高三数学立体几何专题.doc

立体几何专题
【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．
【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．
【例题解析】
题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算
例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为
A． B． C． 4 D．
分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．
解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，，
，，所以
，当且仅当时取等号．

点评：本题是课标高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决．
例2 （2008高考山东卷、2009年福建省理科数学高考样卷第3题）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是
A． 　　B． C． 　　D．

分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答．
解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是，母线长是，球的半径是，故其表面积是，答案D．
点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则．

例3（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第12题）已知一个正三棱锥的主视图如图所示，若，
，则此正三棱锥的全面积为_________．

分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长．
解析：这个正三棱锥的底面边长是、高是，故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是，故这个正三棱锥的侧棱长是，由此知道这个正三棱锥的侧面也是边长为的正三角形，故其全面积是，答案．
点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心．
题型2 空间点、线、面位置关系的判断
例4（江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．
分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断．
解析：我们借助于长方体模型解决．①中过直线作平面，可以得到平面所成的二面角为直二面角，如图（1），故①正确；②的反例如图（2）；③的反例如图（3）；④中由可得，过作平面可得与交线平行，由于，故．答案①④．

点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的．
例5（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是
A．若，则 B．若则
C．若，则 D．若则
分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断．
解析：对于，结合则可推得．答案C．
点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异，但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度．
题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）

例6．(2009江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的
中点．
（1）求证：//平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．

分析：第一问就是找平行线，最明显的就是；第二问转化为线面垂直进行证明；第三问采用三棱锥的等积变换解决．
解析：（1）连结，如图，在中，
、分别为，的中点，则
平面．

（2）

（3）平面，且，
，，

∴ 即，
== ．
点评：这个题目也属于文科解答题的传统题型．空间线面位置关系证明的基本思想是转化，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证明线线垂直，但问题不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又得借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形，可以通过“换顶点”实行等体积变换，这也是求点面距离的基本方法之一．
例7．（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第17题）在四棱锥中，，，平面，为的中点，．
（1）求四棱锥的体积；
（2）若为的中点，求证平面；
（3）求证∥平面．

分析：第一问只要求出底面积和高即可；第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明；第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定理解决，也可以通过证明面面平行解决，即通过证明直线所在的一个平面和平面的平行解决．
解析：（1）在中，，∴，．
在中，，∴．
∴．
则．
（2）∵，为的中点，∴．
∵平面，∴，∵，，∴平面，∴．
∵为中点，为中点，∴∥，则，∵，∴平面．
（3）证法一：
取中点，连．则∥，∵ 平面， 平面，
∴∥平面．
在中，，，∴．而，∴∥．

∵ 平面， 平面，
∴∥平面．
∵，∴平面∥平面．
∵平面，∴∥平面．
证法二：延长，设它们交于点，

连．∵，，
∴为的中点． ∵为中点，∴∥．
∵ 平面， 平面，
∴∥平面．
点评：新课标高考对文科的立体几何与大纲的高考有
了诸多的变化．一个方面增加了空间几何体的三视图、
表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了
三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念
与性质、球的性质与球面距离，删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明（主要是平行与垂直）．
题型4 空间向量在立体几何中的应用（理科立体几何解答题的主要题型）
例8．（2009年福建省理科数学高考样卷第18题）如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求异面直线与所成的角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【解析】解法一：如图分别以所在的直线为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

由已知得、、、、、、、．
（1）取中点，则，
，又，
由，
∴与共线．从而∥，
∵平面， 平面，∴∥平面．
（2）∵，
，
∴异面直线与所成角的余弦值为．
（3）假设满足条件的点存在，可设点（），平面的一个法向量为，
则 ∵ ，∴
取．
易知平面的一个法向量，
依题意知， 或，
∴，即，解得
∵，∴在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为．
解法二：
（1）同解法一知 ，， ，∴，∴、、共面．又∵平面，∴∥平面．
（2）、（3）同解法一．
解法三：易知平面的一个法向量是．又∵，由·，
∴，而平面，∴∥平面．
（2）、（3）同解法一．
点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力．利用空间向量证明线面平行的方法基本上就是本题给出的三种，一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线，二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据共面向量定理作出结论；三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直．
例9（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第20题）已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求此几何体的体积的大小．

【解析】（1）取的中点是，连结，则，∴或其补角即为异面直线与所成的角．在中，，．∴．
∴异面直线与所成的角的余弦值为．
（2）平面，过作交于，连结．
可得平面，从而,
∴为二面角的平面角．
在中，，，

,∴．
∴．
∴二面角的的正弦值为．

（3），∴几何体的体积为．
方法二：（坐标法）（1）以为原点，
以所在直线为轴建立空间直角坐标系．
则，，，，
，
∴
∴异面直线与所成的角的余弦值为．
（2）平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，

∴
从而,
令，则,
∴二面角的的正弦值为．
（3），∴几何体的体积为．
点评：本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法．空间向量对解决三类角（异面直线角、线面角、面面角）的计算有一定的优势．对理科考生来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外，不要忽视了传统的方法，有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量．
【专题训练与高考预测】
说明：文科以选择题、填空题和解答题前三题为主．理科以选择题、填空题和解答题后三题为主．
一、选择题
1．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）
（ ）
A． B． C． D．

2．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是 （ ）
A． B． C． D．

3．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，则此几何体的外接球的表面积为 （ ）
A． B． 　
C． 　　 D．

4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）
A． B． C． D．
5． 一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）
A． B． C． D．
6． 点在直径为的球面上，过作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的倍，则这三条弦长之和为最大值是 （ ）
A． B． C． D．
7．正方体中，的中点为，的中点为，异面直线 与 所成的角是 （ ）
A． B． C． D．
8．已知异面直线和所成的角为，为空间一定点，则过点且与所成角都是 的直线有且仅有 （ ）
A． 1条 B． 2条 C． 3条 D． 4条
9．如图所示，四边形中，，将△沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是 （ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面

10．设、、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：① 、、均为直线；
② 、是直线，是平面；③ 是直线，、是平面；④ 、、均为平面．
其中使“⊥且⊥∥”为真命题的是 （ ）
A． ③ ④ B． ① ③ C． ② ③ D． ① ②

11．已知三条不重合的直线、、两个不重合的平面、，有下列命题
①若，则；
②若，且，则；
③若，，则；
④若，，，，则．
中正确的命题个数是 （ ）
A． B． C． D．
12．直线与直二面角的两个面分别交于两点，且都不在棱上，设直线与平面所成的角分别为，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13． 在三棱锥中，，，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到点，则蚂蚁经过的最短路程是 ．
14．四面体的一条棱长为，其它各棱长为，若把四面体的体积表示成的函数，则的增区间为 ，减区间为 ．
15． 如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中：① 与平行； ② 与是异面直线；
③ 与成角； ④ 与垂直． 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 ．

16． 已知棱长为的正方体中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是 ．
三、解答题
17．已知，如图是一个空间几何体的三视图．
（1）该空间几何体是如何构成的；
（2）画出该几何体的直观图；
（3）求该几何体的表面积和体积．

18．如图，已知等腰直角三角形，其中，．点分别是,的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、．
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值．

19．如下图，在正四棱柱中，，点分别为的中点，过点三点的平面交于点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值；
（3）设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为（），求的值．

20． 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，分别为的中点．
（1）求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积．

21．如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求二面角的大小．

22．已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．
（1）求证：平面； （2）求到平面的距离；
（3）求二面角的一个三角函数值．
【参考答案】
1．解析：C 该几何体是正三棱柱上叠放一个球．故其表面积为．
2．解析：B 这个空间几何体的是一个底面边长为的正方形、高为的四棱柱，上半部分是一个底面边长为的正方形、高为的四棱锥，故其体积为．
3．解析：C 由三视图知该几何体是底面半径为，高为的圆锥，其外接球的直径为．
4．解析：D 如图设直观图为，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中，且，，，故其面积为

5．解析：D 当平面处于水平位置时，容器盛水最多

最多可盛原来水得．

6．解析：A 设三边长为，则，
令．
7．解析：B 如图，取的中点，连结，在正方形中易证．

8．解析：B 过点作，，若，则取为，若，则取为．这时，相交于点，它们的两组对顶角分别为和． 记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成的直线． 过点与，都成角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是对顶角平分线的直线有两条和，射影是对顶角平分线的直线不存在．故答案选B．

9．解析：D 如图，在平面图形中，折起后仍然这样，由于平面平面，故平面，，又，故平面，所以平面平面．

10．解析：C 、、均为直线，显然不行；由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故②，可以使“⊥且⊥∥”为真命题；又由于垂直于同一条直线的两个平面平行，故③可以使“⊥且⊥∥”为真命题；当、、均为平面时，也不能使“⊥且⊥∥”为真命题．
11．解析：B ①中有的可能；且，可得，又，故，②正确；③中当时，结论不成立；④就是面面垂直的性质定理，④正确．故两个正确的．
12．解析：B 如图，在中，，而，即，故，即，而当时，．

13．解析： 将如图⑴三棱锥，沿棱展开得图⑵，蚂蚁经过的最短路程应是，又∵，，∴=．

14．解析： ， ，利用不等式或导数即可判断．
15．解析：③④ 如图，逐个判断即可．

16．解析： 取的中点，连接交平面于，连．由已知正方体，易知平面，所以为所求．在中，，，．所以直线与平面所成的角的正弦值为．

17．解析：（1）这个空间几何体的下半部分是一个底面边长为的正方形高为的长方体，上半部分是一个底面边长为的正方形高为的四棱锥．
（2）按照斜二测的规则得到其直观图，如图．

（3）由题意可知，该几何体是由长方体与正四棱锥构成的简单几何体．
由图易得：，取中点，连接，从而，所以该几何体表面积

体积．
18．解析：（1）∵点、分别是、的中点，∴．
∴,∴．∴ ,
∵,∴平面． ∵平面,∴．
（2）取的中点，连结、． ∵,∴．
∵,∴平面．
∵平面,∴．
∵∴平面．
∵平面,∴．
∴是二面角的平面角．
在中, ，

在中, ，
．

∴ 二面角的平面角的余弦值是．
19．解析：（1）设的中点为，连结．
∵为的中点，∴．
又，∴．∴四边形为平行四边形．
∴．∵平面，平面，
∴平面．
（2）作于，连结，∵⊥平面，∴．
∴为二面角的平面角．
∵∥平面，平面，平面平面 ，
∴．又∵，∴．
又∵，∴四边形是平行四边形．∴．
设，则，．
在中，，∴sin∠A1ND1=．
在中，．
在中， ．
（3）延长与交于，则平面，且平面．
又∵平面平面 ，
∴，即直线交于一点．
又∵平面∥平面，∴几何体为棱台．
∵，，
棱台的高为，
故，，．∴．
20．解析：（1）因为是的中点，， 所以． 由底面，得，
又，即， 平面，所以 ， 平面， ．
（2）连结， 因为平面，即平面，所以是 与平面所成的角． 在中，，在中，，故，在中, ，又，故与平面所成的角是．
（3）由分别为的中点，得，且，又，故，
由（1）得平面，又平面，故，四边形是直角梯形，
在中，，， 截面的面积．

法二： （1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示（图略）
由，得，
因为 ，所以．
（2）因为 ，所以，又 ，
故平面，即是平面的法向量．
设与平面所成的角为，又．
则，
又，故，即与平面所成的角是．
因此与平面所成的角为．
（3）同法一．
21．解析：法一：（1）∵四边形是正方形， ．
∵平面平面，又∵，平面．
平面，． 平面．
（2）连结，平面，是直线与平面所成的角．
设，则，， ， ． 即直线与平面所成的角为

（3）过作于，连结． 平面，． 平面．是二面角的平面角．
∵平面平面，平面．．
在中， ，有．
由(2)所设可得，，．
．．∴二面角等于．
法二: ∵四边形是正方形 ，，∵平面平面，平面， ∴可以以点为原点，以过点平行于的直线为轴，分别以直线和为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

设，则，
是正方形的对角线的交点，．
（1），，，
， 平面．
（2） 平面，为平面的一个法向量，
，．
．∴直线与平面所成的角为．
（3）设平面的法向量为，则且，
且．
即，取，则， 则．
又∵为平面的一个法向量，且，
，设二面角的平面角为，则，．∴二面角等于．
22．解析：法一：（1）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又，所以平面；
（2）因为，所以四边形为 菱形，故，又为 中点，知．取中点，则平面，从而面面， 过作于，则面．
在中，，故，
即到平面的距离为．

（3）过作于，连，则，
从而为二面角的平面角，
在中，，所以，在中，，
故二面角的正弦值为．
法二：（1）如图，取的中点，
则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，

则，，，，，
，，，
由，知，
又，从而平面；
（2）由，得．
设平面的法向量为，，，
所以，
设，则
所以点到平面的距离．
（3）再设平面的法向量为，，，
所以
，设，
则，
故，根据法向量的方向，可知二面角的余弦值为．