统计学常用分布及其分位数.doc

§1.4 常用的分布及其分位数
1. 卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N（0,1)时，Z= 的分布称为自由度等于n的分布，记作Z～(n），它的分布密度 p（z)=
式中的=，称为Gamma函数，且=1， =。分布是非对称分布，具有可加性,即当Y与Z相互独立，且Y～(n），Z~(m）,则Y+Z～（n+m)。
证明： 先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0，1），再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令
Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，
Y+Z= X+X+…+X+ X+X+…+X，
即可得到Y+Z~（n+m）。
2。 t分布 若X与Y相互独立，且
X~N（0，1)，Y～(n）,则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z ～ t (n）,它的分布密度
P(z）= 。
请注意:t分布的分布密度也是偶函数，且当n〉30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一.这时， t分布的分布函数值查N(0,1）的分布函数值表便可以得到。
3. F分布 若X与Y相互独立,且X～(n)，Y～（m)，
则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F （n, m）,它的分布密度
p(z）=
请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z~F (n, m）时，～F （m ,n）。
4. t分布与F分布的关系
若X～t（n)，则Y=X～F（1，n).
证:X~t（n），X的分布密度p(x）= 。
Y=X的分布函数F(y） =P{Y〈y｝=P{X<y｝.
当y0时，F（y）=0，p(y）=0；
当y>0时,F(y) =P{-<X<}
==2，
Y=X的分布密度p(y)=，
与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=X～F(1,n)。
为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表.有关分位数的概念如下:
4。 常用分布的分位数
1)分位数的定义
分位数或临界值与随机变量的分布函数有关,根据应用的需要，有三种不同的称呼，即α分位数、上侧α分位数与双侧α分位数，它们的定义如下：
当随机变量X的分布函数为 F（x)，实数α满足0 <α<1
时，α分位数是使P{X〈 xα｝=F（xα）=α的数xα,
上侧α分位数是使P{X >λ｝=1-F(λ）=α的数λ，
双侧α分位数是使P{X〈λ1}=F（λ1)=0.5α的数λ1、使
P｛X〉λ2}=1-F（λ2）=0。5α的数λ2.
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1—α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x 1—α；
F（λ1)=0。5α，1-F（λ2）=0。5α，所以双侧α分位数λ1就是0。5α分位数x 0.5α，双侧α分位数λ2就是1—0.5α分位数x 1—0.5α。
2）标准正态分布的α分位数记作uα，0。5α分位数记作u 0。5α，1—0.5α分位数记作u 1—0.5α.
当X～N（0，1）时,P｛X〈 uα}=F 0，1（uα)=α，
P{X<u 0.5α}= F 0,1 （u 0。5α)=0.5α，
P{X〈u 1-0.5α｝= F 0，1 （u 1-0。5α）=1—0.5α.
根据标准正态分布密度曲线的对称性，
当α=0.5时，uα=0；
当α〈0。5时，uα〈0。
uα=-u 1—α。
如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出 u 1—α，然后得到uα=—u 1—α。
论述如下：当X～N(0,1)时,P{X〈 u α}= F 0，1 （u α)=α,
P｛X< u 1—α}= F 0，1 （u 1—α)=1—α，
P{X〉 u 1-α}=1— F 0,1 （u 1-α）=α，
故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=—u 1-α。
例如,u 0.10=—u 0。90=—1。282，
u 0.05=—u 0.95=-1.645,
u 0。01=—u 0.99=-2。326，
u 0。025=-u 0。975=-1。960，
u 0。005=—u 0。995=—2.576。
又因为P{｜X｜< u 1—0.5α｝=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u 1-0.5α和-u 1—0.5α。
标准正态分布常用的上侧α分位数有：
α=0。10，u 0.90=1.282;
α=0。05，u 0.95=1.645；
α=0.01,u 0。99=2.326；
α=0。025，u 0.975=1。960；
α=0。005，u 0。995=2。576。
3）卡平方分布的α分位数记作α（n）。
α(n）〉0，当X～（n)时,P{X〈α(n）｝=α。
例如,0。005 (4)=0.21，0。025 (4）=0。48，
0。05 （4）=0。71,0。95 （4)=9.49,
0。975 (4）=11.1，0。995 （4）=14.9。
4）t分布的α分位数记作tα(n）。
当X～t （n）时，P{X<t α（n)}=α,且与标准正态分布相类似，根据t分布密度曲线的对称性,也有
tα(n）=-t 1—α（n)，论述同uα=—u 1—α。
例如，t 0.95 (4)=2。132,t 0.975 （4）=2。776，
t 0。995 (4）=4.604，t 0。005 (4)=-4。604,
t 0。025 （4)=-2.776,t 0.05 (4)=-2。132.
另外,当n>30时，在比较简略的表中查不到tα（n），可用uα作为tα(n）的近似值.
5）F分布的α分位数记作Fα（n ， m)。
Fα（n ， m）〉0,当X～F (n ， m）时，P｛X<Fα(n ， m）｝=α。
另外，当α较小时，在表中查不出Fα(n, m),须先查
F1-α(m, n），再求Fα（n, m）=.论述如下：
当X～F(m， n）时,P{X〈 F 1—α(m, n)｝=1-α,
P{〉｝=1—α，P｛〈}=α,
又根据F分布的定义,～F(n, m），P｛〈Fα（n, m） ｝=α，
因此 Fα（n, m)= 。
例如，F 0。95 (3，4）=6。59，F 0.975 （3,4）=9。98,
F 0.99 （3，4）=16.7,F 0。95 (4,3）=9。12，
F 0。975 （4,3）=15.1,F 0.99 (4，3)=28.7，
F 0。01 （3,4）=，F 0.025 (3,4)=，F 0。05 (3，4）=。
【课内练习】
1。 求分位数①0。05（8)，②0.95(12）。
2. 求分位数① t 0.05(8），② t 0。95（12)。
3. 求分位数①F0。05（7，5），②F0.95（10，12）。
4. 由u 0。975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数.
5。 由t 0。95（4）=2。132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。
6. 若X～(4),P｛X〈0.711}=0.05，P｛X〈9。49｝=0。95，试写出有关的分位数.
7。 若X～F（5，3)，P｛X<9.01｝=0.95,Y～F(3,5)，｛Y〈5。41｝=
0。95，试写出有关的分位数。
8。 设X、X、…、X相互独立且都服从N(0，0。09)分布,
试求P{>1.44｝.
习题答案：1. ①2.73，②21.0。2. ①—1。860,②1。782.
3。 ①，②3.37。4. 1。960为上侧0。025分位数，—1。960与1.960为双侧0。05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，—2。132与2.132为双侧0.1分位数。6。 0.711为上侧0。95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0。711与19.49为双侧0。1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位数,5。41为上侧0。05分位数，与5.41为双侧0。1分位数，与9。01为双侧0。1分位数。8. 0。1。