研究生数值分析试卷.doc

2005～2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效.
一、(15分）设求方程 根的迭代法
（1) 证明对，均有,其中为方程的根。
(2） 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论。
二、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性.
三、(8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的.（范数用)
四、（15分）已知 的数据如下：

求的Hermite插值多项式,并给出截断误差。
五、(10分）在某个低温过程中，函数 依赖于温度x（℃)的试验数据为

1
2
3
4

0．8
1．5
1．8
2．0
已知经验公式的形式为 ，试用最小二乘法求出 ,.
六、(12分）确定常数 ， 的值，使积分
取得最小值。
七、（14分）已知Legendre（勒让德）正交多项式有递推关系式：
试确定两点的高斯—勒让德(G—L)求积公式
的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分
八、(14分）对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法：
（1） 验证它是二阶方法；
（2） 确定此单步法的绝对稳定域.
2005～2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷)
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性.
二、（15分）设求方程 根的迭代法
(1) 证明对,均有,其中为方程的根。
（2) 此迭代法收敛阶是多少? 证明你的结论。
三、（8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的。（范数用）
四、（15分）已知 的数据如下:

1 2 3

2 4 2

-1
求的Hermite插值多项式，并给出截断误差。
五、（10分）在某个低温过程中，函数 依赖于温度x（℃)的试验数据为

1
2
3
4

0．8
1．5
1．8
2．0
已知经验公式的形式为 ，试用最小二乘法求出 ，。
六、（12分）确定常数 ， 的值,使积分
取得最小值。
七、（14分）对于求积公式：，其中：是区间上的权函数.
（1） 证明此求积公式的代数精度不超过2n—1次;
（2） 若此公式为Gauss型求积公式，试证明
八、（14分)对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法：
（3） 验证它是二阶方法；
（4） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B卷）
科目名称:数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）讨论分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程组的收敛性。
二、（8分）若矩阵，说明对任意实数，方程组都是非病态的.（范数用）
三、（15分）设导数连续，迭代格式一阶局部收敛到点。构造新的迭代格式：
问如何选取常数及，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
四、(15分)已知 的数据如下：

1 2 3

2 4 2

—1
求的Hermite插值多项式，并给出截断误差.
五、（10分)在某个低温过程中,函数 依赖于温度x（℃）的试验数据为

1
2
3
4

0．8
1．5
1．8
2．0
已知经验公式的形式为 ，试用最小二乘法求出 ，。
六、（12分）确定常数 ， 的值，使积分
取得最小值。
七、（14分)对于求积公式：，其中:是区间上的权函数.
（3） 证明此求积公式的代数精度不超过2n—1次;
（4） 若此公式为Gauss型求积公式，试证明
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法：
（5） 验证它是二阶方法；
（6） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号: 姓名：
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分）设方程组为
（1） 用Doolittle分解法求解方程组；
（2） 求矩阵A的条件数
二、（12分）设A为n阶对称正定矩阵，A的n个特征值为,为求解方程组，建立迭代格式 ，求出常数的取值范围，使迭代格式收敛.
三、（12分）已知数据

—2
—1
0
1
2

0
1
2
1
0
试用二次多项式拟合这些数据。
四、（14分）已知 的数据如下：

1 2 3

2 4 12

3
（1）求的Hermite插值多项式；
（2）为求的值，采用算法:
试导出截断误差R
五、（12分）确定常数 ， 的值，使积分
取得最小值。
六、（12)确定常数,使求积公式
的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss型公式。
七、（12分)设导数连续,迭代格式一阶局部收敛到点。对于常数，构造新的迭代格式：
问如何选取，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法：
（7） 验证它是二阶方法；
（8） 确定此单步法的绝对稳定区域。
2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题
科目名称：数值分析 学生所在院： 学号: 姓名：
注意：所有的答题内容必须答在答题纸上,凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(15分）给定方程
　　（1） 分析该方程存在几个根；
(2) 用迭代法求出这些根,精确至2位有效数；
(3) 说明所用的迭代格式是收敛的.
二、（15分)设线性方程组为
(1) 证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.
(2） 当同时收敛时比较其收敛速度。
三、(10分）设为非奇异矩阵,方程组的系数矩阵有扰动，受扰动后的方程组为，若,试证：
四、（15分）已知 的数据如下：

求的Hermite插值多项式，并给出截断误差。
五、（10分）已知数据
i
0 1 2 3
xi
0 1 2 3
yi
3 2 4 7
设，求常数a ,b, 使得
六、（15分）定义内积 在中求的最佳平方逼近元素.
七、（10分)给定求积公式
试确定，使此求积公式的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式.
八、（10分）给定微分方程初值问题
用一个二阶方法计算在0.1 , 0.2 处的近似值。 取 计算结果保留5位有效数字。
2008～2009学年第一学期硕士研究生期末考试试题
一、（本题共3小题，每题8分,共24分）解答下面各题：
1) 下表给出了函数 f（x) 在一些节点上的函数值：
x
0.0
0。1
0。2
0。3
0.4
0.5
0。6
0。7
0。8
f（x)
5
8
6
3
0
—3
—3
3
5
用复化Simpson求积公式近似计算函数f(x)在区间［0, 0.8］上的积分。
2) 已知函数 y=f（x）的观察值如下表所示，使用Newton 插值法求其插值多项式.
x
0
1
2
3
y
2
3
0
—1
3） 取初值为2,利用Newton迭代法求方程:
在［0， 2]中的近似解。要求迭代两次.（如果计算结果用小数表示，则最后结果应保留5位小数）。
二、（本题15分)设常数a≠0，试求a的取值范围,使得用雅可比(Jacobi）迭代法求解下面线性方程组时是收敛的。
三、（本题16分)利用Hermite插值多项式构造下面的求积公式：
并导出其积分余项。
四（14分）已知方程 在0.2附近有解，建立用于求解此解的收敛的迭代公式.并问如何设置迭代终止条件可以保证计算结果具有4位有效数字（不计舍入误差）。
五、（15分）对初值问题 导出改进Euler方法的近似解的表达式，并与准确解 相比较.
六(15分）设A为n阶对称正定矩阵，从方程组的近似解出发依次求得使得，i=1,2,…,n，然后令。
其中：为n阶单位矩阵的第i列，.
请验证这样得到的迭代算法就是Gauss-Seidle迭代法。