抛物线上的张角问题说课材料.doc

1．我们说，在平面上，已知两个定点A、B，点P为平面上一点，
从点P处观测A、B两点所成的角叫张角．

2．若线段AB为定长的线段，点C为线段AB所在的直线外一点，
连接AC，BC，我们称∠ACB为线段AB的张角．AB叫做张角∠ACB
所对的张边．

一、 问题的提出：
1．问题的提出：
在平面直角坐标系中，已知A、B两定点，求具有某种属性的点P(如P在某
函数图象上，又或点P的坐标具有某种关系)，使∠APB等于已知角a．

2．问题解决的方法与步骤：
下面以点P在某函数y＝f(x)的图象上为例来说明．
特别的，当AB与坐标轴平行时，可构造斜射影相似来解决．
(1)以AB∥x轴为例来说明
在射线AB上取点D，使，则∠ADP＝∠APB
则△APD∽△ABP ，则．
设P(m，f(m))，所以C(m，) 所以
解方程可求出m的值，P点可求．
(2)若点线段AB与x轴不平行时怎么办？可以采用以下方法：
方法：过张角的顶点作坐标轴的平行线，构造一线三等角．

如图：过点P作l∥x轴，再分别由A，B向l引垂线，垂足为C，D，在DC延长线上取点E，使
， 在CD延长线上取点F，使，则∠AEP＝∠BFP＝∠APB．
可证△AEP∽△PFB 则 所以
设P(m，f(m))，则PE，PF，与AE、BF均可用含m的代数式表示，则方程可解，点P的坐标可解．

3．对问题的解决提出质疑：

以上问题可以过点P作x轴或y轴的平行线l，根据一线三等角创造相似三角形来解决，依然设P(m，f(m))，所以C(m，)，所以，解方程可求出m的值，P点可求．
但当y＝f(x)为二次函数或反比例函数时，那么最后所得的方程均为一元高次方程!
4．抛物线上的张角问题
在平面直角坐标系中，已知A、B为抛物线y＝f(x)上的两定点．
点P在y＝f(x)的图象上，若∠APB等于已知角a，求点P的坐标．

显然，如果按照前面的做法去解决，结果会是高次方程，显然不行，因此，我们要寻找其它适合初中数学教学要求的方法．
为解决此问题，我们首先要掌握以下几个问题．
二、 问题准备
1． 解直角三角形的张角对张边的问题
我们都知道，在解三角形的问题中，如果给出三角形的三个要素(不全是角)三角形即可解，但是有些条件的给出(初等方法可解)，如果方法不当解起来就很困难，这里我们仅条件集中在三角形中一个角、这个角所对的边，这个角所对的边上的高解三角形进行研究，我们把此类问题称之为解三角形中的“角对张边问题”．
如图，在△ABC中，∠BAC＝a，AD⊥BC，垂足为D，设BD＝a，CD＝b，求高AD．

如图，在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠BAC＝45°，
若BD＝3，CD＝2．求AD的长．
思考一．根据图形变换，转换特殊模型．
解法1：把△ABD沿AB翻折得到△ABE，把△ACD沿AC翻折得到
△ACF． ∴△ABE≌△ABD；△ACF≌△ACD．
∴AE＝AD＝AF，BE＝BD＝3，CF＝CD＝2．
∠E＝∠F＝90°，∠BAE＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，
∴∠EAF＝2∠BAC＝90°，延长EB，FC相交于G，
则四边形AEGF为正方形． 设AD＝x，则BG＝x－3，CG＝x－2．
在Rt△BCG中，由勾股定理可得：
∴，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
解法2：以AD为边作正方形ADEF，过点A作AG⊥AB，交EF于G，
∴△AGF≌△ABD，∴BD＝GF＝2，AG＝AB．
∵∠BAC＝45°，∴∠GAC＝∠BAC，又AC＝AC．
∴△ACG≌△ACB， ∴CG＝BC＝5．
设AD＝x，则EG＝x－3，CE＝x－2，
在△Rt△CEG中，由勾股定理得：
∴，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
解法3：在射线DB上取点E，使DE＝AD，在射线DC上取点F，
使DF＝AD．则AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝45°，∠EAF＝90°，
把△AEB绕点A旋转，使AE于AF重合，得到△AFG，
∴△AFG≌△AEB，∴FG＝EB，AG＝AB，∠AFG＝∠E＝45°，
∴∠GAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF＝90°，又∠BAC＝45°，
∴∠GAC＝∠BAC， ∴△ACG≌△ACB，∴CG＝BC＝5，
设AD＝x，则FG＝x－3，CF＝x－2．
在Rt△CED中，由勾股定理得：
∴，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
思考二：构造一线三等角(M型)
解法5：在BC的延长线上取点E，使CE＝AD，过点E作
EF⊥CE，使EF＝CD，连接AF，∴△CEF≌△ADC，
∴AC＝FC，∠CAF＝45°，∵∠BAC＝45°，∴∠BAF＝90°，
连接BF，由勾股定理可得：，
，∴，
设AD＝x，则BE＝x＋5，∴
∴，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
解法7：过点B作BE⊥AB，交AC的延长线于E，过点E
作EF⊥BC，垂足为F，由上题可证△EBF≌△BAD．
∴EF＝BD＝3，∵，
∴，
设AD＝x，∴ ∴，
解得：x＝6或x＝－1(舍去)，∴AD＝6．
解法8：过点A作BC的平行线，由B，C向该平行线引垂线，
垂足为E，F．则BE＝AD＝CF，AE＝BD＝3，AF＝CD＝2．
在AE的延长线上截取EG＝BE，在AF的延长线上截取
FN＝CF．∴BG＝CN＝，∠G＝∠N＝45°，
∴∠G＝∠BAC＝∠N， ∴△AGB∽△CNA，∴，
∴, 设AD＝x，则BG＝CN＝，
AG＝x＋3，AN＝x＋2，
∴(x＋3)(x＋2)＝ ∴，
解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
思考三：把AD看作是绕A旋转的直线，构造旋转相似．
解法12．在射线DC上截取DE＝AD，连接AE，延长AD到F，
使DF＝BD＝3．∴BF＝，∠F＝∠E＝45°，又∠BAF＝∠CAE，
∴△BAF∽△CAE，∴，∴AF·CE＝BF·AE，
设AD＝x，则AE＝，AF＝x＋3，CE＝x－2，
∴，∴，
解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
思考四：利用三角形外接圆：
解法13：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC．
过点O作OE⊥BC，垂足为E．
∴OA＝OB＝OC，∠BOC＝2∠BAC＝90°
∴，，．
过点O作OF⊥AD，垂足为F，∴,
由勾股定理可得：，∴AD＝6．
思考六：构造斜射影相似
解法15．在射线DC上截取DE＝AD，连接AE．
∴∠E＝45°＝∠BAC，又∠ABE＝∠CBA，
∴△ABE∽△CBA， ∴ ∴
设AD＝x，则BE＝x＋3，∴．
∴，解得：x＝6或x＝－1(舍去)， ∴AD＝6．
二、 抛物线上的张角问题
在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线y＝f(x)上的两定点，点P在y＝f(x)的图象上，若∠APB等于已知角a，求点P的坐标．
方法与步骤：
第一步；过已知点A作y轴的平行线，与直线BP相交于点C，
构造“于涵定理”．根据“于涵定理”指引我们可求出的值．
第二步：解张角三角形，求出∠PAC的函数值．
在△PAC中，∵∠APC已知(∠APB已知)．的值已知，根据
斜射影可求出PD、CD、AD的比，进而求出∠PAC的函数值．
第三步：利用∠PAC的函数值求出点的坐标．
2． 二次函数中的“于涵定理”
(一) 如何使“于涵定理”合法化
第一：当直线AB平行于x轴时，
设二次函数为，则P(x，)
设A(m，)，利用对称轴可得：B(2h－m，)，
∴
第二：当直线AB与二次函数的一个交点已知时，设A(m，n)
在二次函数为的图象上，过点A的直线交二次
函数于另一点B，则直线AB为，
二次函数为
则，∴，
即B点坐标可求，进而通过计算可得到．

如图，直线AB与二次函数相交于A、B两点，点P为二次函数图象上一点，过点P作y轴的平行线交直线AB于C，分别过A、B向PC引垂线，垂足为D、E．则PC＝AD·BE，也可写成．
特别的，当AB∥x轴时，则，也可写出