小学四年级奥数.doc

目录 第一部分 行程 第一章第一章 火车过桥和火车与人的相遇追及问题火车过桥和火车与人的相遇追及问题 第二章第二章 火车与火车的相遇与追及问题火车与火车的相遇与追及问题 第三章第三章 流水行船流水行船 第四章第四章 扶梯问题扶梯问题 第二部分 计数 第一章第一章 乘法原理乘法原理 第二章第二章 几何计数几何计数 第三章第三章 加法原理加法原理 第四章第四章 排列排列 第五章第五章 组合组合 第三部分 几何 第一章第一章 风筝模型和梯形蝴蝶定理风筝模型和梯形蝴蝶定理 第二章第二章 三角形等高模型三角形等高模型 第三章第三章 鸟头模型鸟头模型 第四章第四章 图形的分割与拼接图形的分割与拼接 第四部分 计算 第一章第一章 整数小数四则运算整数小数四则运算 第二章第二章 多位数计算多位数计算 第三章第三章 换元法与常用计算结论换元法与常用计算结论 第四章第四章 平方差公式和完全平方公式平方差公式和完全平方公式 第五部分 应用题 第一章第一章 列方程解应用题列方程解应用题 第二章第二章 一元一次方程解法综合一元一次方程解法综合 第六部分 杂题 第一章第一章 抽屉原理抽屉原理 第二章第二章 统筹规划统筹规划 第三章第三章 游戏与策略游戏与策略 第一部分 -行程 -火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程速度时间 总路程平均速度总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和相遇时间相遇路程 速度差追及时间追及路程；（三）、火车过桥问题 1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长桥(隧道)长度(总路程)火车速度通过的时间；2、火车树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)火车速度通过时间；2、火车人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，知识框架 第一章 火车过桥和火车与人的相遇（1）、火车迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程)(火车速度人的速度)迎面错过的时间；（2）火车同向行走的人：相当于追及问题，解法：火车车长(总路程)(火车速度人的速度)追及的时间；（3）火车坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程)(火车速度人的速度)迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长慢车车长(总路程)(快车速度慢车速度)错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长慢车车长(总路程)(快车速度慢车速度)错车时间；对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。【例【例 1 1】一列火车长 200 米，以 60 米每秒的速度前进，它通过一座 220 米长的大桥用时多少？【巩固】【巩固】一列火车长360米，每秒钟行驶16米，全车通过一条隧道需要90秒钟，求这条隧道长多少米？火车行驶路程火车行驶路程隧道长隧道长？火车火车火车火车【例【例 2 2】四、五、六 3 个年级各有 100 名学生去春游，都分成 2 列(竖排)并列行进四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是 1 米、2 米、3 米，年级之间相距 5 米 他们每分钟都行走 90 米，整个队伍通过某座桥用 4 分钟，那么这座桥长 米 【巩固】【巩固】一个车队以 6 米/秒的速度缓缓通过一座长 250 米的大桥，共用 152 秒已知每辆车长 6 米，两车间隔 10 米问：这个车队共有多少辆车？【例【例 3 3】小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了 21 秒这列火车长 630 米，以同样的速度通过一座大桥，用了 1.5 分钟这座大桥长多少米？【巩固】【巩固】小胖用两个秒表测一列火车的车速。他发现这列火车通过一座660米的大桥需要40秒，以同样速度从他身边开过需要10秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的例题精讲 车身长是 米。【例【例 4 4】小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火车从她面前通过所花的时间是 15 秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是 20 秒.已知两电线杆之间的距离是 100 米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?【巩固】【巩固】一条隧道长 360 米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了 8 秒钟，从车头入洞到全车出洞共用了 20 秒钟。这列火车长多少米？.【例【例 5 5】已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车完全在桥上的时间为80秒，求火车的速度和长度？【巩固】【巩固】已知一列长200米火车，穿过一个隧道，测得火车从开始进入隧道到完全出来共用60秒，整列火车完全在隧道里面的时间为40秒，求火车的速度？【例【例 6 6】一列火车长 152 米，它的速度是每小时63.36公里，一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过用 8 秒钟，这个人的步行速度是每秒 米【巩固】【巩固】柯南以3米/秒的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长147米的火车，它的行驶速度是18米/秒，问：火车经过柯南身旁的时间是多少？【例【例 7 7】李云靠窗坐在一列时速 60 千米的火车里，看到一辆有 30 节车厢的货车迎面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是 18 秒已知货车车厢长 15.8 米，车厢间距 1.2 米，货车车头长 10 米问货车行驶的速度是多少？【巩固】【巩固】巩固 两列火车相向而行，甲车每时行 48 千米，乙车每时行 60 千米，两车错车时，甲车上一乘客从乙车车头经过他的车窗时开始计时，到车尾经过他的车窗共用 13秒。问：乙车全长多少米？【例【例 8 8】一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是 280 米，慢车的车长是 385 米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是 11 秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？【巩固】【巩固】铁路线旁有一沿铁路方向的公路，在公路上行驶的一辆拖拉机司机看见迎面驶来的一列火车从车头到车尾经过他身旁共用 15 秒，已知火车速度为 72 千米/小时，全长 435 米，求拖拉机的速度？【例【例 9 9】一列客车以每秒 72 米的速度行进,客车的司机发现迎面开来一列货车,速度是每秒54 千米,这列货车从他身边驶过共用了 8 秒.求这列火车的长?【巩固】【巩固】两列火车相向而行，甲车每小时行 36 千米，乙车每小时行 54 千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了 14 秒，求乙车的车长.【例【例 1010】小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走，这时有一列长 460 米的火车从他背后开来，他在行进中测出火车从他身边通过的时间是 20 秒，而在这段时间内，他行走了 40 米求这列火车的速度是多少？【巩固】【巩固】小明沿着一条与铁路平行的笔直的小路由南向北行走，这时有一列长825米的火车从他背后开来，他在行进中测出火车从他身边通过的时间是30秒，而在这段时间内，他行走了75米求这列火车的速度是多少？【随练【随练1 1】一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长100米，火车每分钟行400米，这列客车经过长江大桥需要多少分钟？火车火车火车火车桥桥火车行驶路程火车行驶路程【随练【随练2 2】一座铁路桥长1200米，一列火车开过大桥需要75秒，火车开过路旁一信号杆需要15秒，求火车的速度和车身长【随练【随练3 3】已知某铁路桥长 960 米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用 100 秒，整列火车完全在桥上的时间为 60 秒，求火车的速度和长度？【随练【随练4 4】小明在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时从他后面开过来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用了21秒 已知火车全长336米，求火车的速度 课堂检测 火车过桥常见题型及解题方法（一）、行程问题基本公式：路程速度时间 总路程平均速度总时间；（二）、相遇、追及问题：速度和相遇时间相遇路程 速度差追及时间追及路程；（三）、火车过桥问题 1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，解法：火车车长桥(隧道)长度(总路程)火车速度通过的时间；2、火车树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，解法：火车车长(总路程)火车速度通过时间；2、火车人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度，（1）、火车迎面行走的人：相当于相遇问题，解法：火车车长(总路程)(火车速度人的速度)迎面错过的时间；（2）火车同向行走的人：相当于追及问题，知识框架 第二章 火车与火车的相遇与追及 解法：火车车长(总路程)(火车速度人的速度)追及的时间；（3）火车坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程)(火车速度人的速度)迎面错过的时间（追及的时间）；4、火车火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度，（1）错车问题：相当于相遇问题，解法：快车车长慢车车长(总路程)(快车速度慢车速度)错车时间；（2）超车问题：相当于追及问题，解法：快车车长慢车车长(总路程)(快车速度慢车速度)错车时间；对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。【例【例 1111】快车A车长120米，车速是20米/秒，慢车B车长140米，车速是16米/秒。慢车B在前面行驶，快车A从后面追上到完全超过需要多少时间？【巩固】【巩固】慢车的车身长是 142 米，车速是每秒 17 米，快车车身长是 173 米，车速是每秒 22，慢车在前面行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间?【例【例 1212】有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行17米.两车同向而行,从第一列车追及第二列车到两车离开需要几秒？【巩固】【巩固】有两列火车，一列长 200 米，每秒行 32 米；一列长 340 米，每秒行 20 米.两车同向行驶，从第一列车的车头追及第二列车的车尾，到第一列车的车尾超过第二列车的车头，共需多少秒？【例【例 1313】一列长 72 米的列车，追上长 108 米的货车到完全超过用了 10 秒，如果货车速度为原来的 1.4 倍，那么列车追上到超过货车就需要 15 秒。货车的速度是每秒多少米？【巩固】【巩固】一列长 72 米的列车，追上长 108 米的货车到完全超过用了 10 秒，如果列车速度减少15，那么列车追上到超过货车就需要 15 秒。列车的速度是每秒多少米？【例【例 1414】从北京开往广州的列车长350米，每秒钟行驶22米，从广州开往北京的列车长280米，每秒钟行驶20米，两车在途中相遇，从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟？【巩固】【巩固】一列客车长 190 米，一列货车长 240 米，两车分别以每秒 20 米和 23 米的速度相向例题精讲 行进，在双轨铁路上，两车从车头相遇到车尾相离共需要多少时间.【例【例 1515】从北京开往广州的列车长 200 米，每秒钟行驶 30 米，从广州开往北京的列车每秒钟行驶20米，两车在途中相遇，从车头相遇到车尾离开需要 9 秒钟，从广州开往北京的列车长多少米？【巩固】【巩固】一列客车长 150 米，一列货车长 210 米，速度为每秒 30 米，在双轨铁路上，两车从车头相遇到车尾相离共需要 3 秒，客车车速为多少？【例【例 1616】快车长 106 米，慢车长 74 米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过 1 分钟才超过慢车；如果相向而行，车头相接后经过 12 秒两车完全离开。求两列火车的速度。【巩固】【巩固】长 180 米的客车速度是每秒 15 米，它追上并超过长 100 米的货车用了 28 秒，如果两列火车相向而行，从相遇到完全离开需要多少时间？【例【例 1717】有两列同方向行驶的火车，快车每秒行33米，慢车每秒行21米如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行25秒后快车超过慢车那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？快车快车慢车慢车慢车慢车快车快车快车快车慢车慢车慢车慢车快车快车【巩固】【巩固】现有两列火车同时同方向齐头行进,行 12 秒后快车超过慢车.快车每秒行 18 米,慢车每秒行10米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求当快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的时间.【例【例 1818】快车长 182 米,每秒行 20 米,慢车长 1034 米,每秒行 18 米.两车同向并行,当快车车尾接慢车车尾时,求快车穿过慢车的时间?【例【例 1919】甲乙两列火车,甲车每秒行 22 米,乙车每秒行 16 米,若两车齐头并进,则甲车行 30秒超过乙车;若两车齐尾并进,则甲车行 26 秒超过乙车.求两车各长多少米?【巩固】【巩固】长180米的客车速度是每秒15米，它追上并超过长100米的货车用了28秒，如果两列火车相向而行，从相遇到完全离开需要多长时间？【例【例 2020】某列车通过 250 米长的隧道用 25 秒，通过 210 米长的隧道用 23 秒，若该列车与另一列长 150 米.时速为 72 千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？【巩固】【巩固】某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？【随练【随练5 5】一列长 100 米的列车，追上长 150 米的货车到完全超过用了 5 秒，如果货车速度为原来的 2 倍，那么列车追上到超过货车就需要 10 秒。货车的速度是每秒多少米？【随练【随练6 6】两列火车,一列长120米,每秒行20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头相遇到车尾离开需要几秒钟?【随练【随练7 7】长 120 米的客车速度是每 80 米，它追上并超过长 180 米的货车用了 5 秒，如果两列火车相向而行，从相遇到完全离开需要多少时间？【随练【随练8 8】某列火车通过 1000 米的隧道用了 20 秒，接着通 200 米的隧道用了 10 秒，这列火车与另一列长 200 米，速度为每秒 20 米的列车错车而过，问需要几秒钟？课堂检测 一、参考系速度 通常我们所接触的行程问题可以称作为“参考系速度为 0”的行程问题，例如当我们研究甲乙两人在一段公路上行走相遇时，这里的参考系便是公路，而公路本身是没有速度的，所以我们只需要考虑人本身的速度即可。二参考系速度“水速”但是在流水行船问题中，我们的参考系将不再是速度为 0 的参考系，因为水本身也是在流动的，所以这里我们必须考虑水流速度对船只速度的影响，具体为：水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速。（可理解为和差问题）由上述两个式子我们不难得出一个有用的结论：船速=(顺水速度+逆水速度)2；水速=(顺水速度-逆水速度)2 此外，对于河流中的漂浮物，我们还会经常用到一个常识性性质，即：漂浮物速度=流水速度。三、流水行船问题中的相遇与追及 两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出：甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关.甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速.说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系.知识框架 第三章 流水行船 【例【例 2121】一艘每小时行 25 千米的客轮，在大运河中顺水航行 140 千米，水速是每小时 3千米，需要行几个小时？【巩固】【巩固】某船在静水中的速度是每小时 15 千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了 8 小时，水速每小时 3 千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？【例【例 2222】一只小船在静水中的速度为每小时 25 千米它在长 144 千米的河中逆水而行用了 8 小时求返回原处需用几个小时？【巩固】【巩固】一只小船在静水中速度为每小时30千米它在长176千米的河中逆水而行用了11小时求返回原处需用几个小时？【例【例 2323】两个码头相距 352 千米，一船顺流而下，行完全程需要 11 小时.逆流而上，行完全程需要 16 小时，求这条河水流速度。【巩固】【巩固】光明号渔船顺水而下行 200 千米要 10 小时，逆水而上行 120 千米也要 10 小时 那么，在静水中航行 320 千米需要多少小时？【例【例 2424】一位少年短跑选手，顺风跑 90 米用了 10 秒，在同样的风速下逆风跑 70 米，也用了 10 秒，则在无风时他跑 100 米要用 秒【巩固】【巩固】轮船从A城到B城需行 3 天，而从B城到A城需行 4 天。从A城放一个无动力的木筏，它漂到B城需多少天？【例【例 2525】一艘轮船在两个港口间航行，水速为每小时 6 千米，顺水下行需要 4 小时，返回上行需要 7 小时求：这两个港口之间的距离?【巩固】【巩固】轮船用同一速度往返于两码头之间，它顺流而下行了8个小时，逆流而上行了10小时，如果水流速度是每小时3千米，两码头之间的距离是多少千米？【例【例 2626】乙船顺水航行 2 小时，行了 120 千米，返回原地用了 4 小时.甲船顺水航行同一段水路，用了 3 小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?【巩固】【巩固】一只船在河里航行，顺流而下每小时行18千米已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等求船速和水速【例【例 2727】A、B 两码头间河流长为 220 千米，甲、乙两船分别从 A、B 码头同时起航 如果相向而行 5 小时相遇，如果同向而行 55 小时甲船追上乙船求两船在静水中的速度【巩固】【巩固】甲、乙两船从相距64千米的A、B两港同时出发相向而行，2小时相遇；若两船例题精讲 同时同向而行，则甲用16小时赶上乙问：甲、乙两船的速度各是多少？【例【例 2828】甲、乙两船的船速分别为每小时 17 千米和每小时 13 千米两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发 3 小时，如果水速是每小时 3 千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船？【巩固】【巩固】甲、乙两艘游艇，静水中甲艇每小时行3.3千米，乙艇每小时行2.1千米现在甲、乙两游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距 27 千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过 4 小时，甲艇到达乙艇的出发地水流速度是每小时 千米 【例【例 2929】甲、乙两艘小游艇，静水中甲艇每小时行2.2千米，乙艇每小时行1.4千米现甲、乙两艘小游艇于同一时刻相向出发，甲艇从下游上行，乙艇从相距 18 千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过 4 小时，甲艇到达乙艇的出发地问水流速度为每小时多少千米？【巩固】【巩固】学学和思思各开一艘游艇，静水中学学每小时行 3.3 千米，思思每小时行 2.1 千米。现在两游艇于同一时刻相向出发，学学从下游上行，思思从相距 27 千米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过 4 小时，学学到达思思的出发地。水流速度是每小时 千米。【例【例 3030】某人畅游长江，逆流而上，在A处丢失一只水壶，他向前又游了20分钟后，才发现丢失了水壶，立即返回追寻，在离A处2千米的地方追到，则他返回寻水壶用了多少分钟？【巩固】【巩固】小刚和小强租一条小船，向上游划去，不慎把水壶掉进江中，当他们发现并调过船头时，水壶与船已经相距2千米，假定小船的速度是每小时4千米，水流速度是每小时2千米，那么他们追上水壶需要多少时间？【随练【随练9 9】甲、乙两港间的水路长 208 千米，一只船从甲港开往乙港，顺水 8 小时到达，从乙港返回甲港，逆水 13 小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。【随练【随练1010】甲、乙两船在静水中速度相同，它们同时自河的两个码头相对开出，3 小时后相遇已知水流速度是 4 千米/时求：相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米？【随练【随练1111】A、B两码头间河流长为90千米，甲、乙两船分别从A、B码头同时起航如果相向而行3小时相遇，如果同向而行15小时甲船追上乙船求两船在静水中的速度【随练【随练1212】某河有相距 45 千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港课堂检测 同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4 分钟后与甲船相距 1 千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。1.对扶梯问题中顺(逆)扶梯速度、扶梯速度、人的速度的理解。2.在扶梯的相遇与追及问题中引入消元思想。3.解决行程问题时画线段图可以帮助解题。一、扶梯问题说明 扶梯问题与流水行船问题十分相像，区别只在与这里的速度并不是我们常见的“千米每小时”，或者“米每秒”，而是“每分钟走多少个台阶”，或是“每秒钟走多少个台阶”。从而在扶梯问题中“总路程”并不是求扶梯有多少“千米”或者多少“米”，而是求扶梯的“静止时可见台阶总数”。二、扶梯问题解题关键 当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度。有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间人速+时间扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数 当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度 扶梯静止可见台阶总数=时间人速-时间扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。考试要求 知识结构 例题精讲 第四章 扶梯问题【例【例 1 1】小明站着不动乘电动扶梯上楼需30秒，如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需 12 秒，那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？【巩固】【巩固】如果在乘电动扶梯的同时小明继续向上走需 12 秒到达楼上，如果在乘电动扶梯的同时小明逆着向下走需24秒到达楼下（千万别模仿！），那么电动扶梯不动时，小明徒步沿扶梯上楼需多少秒？【例【例 2 2】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面从站台到地面有 级台阶【巩固】【巩固】在地铁车站中，从站台到地面架设有向上的自动扶梯小强想逆行从上到下，如果每秒向下迈两级台阶，那么他走过100级台阶后到达站台；如果每秒向下迈三级台阶，那么走过75级台阶到达站台自动扶梯有多少级台阶?【例【例 3 3】小丁在捷运站搭一座电扶梯下楼如果他向下走14阶，则需时30秒即可由电扶梯顶到达底部；如果他向下走28阶，则需时18秒即可由电扶梯顶到达底部请问这座电扶梯有几阶？【例【例 4 4】自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼，已知男孩每分走20级，女孩每分走15级，结果男孩用了5分到达楼上，女孩用了6分到达楼上问该扶梯露在外面的部分共有多少级？【巩固】【巩固】小志与小刚在电梯上的行走速度分别为每秒2个台阶和每秒3个台阶，电梯运行后，他俩沿电梯运行方向的相同方向从一楼走上二楼，分别用时28秒和20秒，那么小志攀登静止的电梯需要用时多少秒？【例【例 5 5】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？【巩固】【巩固】商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了 40 级到达楼上，男孩走了 80 级到达楼下如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的 3 倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级？【例【例 1】商场里，小明从正在向上移动的自动楼梯顶部下120级台阶到达底部，然后从底部上90级台阶回到顶部 自动楼梯从底部到顶部的台阶数是不变的，假设小明单位时间内下的台阶数是他上的台阶数的2倍则该自动楼梯从底到顶的台阶数为 【例【例 2】小淘气乘正在下降的自动扶梯下楼，如果他一级一级的走下去，从扶梯的上端走到下端需要走36级如果小淘气沿原自动扶梯从下端走到上端(很危险哦，不要效仿!)，需要用下楼时5倍的速度走60级才能走到上端请问这个自动扶梯在静止不动时有多少级?【例【例 3】甲在商场中乘自动扶梯从一层到二层，并在顺扶梯运行方向向上走，同时乙站在速度相等的并排扶梯从二层到一层当甲乙处于同一高度时，甲反身向下走，结果他走了 60 级到达一层如果他到了顶端再从“上行扶梯”返回，则要往下走80 级那么，自动扶梯不动时甲从下到上要走多少级？【随练【随练1 1】自动扶梯由下向上匀速运动，每两秒想上移动 1 级台阶。康康沿扶梯想上行走，每秒走两级台阶。已知自动扶梯的可见部分共 120 级，康康沿扶梯向上走，从底部走到顶部的过程中，他共走了多少级台阶？【随练【随练2 2】自动扶梯由下向上匀速运动，甲从顶部向下走到底部，共走了 150 级；乙从底部向上走到顶部，共走了 75 级。如果甲的速度是乙速度的 3 倍，那么扶梯可见部分共有多少级？【随练【随练3 3】自动扶梯以均匀的速度向上行驶，一男孩和一女孩同时从自动扶梯向上走，男孩的速度是女孩的 2 倍，已知男孩走了 27 级到达扶梯顶部，而女孩走了 18 级到达顶部，问扶梯露在外面的部分有多少级？第二部分 -课堂检测 计数 -（1）懂得并运用加法乘法原理来解决问题，（2）掌握常见的计数方法，会使用这些方法来解决问题 第一章 乘法原理 一、一、乘法原理乘法原理 我们在完成一件事时往往要分为多个步骤，每个步骤又有多种方法，当计算一共有多少种完成方法时就要用到乘法原理.乘法原理：一般地，如乘法原理：一般地，如果完成一件事需要果完成一件事需要 n n 个步骤，其中，做第一步有个步骤，其中，做第一步有 m m1 1种不同的方种不同的方法，做第二步有法，做第二步有 m m2 2种不同的方法种不同的方法 ，做第，做第 n n 步有步有 m mn n种不同的方法，则完成这件事一共有种不同的方法，则完成这件事一共有N=mN=m1 1m m2 2m mn n种不同的方法种不同的方法 乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为：“乘法分步，步步相关”.二、乘法原理解题三部曲 1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘 三、乘法原理的考题类型 1、路线种类问题比如说从 A 地到 B 地有三种交通方式，从 B 地到 C 地有 2 种交通方式，问从 A 地到 C 地有多少种乘车方案；2、字的染色问题比如说要 3 个字，然后有 5 种颜色可以给每个字然后，问 3 个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题比如说 6 个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几位数的偶数，有多少种排法 （1）掌握加法乘法原理（2）熟练运用加乘方法（3）解决加乘及计数综合性题目 知识结构 重难点 【例【例 1 1】马戏团的小丑有红、黄、蓝三顶帽子和黑、白两双鞋，他每次出场演出都要戴一顶帽子、穿一双鞋.问：小丑的帽子和鞋共有几种不同搭配？【巩固】【巩固】康康到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？【例【例 2 2】从甲地到乙地有 2 条路，从乙地到丙地有 3 条路，从丙地到丁地也有 2 条路.问：从甲地经乙、丙两地到丁地，共有多少种不同的走法？【巩固】【巩固】邮递员投递邮件由A村去B村的道路有 3 条，由B村去C村的道路有 2 条，那么邮递员从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？【例【例 3 3】5 种不同颜色的笔来写“智康教育”这几个字，相邻的字颜色不同，共有多少种写法？【巩固】【巩固】“IMO”是国际数学奥林匹克的缩写，把这 3 个字母写成三种不同颜色.现在有五种不同颜色的笔，按上述要求能写出多少种不同颜色搭配的“IMO”？【例【例 4 4】如下图，A，B，C，D，E 五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？【巩固】【巩固】用四种颜色给右图的五块区域染色，要求每块区域染一种颜色，相邻的区域染不同的颜色.问：共有多少种不同的染色方法？【例【例 1 1】从全班 20 人中选出 3 名学生排队，一共有多少种排法？【巩固】【巩固】如果将四面颜色不同的小旗子挂在一根绳子上，组成一个信号，那么这四面小旗子可组成 种不同的信号。【例【例 2 2】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目如果贝贝和妮妮不相邻，共有多少种不同的排法？例题精讲【巩固】【巩固】10 个人围成一圈，从中选出三个人，其中恰有两人相邻，共有多少种不同选法？【例【例 3 3】由 3、6、9 这 3 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？由 3、6、9 这 3 个数字可以组成多少个三位数？【巩固】【巩固】由数字 1、2 可以组成多少个两位数？由数字 1、2 可以组成多少个没有重复数字的两位数？【例【例 4 4】用数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个：三位数？没有重复数字的三位数？【巩固】【巩固】由四张数字卡片：0，2，4，6 可以组成 _个不同的三位数。【例【例 5 5】有五张卡，分别写有数字 1、2、4、5、8现从中取出 3 张卡片，并排放在一起，组成一个三位数，问：可以组成多少个不同的偶数？【巩固】【巩固】有 5 张卡，分别写有数字 2，3，4，5，6如果允许 6 可以作 9 用，那么从中任意取出 3 张卡片，并排放在一起问：可以组成多少个不同的三位数？可以组成多少个不同的三位偶数？【例【例 6 6】北京到上海之间一共有 6 个站，车站应该准备多少种不同的车票？(往返车票算不同的两种)【巩固】【巩固】一条线段上除了两个端点还有 6 个点，那么这段线段上可以有多少条线段？【随练【随练4 4】要从四年级六个班中评选出学习和体育先进集体各一个（不能同时评一个班），共有多少种不同的评选结果？【随练【随练5 5】如下图所示，从A地去B地有 5 种走法，从B地去C地有 3 种走法，那么李明从A地经B地去C地有多少种不同的走法？CBA 【随练【随练6 6】有 6 种不同颜色的笔，来写“学习改变命运”这六个字，要求相邻字的颜色不能相同，有多少种不同的方法？课堂检测 一、一、公式计算法 几何计数内容很广，包括数线段的条数，角的个数，长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等图形的个数，也包括数立体图形的个数。图形的计数一般有两种思考方法：公式计算法和分类计数法。三年级学习的线段、长方形和正方形的计数就属于公式计算法。（1）一条线段有两个端点，若这条线段上有 n 个点，那么线段总数是 知识结构 第三章 几何计数（n1）（n2）321（2）如果一个长方形的长边上有 n 个小格，宽边上有 m 个小格，那么长方形的总数是（123n）（12m）（3）如果把正方形各边都 n 等分，那么正方形的总数是 n2（n1）2（n2）2322212 上面计算线数的方法也可用于计算角的个数，而且，根据这些计数方法在以后还可以类推出立体图形的计算方法。二、二、对应法 将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式 （1）分类数图形。（2）对应法数图形。一、分类数图形【例【例 1 1】下图的两个图形（实线）是分别用 10 根和 16 根单位长的小棍围成的如果按此规律（每一层比上面一层多摆出两个小正方形）围成的图形共用了 60 多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【巩固】【巩固】如图所示，用长短相同的火柴棍摆成 31996 的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?重难点 例题精讲【例【例 2 2】图中有_个正方形 【巩固】【巩固】数一数：图中共有_ 个正方形。【例【例 3 3】右图中三角形共有 个 【巩固】【巩固】数一数图中有_个三角形 【例【例 4 4】图中共有多少个三角形？CBA【巩固】【巩固】下图是由边长为 1 的小三角形拼成，其中边长为 4 的三角形有_个。【例【例 5 5】如图，每个小正方形的面积都是 l 平方厘米。则在此图中最多可以画出_个面积是 4 平方厘米的格点正方形(顶点都在图中交叉点上的正方形)。【巩固】【巩固】图中的每个小方格都是面积为 1 的正方形，面积为 2 的矩形有 个。二、对应法数图形【例【例 6 6】在 88 的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【例【例 7 7】在 88 的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【巩固】【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？三、几何计数综合【例【例 8 8】如图，连接一个正六边形的各顶点问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？【巩固】【巩固】如右图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？【例【例 9 9】如图所示，在直线AB上有 7 个点，直线CD上有 9 个点以AB上的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意 3 条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD之间的交点数 CDBA 【巩固】【巩固】图中可数出的三角形的个数为 【例【例 1010】用 9 个钉子钉成相互间隔为 1 厘米的正方阵(如右图)如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于 1 平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于 2 平方厘米的三角形有多少个？【巩固】【巩固】下图中的正方形被分成 9 个相同的小正方形，它们一共有 16 个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的 3 个点为顶点，可以构成三角形在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【例【例 1111】一张长方形纸片，长是宽的 2 倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，共对折 7 次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？【巩固】【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？【例【例 1212】一个圆上有 12 个点A1，A2，A3，A11，A12以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交问共有多少种不同的连法?A12A11A10A9A8A7A6A5A4A3A2A1 【随练【随练7 7】数一数，图中有_个三角形。【随练【随练8 8】用 3 根等长的火柴可以摆成一个等边三角形如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由 20 根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?课堂检测 4.使学生掌握加法原理的基本内容；5.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则 6.理解标数法 加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻炼思维的周全细致 考试要求 第三章 加法原理 三、加法原理 在生活中做一件事情的时候常常会有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法。那么，考虑完成