矩的矢量表达式。
设O点为空间的任意定点，自O点至力F的作用点A引矢径r，如图1—21所示.r和F的矢积（叉积）称为力F对O点的矩,记作mo（F),它是一个矢量，O点称为矩心.即
mo(F)=r×F （1—7）
图1-21
注意式(1—5)中mo（F）为代数量(标量），而式（1-7)中mo（F)为矢量.
设力作用点A的坐标（x,y，z），i﹑j﹑k为x﹑y﹑z轴上单位矢量，力F用坐标轴上的投影X﹑Y﹑Z表示为：
F=Xi+Yj+Zk (a）
矢量叉积运算中i×i = j×j = k×k =0，i×j =－j×i = k，j×k =－k×j = i,k×i =－i×k = j。以mox﹑moy﹑moz分别表示力矩mo(F)在x﹑y﹑z轴上的投影，由于
r=xi+yj+zk （b）
将（a）、 （b）式代入（1—7)式，根据矢量叉积的运算规则,得到
mo(F）= moxi+moyj+mozk=r×F=( xi+yj+zk)×（Xi+Yj+Zk）=(yZ—zY）i+(yX—xZ）j+(xY—yX)k （1—8）
于是得到
（1－9)
将矢量叉积 r×F用三阶行列式表示：
（1－10）
在计算机上进行数值计算常运用公式(1-9）编制程序，公式(1-10）简捷明了便于记忆。本节公式涉及高等数学中的矢量叉积﹑行列式等内容，希望同学们多练习﹑多计算，做到熟能生巧.
例1-5如图1—22所示,大小为200N的力F平行于Oxz平面,作用于曲柄的右端A点，曲柄在Oxy平面内。试求力F对坐标原点O的力矩mo（F）.
图1—22
解曲柄上的右端A点坐标为：
x=－0.1m，y=0。2m,z=0.0
力F在x﹑y﹑z轴上的投影为
X=Fsin300=200×0。5000N=100。0N
Y=0。0
Z=－Fcos300=－200×0。8660N=－173。2N
力F对O点矩为
即Mox=－34。64N·m,Moy=－17.32N·m,Moz =－20。0N·m。
例1—6如图1—23所示，已知力F作用点A坐标（3，4，5），单位为米；对O点力矩mo(F）=－6i+7j－2k，单位为牛顿﹒米.试求力F的大小和方向。
图1—23
解力作用点A坐标为: x=3m, y=4m， z=5m
力F对O点矩在坐标轴上投影为mox=－6N·m，moy=7N·m，moz =－2N·m
力矢量表达为：F=Xi+Yj+Zk
将坐标值﹑力和力矩投影代入式（1-9）得到：
求解上述三元一次方程组，得到X=Y=2N，Z=1N。将X﹑Y﹑Z代入公式（1—4）求得力F的大小：
力F与x﹑y﹑z轴夹角分别为
第五节力对轴的矩
在机电系统中，存在着大量绕固定轴转动的构件,例如电机转子﹑齿轮﹑飞轮﹑机床主轴等。力对轴的矩是度量作用力对绕轴转动物体作用效果的物理量.我们讨论图1－24所示手推门的情况。设门绕固定轴z转动，其上A点受力F的作用。将力F沿z轴和垂直于z轴的H平面分解为Fz和Fxy两个分量.实践表明，分力Fz不能使刚体绕z轴转动，只有分力
图1－24
Fxy才能使刚体产生绕z轴的转动。所以力F对z轴的转动效应取决于分力Fxy对O点的