抛物线的几何性质培训讲学.doc

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抛 物 线
一、抛物线的简单几何性质
1、范围：因为，由方程可知，这条抛物线上任意一点的坐标满足不等式，所以这条抛物线在轴的右侧；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.
2、对称性：以代，方程不变，因此这条抛物线是以轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴
3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程中，当时，，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.
4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用表示.按照抛物线的定义，
知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点，线段叫作抛物线的通径，将代入得，故抛物线的通径长为
例1、已知点在抛物线上，则的取值范围？
分析：本题的实质是将转化为关于的二次函数，求二次函数在区间上的最值. ，又，所以当时，取得最小值9，当时，，无最大值.故的取值范围为
答案：

二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：

标准方程

图
像

范围
轴
轴
轴
轴
对称轴

焦点坐标

准线方程

顶点坐标

离心率

通径长

知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.
（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形；
②顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点；
③焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；
④离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是，双曲线离心率的取值范围是，抛物线的离心率是；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线
例2、某抛物线的顶点是椭圆的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.
分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为，所以可直接设抛物线的标准方程，求得后可得方程.
答案：解：由得：，所以椭圆的左顶点为.由题意设所求抛物线的标准方程为，由，得，故所求抛物线的标准方程为.
三、焦点弦问题及其应用
1、焦点弦
如图，是抛物线过焦点的一条弦.设点，线段的中点为，过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则根据抛物线的定义有.
又是梯形的中位线，.综上可得以下结论：
①，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.
②（焦点弦长与中点的关系）
③若直线的倾斜角为，则
推导：
由④的推导知，当不垂直于轴时，

当不存在时，即时，亦成立
④两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即，
分析：利用点斜式写出直线的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况.
推导：焦点的坐标为，当不垂直于轴时，可设直线的方程为：，由，得：

当垂直于轴时，直线的方程为：
则
⑤为定值
推导：由焦半径公式知，

又，代入上式得：为常数
故为定值.
2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质
（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切
（2）抛物线中，设为焦点弦，为准线与轴的交点，则
（3）设为抛物线的焦点弦.① 点在准线上的射影分别为点，若为的中点，则；②为抛物线的顶点，若的延长线交准线于点，连接，则平行于轴，反之，若过点作平行于轴的直线交准线于点，则三点共线.
（4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.
例3、已知抛物线的顶点在原点，轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.
解：当抛物线的焦点在轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为，直线的方程为.设直线与抛物线的交点为，过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，则有：
，
由，消去，得，即
，代入①式得：
所求抛物线的标准方程为
当抛物线的焦点在轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：
例4、已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则有（ ）

解析：在抛物线上，且，两边同时加上，得
即
答案：
例5、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么?
解析：由抛物线定义，得