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小学数学新课标意义下的“数学模型”摘要：有效的问题情境是模型建立的关键，数学模型是一种基本的数学思想，是解决数学问题的有效形式，思维永远是由问题开始的，而创造潜能往往就在是排疑解难的过程中激发出来的。本文将通过教学案例对有效情境问题与小学数学模型建立之间的关系进行研究。关键词：问题情境创设；小学数学建模；新课标；能力培养引言小学数学新课标中强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”1这里第一次提到了“数学模型”的概念，也明确要求教师用数学建模的思想来指导教学 , 让学生亲身经历实际生活问题抽象成数学模型并进行应用的过程，本文就小学数学新课标中的“数学模型”做简要分析。1.数学模型的定义及意义1.1数学模型的定义 众所周知，课堂式教学是一个被问题情境贯穿始终的教学过程，学生在教师创设的情境下，经过教师有目的的引导，通过观察、分析，激发出求知的欲望，从而完成学生被动灌输知识到主动求知的一种转变，这样，学生就会自己主动去发现问题，提出问题，然后通过师生合作筛选问题，研究问题，最终解决问题，这不但利于培养学生的问题意识，更有利于学生学习能力的提高。因此，精心创设真实的数学问题情境和有效的引导就显得十分重要，它是数学课本源目标得以实现的重要保证。1创设问题情境提出问题之后，下一步就要建立相应的数学模型已便解决问题。那么什么是“数学模型”呢？徐利治先生在数学方法论选讲中指出：数学模型，一般是指利用正规的数学语言，符号或图形来描述的数学结构，反映特定的问题或具体事物之间的关系。小学数学中的数学模型一般可以表现为概念、法则、公式、性质、数量关系等。1.2数学模型的意义新课程改革中提出明确要求，要培养学生的实践能力、创新精神、应用意识、解决问题的能力、体会数学思想方法，获得成功的、快乐的情感体验等。然而，课程改革的核心环节是课程实施，课程实施的基本途径和主要阵地是课堂教学，课程改革能否成功，关键是教师，最终看教学。2倡导“创设问题情境建立数学模型解决数学问题”的教学模式，其中“创设问题情境”与“建立数学模型”是一节课是否“高效”的中心环节。而小学数学建模的发展趋势，“问题情境建立模型寻找结论应用与推广”也顺应了课改的要求。基于上述认识，我确信研究问题情境创设与小学数学建模的内在联系是很有必要的。2.利用数学模型思想建立有效的情景教学在教学中精心营造问题情景，并引导学生建立数学模型，通过调查，提出问题，分析得出答案，可以培养学生观察事物、发现问题和解决问题的能力。案例1：如数学人教版四年级下册117页例1:“植树问题”：我县新修的一条公路。公路中间有一条绿化带，现在要在绿化带上种植一排树，这条绿化带全长1000米，每隔上5米就要种一棵树，并且两端都要种。问一共需要多少棵树苗？教师：从题中你了解到了哪些信息？说一说哪里是指公路的两端？计算一共需要多少棵树？ 学生：反馈答案。：10005=200（棵）；：10005=200（棵）， 200 +2=202（棵）；：10005=200（棵）， 200 +1=201（棵）。教师：现在同学们一共出现了3种答案，那么哪种答案是正确的呢？可不可以画图模拟实际种一种？如果一棵一棵的种下去，一直种到1000米，数一数这样是不是就可以知道哪些同学的答案是正确的？首先确定绿化带的一端，在这端上先种上一棵树苗，然后每隔5米种一棵，按照这样的规律一直种下去。教师：大家先停下来看一看，已经种了多少米？（50米）同学们花费了这么长时间才种了50米，而我们一共需要种1000米，同学们，你们有什么新想法？（太麻烦了，浪费时间）教师：在数学中，这种复杂的问题有一个更好的研究方法，你们想知道吗？ 这种方法就是：遇到复杂问题先从简单的问题开始研究。比如：要种1000米，距离太长了，我们可以在缩小的距离上种一种，对比对比。大家用这种方法试一试？学生：a. 画图种一种，第一次种15米，每隔5米种一棵树，看看种了多少棵？比一比，看谁画得快种的好。（3段 4棵） b. 方法同上，这一次种25米，你们又分得多少段种了多少棵？ （5段 6棵） c. 这次同学们可以在51000米内任意选择一段距离种一种，看这次你们各自又分了多少段，种了多少课？ （ 4段 5棵；8段 9棵；7段 8棵.）教师：树和树之间的间隔段数与棵数之间有什么样的关系呢？同学们可以通过刚才画的线段图发现，一段距离对应一棵树，最后树比段数多1，因此10005求出来的答案是段数，段数和棵数是一一对应的关系。利用简单直观的图形让学生理解体会间隔排列：（表示树，表示路段）.学生分析共有4个，4个，树和路段同样多；讨论中间的省略号，同样一个对应一个，最后比多一个。这样就利用一一对应的关系直观认识了什么是间隔排列。 学生：交流得出两端都要种时：棵数=段数+1利用实际生活中的问题，让学生在教师的指导下，通过合作交流、动手实践来建立数学模型，这样就可以让学生发现段数与棵数之间的对应关系，运用植树问题的模型，不仅能够解决植树的一系列问题，生活中许多问题的解决也可以用植树问题的思想规律。例如路程相遇问题、电线杆设置问题、时钟问题，在站队中的方阵、公路两侧安装路灯、花坛摆花盆等。案例2：三角形边的关系教师:请小朋友们拿出三根不一样长的小塑料棒，这三根小棒能够围成一个三角形吗？学生：动手围，集体交流。有部分可以围成三角形，有部分则不能围成。 教师：随机给小朋友们三根塑料小棒，有的时候可以围成一个三角形，有的时候不可以围成。现在我们来探究能围不能围与什么有关，请同学们动手合作来探究这个问题。 I动手操作。电脑出示：现在请同学们拿出两根塑料小棒，一根小棒长是6厘米，另一根长3厘米，那么再选取一根多长的塑料小棒配上去，就能构成一个三角形了呢？ 教师说明操作要求：（1） 拿出操作材料；（2）请小朋友们在草稿纸上用尺子画出不一样长的线段（从1厘米开始画起），画出十条以上的线段后，再用已有的两根小棒分别去围围看，观察是否能够围成三角形；（3）最后将线段的长和结果填入表格里，能够围成一个三角形的打，不能围成的打。 II汇报。教师：请学生推荐同学汇报，老师负责在教学课件中输入学生成果。如下图：第一边长度（cm）第二边长度（cm）第三边长度（cm）能否围成算式631234 5 6 7 8 910III.探究。（1）发现不能围成的原因。教师:1厘米长的塑料小棒与原来的两根不能围成三角形？我们再验证一下。课件演示：三根塑料小棒的长分别是3厘米、6厘米和1厘米时，不能围成封闭的三角形。教师：为什么围不成呢？同学们能够用一个数学关系式表示出来吗？ 学生：1+36，所以围不成。教师：（依次验证）1厘米、2厘米和3厘米的小棒都不能与原来的两根小棒围成三角形。通过观察这三个算式(1+36, 2+36、5+36、6+36、7+36、8+36、9+36 。（3）引出矛盾，难点突破。教师： 你们有没有发现问题？同学们在自己动手操作的时候得出另一边长9厘米时不能围成三角形，但是9+36，这符合刚才得出的结论吗？（课件演示的确不能构成三角形）教师：边长为3厘米和6厘米的两边之和与第三边9厘米比，有什么关系？（相等）那还要看哪一组？（6与9的和与3比）学生：得出“任意”两字。 （三角形任意两边之和大于第三边）（4）明确得出三角形三条边之间的联系。教师：利用这个结论来验证，形成一个三角形的三条边，确实具有这样的关系？ 第一边长度（cm）第二边长度（cm）第三边长度（cm）能否围成 算式6312344+36 3+64 4+6355+36 3+65 5+6366+36 3+66 6+6377+36 3+67 7+6388+36 3+68 8+63910教师：判断三条边能不能围成三角形，每次是不是都要验算三种可能的情况？是否有更简单的方法？ 学生：观察发现较小的两边之和都大于第三边，因此只需要判断较小的两边之和与第三边的大小就行了。 在小学数学教材中有许多教学内容教师可以提前设计问题情境，用问题激发学生大胆发疑，大胆解疑，向预定好的数学模型目标前进。如下例教学案例：乘法的初步认识的教学片断：计算并观察算式特征：333，243，44444，1362， ，建立基本数学模型：“加数相同的连加算式”可以用简便的乘法计算：相同加数加数的个数。又如，分数与除法之间的关系的教学过程：（l）如果把1米长的麻绳平均分成5份，每份是多少米呢？把3块圆饼平均分给4个孩子，每个人吃多少块饼？（2）列出算式，讨论结果的表示方式 。15= (米)，34=(米），（3）用数学语言揭示：被除数除数=商，而用数学符号的方式揭示为：ab=c（b0）。以上是把实际生活问题抽象概括进而建立数学模型的过程。 当我们以抽象概括的思维来审视许多小学数学问题时，我们就会发现看似不相同的问题情境背后往往具有相同的思维模式。如：工作效率不同的两个人的工程问题、工作问题、行程问题，它们共同具有的模型是：总量效率和时间。总而言之，教师在教学过程中，应该从更广泛的空间领域去创设情境，使学生在轻松愉快的氛围中学习，数学建模的能力得到一定的提升。 3.“新课标”实施过程中对教学现状的反思 传统数学一般的教学模式：“复习旧知引入新课新概念的学习例题讲解学生模仿解题教师总结”。学生的学习活动基本上以教材、老师为中心，没有选择小学生乐于接受的符合心理特征的生活背景，没有调动学生合作交流与学习数学的积极性。而数学模型是对实际生活问题的一种数学表达、一种概况，是数学知识与实际应用的桥梁，简言之，就是将数学问题生活化的过程。数学模型与数学建模课程是20世纪80年代进入我国大学的，学生亲自经历模型建立的“再创造”过程，有助于小学生的多感官参与，能够获得感性认识，行程清晰的表象，这符合学生的直观思维特征；有利于培养学生运用数学的思维方式观察和分析实际生活，形成勇于探索勇于创新的科学精神。 所以基于问题情景的数学建模应该遵循以下原则： I.“不能追求完美而忽视数学，不能追求数学而牵强符会”，这是问题情景创设的原则。情境问题的创设应该注意以下几个方面：(1)合理性。要适合小学生的特点，符合生活事理，更要符合数学的特征，同时要注意把握知识和生活两方面融合的“度”，学习中要解决的数学问题要能够以自然的方式隐含；(2)针对性。要和教学内容直接产生联系，尤其和重难点知识紧密结合，要为教学目标服务，在后面的教学中发挥一定的导向作用；(3)开放性和模糊性。要留出让学生自己补充、收集信息的余地，可用信息和最终结论更有待学生自己去挖掘，针对情景“以问引问”，使数学问题和数学模型有机的整合起来。教师可以从有趣的现象和实际生活中的具体事实分析引入问题；从生动的童话故事情节中引发问题；从游戏活动引出问题；从直观演练或实际操作中引出问题等，让学生在生动有趣的教学情景下，从知识的实际应用中引出数学问题、思考问题、解决问题。 II.在教学的过程中建立小学数学模型，应该把握好以下几点： （1）建模的主体是学生；（2）建模的关键是让学生“经历”建模的思想过程，而不是掌握模型；（3）小学数学的建模形式是多种多样的，学生可以根据各自的喜好建立起不同的模型；(4) 建立起的数学模型应该有简洁实用的价值取向。 当然构建数学模型不是唯一的目的，但通过数学建模能够培养学生应用数学意识、合作交流、探索创新的精神，进而小学生的逻辑思维能力和抽象概括能力都得到锻炼和提升，可以为学生的终身学习发展奠定一定的基础，而这种精神正是小学数学“新课标”所倡导的。4. 小结为了避免以“教师”、“教材”为中心，学生被动学习的传统教学模式，小学的数学建模思想教学应该以学生的实际生活经验为出发点，以学生为教学中心，以教师指引问题为主线，以培养学生能力为目标来组织教学活动。 创建一个优质高效的问题是教好一节课的前提保障，都说数学的心脏是“问题”，好的问题情境容易激起学生的兴趣，容易使学生用日常生活中积累的经验来体会蕴涵的数学问题，容易促使学生将情境问题抽象为数学问题，感知小学数学模型的存在并建立适当的模型。 致谢：衷心感谢曹军老师在论文写作过程中给予的指导和帮助！参考文献：1冯克诚，西尓枭，教学改革手册实用课堂教学模式与方法改革全书，北京：中央编译出版社。2林军，陈翰林，数学建模教程，北京：科学出版社，2011.6。3谭细龙，中小学课程与教学改革 ，湖北：华中科技大学出版社。Mathematical model in the sense of the New Curriculum in Primary Mathematics Ying-Ju CaoFaculty of Science, Yuxi Normal University, Student No. 2010011115Supervisor: Jun CaoAbstract: The problem situation is the key to effective model, the mathematical model is a basic mathematical ideas, is an effective form of problem solving. Thinking is always the beginning of the problem, and often inspire creative potential in the troubleshooting process out. Articles will be listed on the establishment of an effective relationship between the two scenarios problem by teaching case studies and elementary mathematical models.Keywords: Creating problem situations；Elementary Mathematical Modeling；New Curriculum；Ability training