抛物线的几何性质培训讲学.doc

今天努力一点，明天幸福一点抛 物 线一、抛物线的简单几何性质1、范围：因为，由方程可知，这条抛物线上任意一点的坐标满足不等式，所以这条抛物线在轴的右侧；当的值增大时，也增大，这说明抛物线向上方和右下方无限延伸，它的开口向右.2、对称性：以代，方程不变，因此这条抛物线是以轴为对称轴的轴对称图形.抛物线的对称轴叫作抛物线的轴3、顶点：抛物线和它的轴的焦点叫作抛物线的顶点.在方程中，当时，因此这条抛物线的顶点就是坐标原点.4、离心率：抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比，叫作抛物线的离心率，用表示.按照抛物线的定义，知识剖析：抛物线的通径：过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线交于点，线段叫作抛物线的通径，将代入得，故抛物线的通径长为例1、已知点在抛物线上，则的取值范围？分析：本题的实质是将转化为关于的二次函数，求二次函数在区间上的最值. ，又，所以当时，取得最小值9，当时，无最大值.故的取值范围为答案：二、抛物线的四种标准方程相应的几何性质：标准方程图像范围轴轴轴轴对称轴焦点坐标准线方程顶点坐标离心率通径长知识剖析：（1）通过上表可知，四种形式的抛物线的顶点相同，均为，离心率均为1，它们都是轴对称图形，但是对称轴不同.（2）抛物线和椭圆、双曲线的几何性质的差异：它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形，抛物线不是中心对称图形；顶点个数不同：椭圆有4个顶点、双曲线有2个顶点、抛物线只有1个顶点；焦点个数不同：椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；离心率的取值范围不同：椭圆的离心率的取值范围是，双曲线离心率的取值范围是，抛物线的离心率是；椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线，由于抛物线没有渐近线，因此在画抛物线时切忌将其画成双曲线例2、某抛物线的顶点是椭圆的中心，而焦点为椭圆的左顶点，求此抛物线的标准方程.分析：因为该椭圆的中心在坐标原点，左顶点为，所以可直接设抛物线的标准方程，求得后可得方程.答案：解：由得：，所以椭圆的左顶点为.由题意设所求抛物线的标准方程为，由，得，故所求抛物线的标准方程为.三、焦点弦问题及其应用1、焦点弦如图，是抛物线过焦点的一条弦.设点，线段的中点为，过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则根据抛物线的定义有.又是梯形的中位线，.综上可得以下结论：，其常被称作抛物线的焦点弦长公式.（焦点弦长与中点的关系）若直线的倾斜角为，则推导：由的推导知，当不垂直于轴时，当不存在时，即时，亦成立两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即，分析：利用点斜式写出直线的方程，与抛物线方程联立后进行证明.要注意直线斜率不存在的情况.推导：焦点的坐标为，当不垂直于轴时，可设直线的方程为：，由，得：当垂直于轴时，直线的方程为：则为定值推导：由焦半径公式知，又，代入上式得：为常数故为定值.2、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质（1）抛物线以过焦点的弦为直径的圆和准线相切（2）抛物线中，设为焦点弦，为准线与轴的交点，则（3）设为抛物线的焦点弦. 点在准线上的射影分别为点，若为的中点，则；为抛物线的顶点，若的延长线交准线于点，连接，则平行于轴，反之，若过点作平行于轴的直线交准线于点，则三点共线.（4）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦.例3、已知抛物线的顶点在原点，轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线，被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线方程.解：当抛物线的焦点在轴正半轴上时，可设抛物线的标准方程为，则焦点的坐标为，直线的方程为.设直线与抛物线的交点为，过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，则有：，由，消去，得，即，代入式得：所求抛物线的标准方程为当抛物线的焦点在轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是：例4、已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则有（ ） 解析：在抛物线上，且，两边同时加上，得即答案：例5、过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么?解析：由抛物线定义，得