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统计案例
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．对于自变量x和因变量y，当x取值确定时，y的取值带有确定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫( )
A．函数关系 B．线性关系
C．相关关系 D．回归关系
解析：选C 由相关关系的概念可知，C正确．
2．在一线性回归模型中，计算其相关指数R2＝0.96，下面哪种说法不够妥当( )
A．该线性回归方程的拟合效果较好
B．解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%
C．随机误差对预报变量的影响约占4%
D．有96%的样本点在回归直线上
解析：选D 由相关指数R2表示的意义可知A、B、C三种说法都很妥当，相关指数R2＝0.96，其值较大，说明残差平方和较小，绝大部分样本点分布在回归直线四周，不愿定有96%的样本点在回归直线上，故选D.
3．下表显示出样本中变量y随变量x变化的一组数据，由此推断它最可能是( )
x
4
5
6
7
8
9
10
y
14
18
19
20
23
25
28
A．线性函数模型 B．二次函数模型
C．指数函数模型 D．对数函数模型
解析：选A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线四周，故最可能是线性函数模型．
4．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x
1
2
3
4
用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝－0.7x＋，则＝( )
A．10.5 B．5.15
C．5.2 D．5.25
解析：选D 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得＝5.25.
5．下面的等高条形图可以说明的问题是( )
A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是确定不同的
B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同
C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方
D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握
解析：选D 由等高条形图可知选项D正确．
6．依据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为＝7.19x＋73.93，若用此方程猜想儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )
A．身高确定为145.83 cm
B．身高大于145.83 cm
C．身高小于145.83 cm
D．身高在145.83 cm左右
解析：选D 用线性回归方程猜想的不是精确值，而是估量值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．
7．在2×2列联表中，下列哪两个比值相差越大，两个分类变量有关系的可能性就越大( )
A.与 B.与
C.与 D.与
解析：选A 当ad与bc相差越大，两个分类变量有关系的可能性越大，此时与相差越大．
8．如图，5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )
A．相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．相关指数R2变大
D．解释变量x与预报变量y的相关性变强
解析：选B 由散点图知，去掉D后，x与y的相关性变强，且为正相关，所以r变大，R2变大，残差平方和变小．
9．为了解高中生作文成果与课外阅读量之间的关系，某争辩机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
作文成果优秀
作文成果一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，依据临界值表，以下说法正确的是( )
A．没有充分的理由认为课外阅读量大与作文成果优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成果优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成果优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成果优秀有关
解析：选D 依据临界值表，9.643＞7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成果优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成果优秀有关．
10．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：选A 列2×2列联表如下：
x1
x2
总计
y1
10
21
31
y2
c
d
35
总计
10＋c
21＋d
66
故K2的观测值k＝≥5.024.
把选项A，B，C，D代入验证可知选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财宝之间的关系；
②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；
③苹果的产量与气候之间的关系；
④森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系；
⑤同学与他(她)的学号之间的关系．
其中有相关关系的是________．
解析：利用相关关系的概念推断．①是不确定关系．②曲线上的点与该点坐标是一种对应关系，即每一个点对应一个坐标，是确定关系．⑤同学与其学号也是确定的对应关系．
答案：①③④
12．已知回归直线的斜率的估量值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程是________．
解析：设回归直线的方程为＝x＋.回归直线的斜率的估量值是1.23，即＝1.23，又回归直线过样本点的中心(4,5)，所以5＝1.23×4＋，解得＝0.08，故回归直线的方程为＝1.23x＋0.08.
答案：＝1.23x＋0.08
13．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对比表．由表中数据得线性回归方程＝x＋，其中＝－2.现猜想当气温为－4℃时，用电量的度数约为________.
用电量y(度)
24
34
38
64
气温x(℃)
18
13
10
－1
解析：由题意可知
＝(18＋13＋10－1)＝10，
＝(24＋34＋38＋64)＝40，
＝－2.
又回归直线＝－2x＋过点(10,40)，
故＝60，
所以当x＝－4时，＝－2×(－4)＋60＝68.
答案：68
14．某部门通过随机调查89名工作人员的休闲方式是看电视还是运动，得到的数据如下表：
看电视
运动
总计
女
24
31
55
男
8
26
34
总计
32
57
89
你认为性别与休闲方式有关系的把握为________．
解析：由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝≈3.689＞2.706，
因此，在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为性别与休闲方式有关系，即认为性别与休闲方式有关系的把握为90%.
答案：90%
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤．)
15．(本小题满分12分)有两个分类变量x与y，其一组观测值如下面的2×2列联表所示：
y1
y2
x1
a
20－a
x2
15－a
30＋a
其中a,15－a均为大于5的整数，则a取何值时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系？
解：查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系，则k≥2.706，而
k＝
＝
＝.
由k≥2.706得a≥7.19或a≤2.04.
又a＞5且15－a＞5，a∈Z，即a＝8或9，
故a为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x与y之间有关系．
16．(本小题满分12分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到数据如下：
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5
(1)在给定坐标系中画出表中数据的散点图；
(2)求y关于x的线性回归方程＝x＋；
(3)试猜想加工10个零件需要的时间．
解：(1)散点图如图所示：
(2)由题中表格数据得＝3.5，＝3.5，
(xi－)(yi－)＝3.5， (xi－)2＝5，
由公式计算得＝0.7，＝－＝1.05，所以所求线性回归方程为＝0.7x＋1.05.
(3)当x＝10时，＝0.7×10＋1.05＝8.05，
所以猜想加工10个零件需要8.05小时．
17．(本小题满分12分)通过随机询问某校110名高中同学在购买食物时是否看养分说明，得到如下列联表：
男
女
总计
看养分说明
50
30
80
不看养分说明
10
20
30
总计
60
50
110
(1)从这50名女生中按是否看养分说明分层抽样，抽取一个容量为5的样本，问样本中看与不看养分说明的女生各有多少名？
(2)从(1)中的5名女生中随机选取2名进行深度访谈，求选到看与不看养分说明的女生各1名的概率；
(3)依据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“性别与在购买食物时看养分说明有关系”？
参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
参考数据：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解：(1)依据分层抽样可得，样本中看养分说明的女生有×30＝3名，样本中不看养分说明的女生有×20＝2名．
(2)记样本中看养分说明的3名女生为a1，a2，a3，不看养分说明的2名女生为b1，b2，从这5名女生中随机选取2名，共有10个等可能的基本大事：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)．
其中大事A“选到看与不看养分说明的女生各1名”包含了6个基本大事：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)．
所以所求的概率P(A)＝＝.
(3)依据题中的列联表得
K2＝＝≈7.486.
由P(K2≥6.635)＝0.010可知，
在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校高中同学“性别与在购买食物时看养分说明有关系”．
18．(本小题满分14分)在关于人的脂肪含量(百分比)和年龄的关系的争辩中，争辩人员获得了一组数据如下表：
年龄x
23
27
39
41
45
49
50
53
54
56
57
58
60
61
脂肪含量y
9.5
17.8
21.2
25.9
27.5
26.3
28.2
29.6
30.2
31.4
30.8
33.5
35.2
34.6
(1)作出散点图，并推断y与x是否线性相关，若线性相关，求线性回归方程；
(2)求相关指数R2，并说明其含义；
(3)给出37岁时人的脂肪含量的猜想值．
解：(1)散点图如图所示．由散点图可知样本点呈条状分布，脂肪含量与年龄有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．
设线性回归方程为＝x＋，
则由计算器算得≈0.576，≈－0.448，
所以线性回归方程为＝0.576x－0.448.
(2)残差平方和： ＝ (yi－i)2≈37.20，
总偏差平方和： (yi－)2≈644.99，
R2＝1－≈0.942，
表明年龄解释了94.2%的脂肪含量变化．
(3)当x＝37时，＝0.576×37－0.448≈20.9，故37岁时人的脂肪含量约为20.9%.
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