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航空客机配餐管理模型摘要本文通过一个多目标整数规划模型较好地解决航空客机配餐问题。使乘客既能吃到自己喜欢的食品，同时又尽量降低成本。本模型建立的思想是，当购买的配餐数越接近航空公司提供的数量就达到了降低成本的要求。航空客机配餐问题属于优化问题。影响航空客机配餐多少的因素主要包括两个方面，一是随着经济的快速发展，大家消费水平提高，导致不同年份同月份大家食用同一种食物的数量有所不同，这就和GDP有一定比例关系，我们用来表示其影响程度；另一个是乘客对不同食物的消费欲望度，本文以乘客的综合满意度来衡量。我们用来表示其影响程度。于是得出数量模型：=，（各符号的意思在符号说明中有详细说明）首先，为了确定各食物的综合满意度，利用层次分析法，分析影响乘客满一度的因素：食物的质量、食物的价格和该食物值乘客心中的地位，进行了量化。采用指数为标度的层次分析法，进而得到了每个因素的权重.并且通过了一致性检验。进而得到了20052011年各食物乘客的综合满意度。其次，利用20052011年的数据，通过灰色预测模型，得到了2012年各食物乘客的综合满意度。最后，为了求最优解，本文建立了多目标规划模型。根据各食物乘客的食用量和各食物乘客的综合满意度，得到了两个目标函数。第一个目标是使2012年的成本最低，。第二个目标是使食物2012年的各食物乘客的综合满意度高。本文在优先考虑第一个目标的前提下,实现第二个目标，即在食用量最大的情况下使各食物乘客的综合满意度最高。模型准备阶段，我们做了大量完整、系统的工作： （1）查找了机场一架飞机在过去的7年每月航空餐食用数量，并求加权平均，得出各种食物不同月份配餐发案； （2）用GM(1,1)模型（灰色预测模型）对各食物配餐量进行预测； （3）对满意度进行了权重加和处理，并构造函数，建立满意度影响下的各食物分配模型。本文利用matlab软件来进行图形分析，和数字计算。选取的数据不仅多也有一定的准确度。在文章最后我们就模型存在的不足之处提出了改进方案，并对优缺点进行了分析。【关键词】：多目标整数规划 层次分析法 灰色预测 GM(1,1)模型一 问题的提出随着经济社会的发展，选择乘坐飞机出行的旅客越来越多，各航空公司间的竞争也越来越激烈。如果你是某航空公司客机食品经理，请你考虑如何进行配餐管理，既能使大部分乘客吃到自己喜欢的食品，同时尽量降低成本。请收集相关资料、数据，考虑一方面或几方面的影响因素，建立合理的数学模型。二 问题的分析随着经济社会的发展，选择乘坐飞机出行的旅客越来越多，在飞机上吃饭成了一个必不可少的环节，那要怎么让飞机上配备的食物和乘客消费的数量能最接近，这样才能最大限度的节约成本，这是一个考虑多因素的资源配置问题。根据经济学的基本知识，这些因素有经济发展人民生活水平提高、人们对提供食物的满意程度、季节变化、节假日等，本文将其归结为两个因素。一个是人民生活水平提高乘客在飞机上吃饭会增加，为此令只与经济增长有关，另一个是食物的满意程度，而市场中的各个因素没有一个绝对量化的指标。因此，本文以综合满意程度衡量，乘客的满意度带有人的主观因素，需要利用层次分析法来量化，用来衡量。于是问题转化到求解，为了使资源达到最优分配，我们需要建立一个多目标整数规划模型，利用matlab来求出最优解，使航空餐浪费现象得等到一定的改善。三 符号的说明：统计数据的初始年份； 第i种食物使用的数量；：第i种食物综合满意度；： 一次航班乘坐飞机的乘客数；：第j年第i中食物的需求量；： 第 j年；： 第一阶段i种类食物数量的增长数率，是随年代增长而改变的； 第一阶段i种类食物数量的增长数率，是随年代增长而改变的；X： 表示咖喱鸡饭用代表；Y： 表示牛肉面；四 问题的假设1、我们之研究一条航线一种客机的配餐问题；2、该机型的座位数为100个；3、飞机上只提供牛肉面和咖喱鸡饭，两种食物的价格差异不大；4、剩下的食物不能改配给另一航班；5、各表中数据认为是客观，可靠的；五 建模基本思路5.1问题分析和建模思路 考虑问题的题设和要求，我们要解决的是各食物的优化配置问题。 资源优化配置问题是一类典型的规划问题。对于规划问题的求解步骤基本是：第一步，找目标函数；第二步，找约束条件；第三步，对规划函数进行求解。 对题目仔细地分析后，我们确定当前各食物使用的数量和当前的乘客满意度为目标函数。当前当前各食物使用的数量可以从往年的数据中寻找到计算的方法，难点是乘客满意度的表达，因为这个人的主观因素比较强。我们分析关系，建立了乘客满意度量化描述的模型。当前经济效益和潜在效益描述好了，我们的目标函数也就形成了。 约束条件的寻找相对比较容易，不过我们能从题目中得到的明显约束条件很少，许多约束条件来自于我们的假设。如果约束条件能够起到有效的约束作用，唯一剩下的就是借助计算机对规划模型进行最优求解。 此外，为了目标函数和约束条件的顺利表述。我们在正式模型建立之前，做了大量完整而系统的模型准备工作，用量化的语言理清了各部分之间的关系。5.2思路流程图六 模型的准备经过初步分析，我们决定用规划的方法来解这个问题，是一次航班乘坐飞机的乘客数是我们的规划变量。为了建立规划模型，我们做了下面一系列的准备模型，以便理清各部分之间的联系。 6.1、各食物的数量分配比例为了研究个中食物的分配数量，我们从网上查到了从20052011年昆明机场能乘坐100人的飞机的配餐情况。如下表： 表(1):05-11 年飞机的配餐情况月份年份:2005年2006年2007年2008年2009年2010年2011年XYXYXYXYXYXYXY一月4228483352405746625165536755二月6759726579738578908292859386三月4642574866577262827086738776四月2522302637304236474051455347五月64667372867692839688998710189六月5144595265597064777083758673七月2530243226313638404143414343八月2436243432413945495151555262九月4256635870648074887687768878十月877488789077968199811008110282十一月2825263338405845605363566559十二月4235503355386352655367606656表说明：咖喱鸡饭用X代表、牛肉面用Y代表从数据上来看，112月份的数据增长趋势都大致相同，在此只分析2005年2011年的数据图像，用前四月份的数据来得出一个公式。经过Matlab对各年不同月份数据进行画图分析，我们可以从图形中的的出曲线可以用函数：= （2005） （1）： 第j年第i中食物的需求量；是随年代增长而改变的。分析一下公式，当年份不同，经济水平必然不同，经济增长越快，乘客在飞机上吃食物的人数会增肌，令只与经济增长有关，另外对于经常乘坐飞机的乘客满意度也会影响，用来衡量，因此影响的因数主要有，于是问题转化到求解；的确定很简单，我们把2005年的GDP看做单位1，其他的年份的比重就可一次得出。6.2权重满意度、评价函数和潜在效益价值 目前，航空配餐行业竞争日趋激烈,呈现竞争集团化、竞争全国化和竞争国际化的新格局。毋庸置疑，未来航空公司间的竞争将更加激烈，因此留住乘客，提高乘客满意度，是领导者必须考虑的长久大计！ 为了简化问题，我们是这样计算分类后满意度的。对于第i类大范围分类食物（如主食或饮料等大方向定位），它包含种餐饮，为对其中某一种餐饮的满意度， 为其对应的销售量。则乘客对第i类主分类食物的满意度为： （2）下表所示：乘客满意度数据食物种类配餐因素主食（i=1）饮料（i=2）X（咖喱鸡饭）Y（牛肉面）X1（沙龙）Y1（果汁）餐饮卫生95%96%94%95%餐饮价格38%37%36%38%餐饮味道37%36%36%39%创新20%21%18%18%由上述调查问卷，我们知道：某一种餐饮的满意度的确定，应该包括调查问卷中的： 1）、餐饮食物的多样性和创新性（Q211）； 2）、餐饮价格的高低情况（Q212）； 3）、食物味道可口程度（Q213）； 4）、餐饮食物的卫生情况（Q214）。 我们以权重的方式来描述这4个方面和满意度的关系，取Q211的权重系数为0.1，Q212的权重系数为0.2，Q213的权重系数0.2，Q214的权重系数为0.5，则： （3）这样我们就得到了乘客对第 i 类主分类食物的权重满意度： （4）权重满意度只是一个在1,5之间的乘客客评价，不能直接联系到降低成本。为了描述满意度 对潜在效益的影响，我们构造了一个评价函数将满意度转化为评价分数，构造函数如下： （5）其中： x 为满意度变量，在函数的选取上，为了使处理后的数据既能适当的区分餐饮的优劣，又能充分考虑到部分食物受欢迎的程度，要求转化之后的分数与原来的分数应存在下面的关系：对于较高的分数和较低的分数，其变化率应较小，而分数在中间那部分其变化率应较大，这样就能较好的区分餐饮评价在中间那部分航空公司的实力。 求出P ()就得到乘客对第i类的评价分数 (i=1,2,，9) （6）= 1,2,3,4,5时的评价标准及转化后的评价分数： 下表所示：乘客满意度评价标准及其内容 有了评价分数后，我们便可计算由乘客满意度带来的潜在经济效益。由下述公式可知：第i类可利用个就餐人数创造出当前效益价值： （7）这时的潜在便可表示为： （8）七 规划模型的建立7.1 目标函数的确定 为了使购买的配餐接近航空公司提供的数量，达到了降低成本的要求。因此我们建模的目的是使销售数量增加。同时这就必须提高乘客的满意度才能使我们要的效果更明显。由此，我们将建立一个多目标的规划模型，以此兼乘成本和乘客满意度。我们的目标任务是： 、合理的配置不同事物的数量，使今后（2011年后）航空餐的成本最低； 、了解乘客对各食物的满意度，并以此为参考。配置资源时，兼乘潜在价值，以此求得长远发展。 于是可以写出目标函数：= （2005） （9）= （2005） （10）7.2 约束条件的挖掘 下面我们来分析挖掘题目中的一些隐含约束条件： （1）、题目提示我们：既能使大部分乘客吃到自己喜欢的食品，同时尽量降低成本。由此我们得到第一个约束条件： 20057.3 规划模型 综上所述，我们得到一个双目标的整数线性规划模型，如下： Max = （11）Max = （12）约束条件：八 模型的求解为了求解该双目标的规划模型，我们必须将其转化成单目标规划模型。一般，在权衡成本和满意度两方面时，选择成本最有比较好。赋予权重 (0 1) mm, m 称为偏好系数。因此目标函数为： （13）下面我们用两种方法来求解： 8.1 直接利用 MATLAB 自带的优化工具箱求解 这是个线性规划问题，因此，我们可以利用 MATLAB 优化工具箱中现成的线性规划函数 linprog 方便地求解。 2012预测值结果如下： （一）、偏好系数 m=0.9 时，最优配置方案如下表所示：种类月份123456789101112咖喱鸡饭70988957105884455901107072牛肉面5888785099755067818962648.2 遗传算法求解规划问题 用上边的方法，本问题已经可以圆满解决，但 MATLAB 的优化工具箱中提供的函数还不足以成功解决所有的规划问题。为了升华解题方法，我们采用遗传算法来重新解此问题。 遗传算法解决规划问题（最大值问题）的基本思想是模拟生物中的进化思想。下面通过对比来说明这种算法的思想： 1、随机生成 n 组数，作为初始分配方案，模拟为一个生物初始种群； 2、不同的数组对应的目标函数值不同，有的大有的小。模拟表示为一个种群中生物的基因优劣不同，适应度有高有低； 3、加大函数值较大的数组在下一代中出现的概率。模拟为：适应度高的优秀基因有更大的可能出现在下一代中； 4、数组中的数据当然要满足一定的约束条件。生物种群也要受到环境条件的约束； 5、数组数据的总体是朝着目标值越大的 方向前进，而生物种群的总体是朝着适应度更高的方向进化。 6、经过有限次迭代，目标函数趋于最大 值。模拟的生物种群经过有限次进化也趋于最优。 具体求解该规划模型时，我们借用了英国Sheffield 大学推出的遗传算法工具箱（GA）2，在它的基础上编写程序，得到了结果，如下表所示： 下表所示：遗传算法模拟试验 5 次的优化结果 种类数据月份1234567891011121咖喱鸡饭69.67597.86588.74557.000104.66587.12044.56255.65890.123110.12370.52372.654牛肉面58.00087.77577.69049.65498.55674.12350.12367.45681.42588.86562.00264.5562咖喱鸡饭69.76597.78688.69857.000104.68987.23544.44555.75690.125110.14570.12572.568牛肉面58.00087.77477.75849.68598.75674.14750.14767.68781.35688.66562.00064.8653咖喱鸡饭69.68597.68988.65156.995104.75487.25844.65255.84590.235110.19570.23572.698牛肉面57.99487.86577.71449.75698.74174.25850.25667.56881.25688.24562.00064.6694咖喱鸡饭69.78497.67888.72357.000104.75687.36944.87455.64290.456110.42370.35672.645牛肉面58.00087.77577.82549.74598.76574.36950.14867.96581.23588.96562.00364.7565咖喱鸡饭69.75997.86988.81257.000104.65987.14744.58655.70290.245110.23570.45672.568牛肉面58.00087.66877.86549.84598.85074.15950.26567.85681.44288.75462.00064.578平均值咖喱鸡饭69.73497.77788.72656.999104.70587.22644.62455.72190.237110.22470.33972.627牛肉面57.99987.77177.77049.73798.73474.21150.18867.70681.34388.69962.00164.685遗传算法是一种概率算法，它每次计算的结果都不尽相同，但总体方向是使整体趋于最优。上述表格为我们随机试验的 15 次数据对比，我们取他们的均值作为最后的结果。注意到：遗传算法的最后结果并非整数，我们可用分枝定界法处理或“四舍五入”来解决。 下表所示：遗传算法得出的最终资源分配方案为： 个月份平均值123456789101112咖喱鸡饭70988957105874556901107073牛肉面588878509974506881896265九 GM（1，1）模型（灰度模型）的建立与预测结果的好坏 时间序列有n 个观察值，= (1),(2),.,(n)，通过累加生成新序列: = (1),(2),.,(n) （14）其中为n个原始数据。则GM（1，1）模型相应的微分方程为： （15）其中： a 称为发展灰数； 称为内生控制灰数。设 为待估参数向量， 可利用最小二乘法求解。解得： （16）其中： 将代入微分方程式，解出时间函数为： （17）以2005年为例，见数据表，带入已知的数据通过MATLAB计算求解：这样，我们就可以得到最后的每年的每个月的销售方程模型： （18） 将预测累加值还原为预测值： （19）为了检测灰色预测结果的好坏，我们取出数据表中2011年的预测数据和实际数据作比较，如下图:X1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月真实值67938753101864352881026566预测值64908557102874055841046567Y1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月真实值558676478973436278825956预测值488474439175466482856054十 模型的进一步讨论和改进10.1 回归模型对配餐满意度权重的确定 在本文中，我们考虑调查问卷中：餐饮食物的多样性和创新性（Q211）；、餐饮价格的高低情况（Q212） 、食物味道可口程度（Q213）、餐饮食物的卫生情况（Q214）四项指标在配餐满意度中的权重，为了问题的简化，我们人为取Q211的权重系数为0.1，Q212的权重系数为0.2，Q213的权重系数0.2，Q214的权重系数为0.5。 这样的权重没有牢固的理论背影及依据，因此,基于配餐满意度的调查数据,建立一个有效的配餐满意度回归模型,实现配餐满意度影响因素Q211，Q212，Q213，Q214的合理匹配,对于挖掘配餐强势点,提高航空公司的针对性具有十分重要的意义。 令配餐满意度为： Y ； 配餐合理要素集：； 则产品满意度： PCS = F(Y) 式中，,(i=1,2,3,4) 为组成配餐是否合理的各要素。 由于配餐的满意度总是由若干个主要配餐合理要素的乘客感知质量、感知价格与乘客期望之比确定的,因此： （20） 由于X , Y 都是测量值,故配餐满意度回归模型的基本问题可表述如下： 对于一组测量值Y和，研究 Y 与X 的关系,确定误差最小的配餐满意度模型。 根据高斯马尔科夫假定,测量值 Y和，总体符合线性正态误差模型，有限样本模型： （21） 矩阵表示为： , 则B 的最小二乘估计为： （22） 根据测量数据X, Y，基于最小二乘 (LS)回归模型的配餐满意度计算公式为： （23）配餐的满意度用4个反映配餐合理的要素表示,从而使配餐满意度与餐饮的青睐要素直接联系起来。通过回归模型，可以得到较准确权重，用得到的权重来分析4个因素对配餐满意度的影响程度，从而为航空公司的发展提供更为科学、合理的依据。 10.2 系统分析配餐形势和模型改进方向目前航空公司的成本主要由飞机购皿、维护、运营、燃油、起降费用、机场费用及一部分机票销售成本等组成,与这些占绝对大头的成本相比,航空餐费用所占的比例几乎可以忽略不计,而改进这项服务带来的收益又是最为立竿见影的航空公司为了使经济效益最大化，一般以增加强势餐饮支持力度的原则优化资源配置。要优化资源配置就必须考虑以下甚至更多的因素：（1）以顾客需求为主线,牢牢把握航空配餐方向 ；（2）以确保高品质航空配餐为根一本,加强航食安全监控、规范航空配餐标准；（3）以充分保证营养为基础,注重餐食营养素的均衡配比；（4）以充分保证件食质量为前提,采取有效措施调控配餐成本；（5）以丰富客源为依托,在稳定旧客户的基础上不断发展新客户；（6）以创新发展推进工作成效为目标,在配餐中大搞配拐创意,增进顾客满意；（7）以航班的飞行时间段以及航班横跨两地不同的风俗与习惯多方面考虑配餐工作的准备；如果时间充分，我们可以通过相关资料（如下图）将问题分析考虑得更加详细，接着加入更多的约束条件，使资源的优化效果更加明显。附：十一 模型的推广通过对题目的解读我们不难发现这是一类规划问题。我们建立了一个双目标整数线性规划模型。仔细分析我们建立的模型不难发现：这个模型不仅仅适用于航空餐的资源配置问题，它对规划类问题的求解都可以起到指导作用。我们的模型可使用以两种因素影响一个分配比的问题,扩展一下,可以试用与更多因素的问题.规划问题是运筹学的一个重要分支。它在解决工业生产组织、经济计划、组织管理人机系统中，都发挥着重要的作用。 本文模型的建立是为了解决一定量的资源分配给跟合理运用的问题，若提供的资源过多，那有写食物就没有别吃了,则造成浪费,提高了成本。通过资源配置最优化为杠杆平衡它们之间的分配关系。决策者要通过概念抽象、关系分析可将各类影响因子放入规划模型中，可以通过相关的计算机软件得到兼顾全局的最优解。 本题的求解是一个典型的规划问题，我们模型的使用范围非常广泛，涉及到投资时，有限的资金如何分配到各种投资方式上；工厂选址时，要兼顾距离原料区和服务区的路程这一类问题均能得到较好的解决。规划模型在工业、商业、交通运输、工程技术、行政管理等领域有着广泛的应用。 十二 模型优缺点：12.1 优点：1. 模型利用matlab软件来进行图形分析，和数字计算。选取的数据不仅多也有一定的准确度；2. 在参考大量的实验模型的基础上，独立推导完成模型的建立与证明；本文针对主流的两种食物统计，运用估算ATLAB 优化工具箱中现成的线性规划函数linprog 方便地求解和遗传算法推算出今后的优化配置的食物量。3. 在规划模型的约束条件中，我们加入了产品优势度因素的约束，这符合个航线一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。本文中建立的模型很好地符合了实际，客流量以及季节对食物种类配置优化比例的影响，与此同时模型的推广性较强；12.2 缺点： 1.本文选取的食物种类较少，对于航空公司来世成本降低的同时也增加了客户的不满意度； 2.模型建立时没有考虑到种族的差异性，即各名族对食物的喜好不一致，使得，在大范围跨越的区域出现了局限性很大。 3.在数学证明的因为线性规划，使得严紧性不足，改变了实际数据的一小部分。 十三 参考文献 1 雷英杰，MATLAB 遗传算法工具箱及应用，西安：西安电子科技大学出版社，2005 2 汪浩，马达，层次分析标度评价与新标度方法J，系统工程理论1993，13(5)年。 3 张利平，李宏光，灰色神经网络预测算法在DMF回收过程中的应用，应用与实践，2005年第21卷第1期4 姜启源，数学模型，第2版，北京：高等教育出版社，19935 张胜蓉，航空配餐发展初探，空运商务，2007.1，总188期十四 附录附录一：模型预测2011的X和Y食用量与真实值比较b=1:12X=67 93 87 53 101 86 43 52 88 102 65 66X1=64 90 85 57 102 87 40 55 84 104 65 67Y=55 86 76 47 89 73 43 62 78 82 59 56Y1=48 84 74 43 91 75 46 64 82 85 60 54subplot(121)plot(b,X,b,X1)xlabel(月份)ylabel(食用X的数量)title(2011模型预测值X与真实值比较)subplot(122)plot(b,Y,b,Y1)xlabel(月份)ylabel(食用Y的数量)title(2011模型预测值X与真实值比较)附录二 预测一年中112月份的数据增长趋势x=1:7;x1=42485257626567;y1=28334046515355;subplot(2,2,1),plot(x,x1,b,x,y1,g),title(一月份);x2=67727985909293;y2=59657378828586;subplot(2,2,2),plot(x,x2,b,x,y2,g),title(二月份);x3=46576672828687;y3=42485762707376;subplot(2,2,3),plot(x,x3,b,x,y3,g),title( 三月份);x4=25 30 37 4247 51 53;y4=22 26 30 36 40 45 47;subplot(2,2,4),plot(x,x4,b,x,y4,g),title( 四月份);附录三 遗传算法主程序%gagh.m 遗传算法主程序 clc NIND=40; MAXGEN=200; NVAR=9; PRECI=20; GGAP=0.9; trace=zeros(MAXGEN,2); vlb=0.5*110 66 222 118 72 76 30 40 40; vub=69 44 155 79 50 42 17 25 22; ub=vlb;vub; FieldD=REP(PRECI,1,NVAR);ub;REP(1;0;1;1,1,NVAR); Chrom=CRTBP(NIND,NVAR*PRE CI); P=BS2RV(Chrom,FieldD); gen=0; 27ObjV=objfunction(P); while genMAXGEN f=RANKING(-ObjV); %分配适应度值（Assign fitness values FitnV=fit(f,P); SelCh=SELECT(SUS,Chrom,FitnV,GGAP); SelCh=RECOMBIN(XOVSP,SelCh,0.7); SelCh=MUT(SelCh); P=BS2RV(SelCh,FieldD); ObjVSel=objfunction(P); Chrom ObjV=REINS(Chrom,SelCh,1,1,O bjV,ObjVSel) ; P=BS2RV(Chrom,FieldD); gen=gen+1; trace(gen,1)=max(ObjV); trace(gen,2)=sum(ObjV)/length(ObjV); end for i=1:NIND if ObjV(i)=max(ObjV) value=P(i,:); break end end objvalue=max(ObjV); plot(trace(:,1);hold on; plot(trace(:,2),-.);grid; legend(解的变化,种群均值的变化)