统计学常用分布及其分位数.doc

1.4 常用的分布及其分位数 1. 卡平方分布 卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X1、X2、Xn相互独立且都服从N（0,1)时，Z= 的分布称为自由度等于n的分布，记作Z(n），它的分布密度 p（z)=式中的=，称为Gamma函数，且=1， =。分布是非对称分布，具有可加性,即当Y与Z相互独立，且Y(n），Z(m）,则Y+Z（n+m)。 证明： 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0，1），再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y=X+X+X，Z=X+X+X， Y+Z= X+X+X+ X+X+X， 即可得到Y+Z（n+m）。 2。 t分布 若X与Y相互独立，且 XN（0，1)，Y(n）,则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z t (n）,它的分布密度 P(z）= 。 请注意:t分布的分布密度也是偶函数，且当n30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一.这时， t分布的分布函数值查N(0,1）的分布函数值表便可以得到。 3. F分布 若X与Y相互独立,且X(n)，Y（m)， 则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作ZF （n, m）,它的分布密度 p(z）=请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF (n, m）时，F （m ,n）。4. t分布与F分布的关系若Xt（n)，则Y=XF（1，n). 证:Xt（n），X的分布密度p(x）= 。 Y=X的分布函数F(y） =PYy=PX0时,F(y) =P-X=2， Y=X的分布密度p(y)=，与第一自由度等于1、第二自由度等于n的F分布的分布密度相同，因此Y=XF(1,n)。 为应用方便起见,以上三个分布的分布函数值都可以从各自的函数值表中查出。但是，解应用问题时，通常是查分位数表.有关分位数的概念如下:4。 常用分布的分位数 1)分位数的定义 分位数或临界值与随机变量的分布函数有关,根据应用的需要，有三种不同的称呼，即分位数、上侧分位数与双侧分位数，它们的定义如下： 当随机变量X的分布函数为 F（x)，实数满足0 =1-F(）=的数，双侧分位数是使PX1=F（1)=0.5的数1、使PX2=1-F（2）=0。5的数2. 因为1-F()=，F()=1，所以上侧分位数就是1-分位数x 1； F（1)=0。5，1-F（2）=0。5，所以双侧分位数1就是0。5分位数x 0.5，双侧分位数2就是10.5分位数x 10.5。2）标准正态分布的分位数记作u，0。5分位数记作u 0。5，10.5分位数记作u 10.5. 当XN（0，1）时,PX u=F 0，1（u)=，PXu 0.5= F 0,1 （u 0。5)=0.5，PXu 1-0.5= F 0，1 （u 1-0。5）=10.5.根据标准正态分布密度曲线的对称性，当=0.5时，u=0；当0。5时，u0。 u=-u 1。如果在标准正态分布的分布函数值表中没有负的分位数,则先查出 u 1，然后得到u=u 1。论述如下：当XN(0,1)时,PX u = F 0，1 （u )=,PX u 1= F 0，1 （u 1)=1，PX u 1-=1 F 0,1 （u 1-）=，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u=u 1-。 例如,u 0.10=u 0。90=1。282，u 0.05=u 0.95=-1.645,u 0。01=u 0.99=-2。326，u 0。025=-u 0。975=-1。960，u 0。005=u 0。995=2.576。 又因为PX u 10.5=1-，所以标准正态分布的双侧分位数分别是u 1-0.5和-u 10.5。 标准正态分布常用的上侧分位数有：=0。10，u 0.90=1.282;=0。05，u 0.95=1.645；=0.01,u 0。99=2.326；=0。025，u 0.975=1。960；=0。005，u 0。995=2。576。 3）卡平方分布的分位数记作（n）。(n）0，当X（n)时,PX(n）=。例如,0。005 (4)=0.21，0。025 (4）=0。48，0。05 （4）=0。71,0。95 （4)=9.49,0。975 (4）=11.1，0。995 （4）=14.9。4）t分布的分位数记作t(n）。当Xt （n）时，PX30时，在比较简略的表中查不到t（n），可用u作为t(n）的近似值.5）F分布的分位数记作F（n ， m)。 F（n ， m）0,当XF (n ， m）时，PXF(n ， m）=。 另外，当较小时，在表中查不出F(n, m),须先查F1-(m, n），再求F（n, m）=.论述如下：当XF(m， n）时,PX F 1(m, n)=1-,P=1，P=,又根据F分布的定义,F(n, m），PF（n, m） =，因此 F（n, m)= 。例如，F 0。95 (3，4）=6。59，F 0.975 （3,4）=9。98,F 0.99 （3，4）=16.7,F 0。95 (4,3）=9。12，F 0。975 （4,3）=15.1,F 0.99 (4，3)=28.7，F 0。01 （3,4）=，F 0.025 (3,4)=，F 0。05 (3，4）=。 【课内练习】 1。 求分位数0。05（8)，0.95(12）。 2. 求分位数 t 0.05(8）， t 0。95（12)。 3. 求分位数F0。05（7，5），F0.95（10，12）。 4. 由u 0。975=1.960写出有关的上侧分位数与双侧分位数. 5。 由t 0。95（4）=2。132写出有关的上侧分位数与双侧分位数。 6. 若X(4),PX0.711=0.05，PX9。49=0。95，试写出有关的分位数. 7。 若XF（5，3)，PX1.44. 习题答案：1. 2.73，21.0。2. 1。860,1。782.3。 ，3.37。4. 1。960为上侧0。025分位数，1。960与1.960为双侧0。05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，2。132与2.132为双侧0.1分位数。6。 0.711为上侧0。95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0。711与19.49为双侧0。1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位数,5。41为上侧0。05分位数，与5.41为双侧0。1分位数，与9。01为双侧0。1分位数。8. 0。1。